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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第九章 第41課 數(shù)列的遞推關系與求和自主學習 1. 遞推數(shù)列 (1) 概念:數(shù)列的連續(xù)若干項滿足的等量關系an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)稱為數(shù)列的遞推關系.由遞推關系及k個初始值確定的數(shù)列叫遞推數(shù)列. (2) 求遞推數(shù)列通項公式的常用方法:迭代法、構造法、累加(乘)法、歸納猜想法. 2. 常用的一般數(shù)列的求和方法 (1) 公式法:若可以判斷出所求數(shù)列是等差(等比)數(shù)列,則可以直接利用公式進行求和.若數(shù)列不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,有時可直接運用常見的基本求和公式進行求和. (2) 分組轉化法:把數(shù)列的每一項拆成兩項的差(或和),或把數(shù)列的項重新組合,使其轉化為等差或等比數(shù)列. (3) 裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項的差(或和),使求和時出現(xiàn)的一些正負項相互抵消,于是前n項和變成首尾兩項或少數(shù)幾項和(差). (4) 倒序相加法:把Sn中項的順序首尾顛倒過來,再與原來順序的Sn相加.這種方法體現(xiàn)了“補”的思想,等差數(shù)列的前n項和公式就是用它推導出來的.事實上,如果一個數(shù)列倒過來與原數(shù)列相加時,若有公因式可提,并且剩余的項和可求出來,那么這樣的數(shù)列就可以用倒序相加法求和. (5) 錯位相減法:數(shù)列{anbn}的求和問題應用此法,其中{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列. 1. (必修5P55練習4改編)求和:=　　　　. [答案]2 101 [解析]1+2+…+10=55,2+22+…+210=2 046. 2. (必修5P68復習題13(1)改編)數(shù)列 的前n項和Sn=　　　　 . [答案] [解析]=-,Sn=1-=. 3. (必修5P41習題13改編)已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an=n+an-1(n≥2,n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式為　　　　.? [答案]an= [解析]an=n+an-1可變形為an-an-1=n(n≥2,n∈N*),由此可寫出以下各式:an-an-1=n,an-1-an-2=n-1,an-2-an-3=n-2,…,a2-a1=2,將以上等式兩邊分別相加,得an-a1=n+(n-1)+(n-2)+…+2,所以an=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=. 4. (必修5P68復習題12改編)數(shù)列的前n項和Tn=　　　　 . [答案]3- [解析]由an=(n+1),得 Tn=2+3+4+…+(n+1),?、? Tn=2+3+4+…+(n+1),?、? 由①-②,得 Tn=1+++…+-(n+1) =1+-(n+1) =-. 所以Tn=3-. 5. (必修5P63閱讀改編)在斐波那契數(shù)列1,1,2,3,5,8,13…中,an,an+1,an+2的關系是　　　　 . [答案]an+2=an+an+1