2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（含解析）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評(píng)卷人得分一、選擇題（題型注釋）1已知函數(shù)，則（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，故選A.考點(diǎn)：函數(shù)求導(dǎo).2由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面()A各正三角形內(nèi)一點(diǎn) B各正三角形的某高線上的點(diǎn)C各正三角形的中心 D各正三角形外的某點(diǎn)【答案】C【解析】試題分析：四面體的面可以與三角形的邊類比，因此三邊的中點(diǎn)也就類比成各三角形的中心，故選C考點(diǎn)：類比推理.3設(shè)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的值為( )A B C D【答案】C【解析】試題分析：.考點(diǎn)：定積分.4曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是( )A B C D0【答案】B【解析】試題分析：曲線y=ln（2x-1），y=，分析知直線2x-y+8=0與曲線y=ln（2x-1）相切的點(diǎn)到直線2x-y+8=0的距離最短，y=2，解得x=1，把x=1代入y=ln（2x-1），y=0，點(diǎn)（1，0）到直線2x-y+8=0的距離最短，d=，故答案為B.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；兩條平行直線間的距離.5若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：f（x）=x3+ax-2，f（x）=3x2+a，函數(shù)f（x）=x3+ax-2在區(qū)間1，+）內(nèi)是增函數(shù)，f（1）=3+a0，a-3故選B.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.6函數(shù)yf（x）在定義域（，3）內(nèi)的圖像如圖所示記yf（x）的導(dǎo)函數(shù)為yf（x），則不等式f（x）0的解集為（ ）A，12，3） B1，C，1，2）D（， ，3） 【答案】A【解析】試題分析：由圖象可知，即求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而有解集為，12，3)，故選A.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.7 設(shè),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，若曲線的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（ ） A B C. D【答案】C【解析】試題分析：由題意可得，f(x)ex是奇函數(shù)f（0）=1-a=0a=1，f（x）=ex+，f(x)ex曲線y=f（x）在（x，y）的一條切線的斜率是，即ex解方程可得ex=2x=ln2故選D.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.8設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的乘積的值為（ ）A B C D 1【答案】B【解析】試題分析：對(duì)y=xn+1（nN*）求導(dǎo)得y=（n+1）xn，令x=1得在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率k=n+1，在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y-1=k（xn-1）=（n+1）（xn-1），不妨設(shè)y=0，xn則x1x2x3xn=，故選B.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；直線的斜率.9曲線：在點(diǎn)處的切線恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線直線，軸圍成的圖形面積為（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：設(shè)A（a，ea），則y=ex，y=ex，曲線C：y=ex在點(diǎn)A處的切線l的方程為y-ea=ea（x-a）將（0，0）代入，可得0-ea=ea（0-a），a=1A（1，e），切線方程為y=ex曲線C、直線l、y軸圍成的圖形面積為故選D.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.10已知，是的導(dǎo)函數(shù)，即，則 ( ) A B C D 【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，可知的解析式周期?，因?yàn)?011=，所以故選A.考點(diǎn)：函數(shù)的求導(dǎo)公式.11下面四個(gè)判斷中，正確的是() A式子1kk2kn(nN*)中，當(dāng)n1時(shí)式子值為1B式子1kk2kn1(nN*)中，當(dāng)n1時(shí)式子值為1kC式子1 (nN*)中，當(dāng)n1時(shí)式子值為1D設(shè)f(x) (nN*)，則f(k1)f(k)【答案】C【解析】試題分析：對(duì)于A，f（1）恒為1，正確；對(duì)于B，f（1）恒為1，錯(cuò)誤；對(duì)于C，f（1）恒為1，錯(cuò)誤；對(duì)于D，f（k+1）=f（k）+-，錯(cuò)誤；故選A.考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法.12已知集合A3m2n|mn且m，nN，若將集合A中的數(shù)按從小到大排成數(shù)列an，則有a131203，a232209，a3322111，a43327，依此類推，將數(shù)列依次排成如圖所示的三角形數(shù)陣，則第六行第三個(gè)數(shù)為()A247 B735C733 D731【答案】C【解析】試題分析：該三角形數(shù)陣中，每一行所排的數(shù)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，因此前5行已經(jīng)排了5=15個(gè)數(shù)，第六行第三個(gè)數(shù)是數(shù)列中的第18項(xiàng)，a1=31+20=3，a2=32+20=9，a3=32+21=11，a4=33=27，a18=36+22=733，故選C.考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評(píng)卷人得分二、填空題（題型注釋）13函數(shù)在處的切線方程_【答案】【解析】試題分析：當(dāng)x=4時(shí)，f（4）=2，由于，所以，所以切線方程為y-2=（x-4），即. 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究切線.14若曲線f(x)ax3ln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】a0【解析】試題分析：f（x）=3ax2+（x0）曲線f（x）=ax3+lnx存在垂直于y軸的切線，f（x）=3ax2+=0有正解即a=有正解，0a0，故答案為（-，0）.考點(diǎn)：利用導(dǎo)函數(shù)研究曲線上的切線.15已知為一次函數(shù)，且，則=_.【答案】【解析】試題分析：設(shè)，因?yàn)?，即，所以，考點(diǎn)：本題主要考查定積分的計(jì)算，待定系數(shù)法。16下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：設(shè)第個(gè)圖有個(gè)樹枝，則與之間的關(guān)系是【答案】【解析】試題分析：由題意，圖（2）比圖（1）多出2個(gè)“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個(gè)“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個(gè)“樹枝”，照此規(guī)律，an+1-an=n2+1故答案為：an+1-an=n2+1.考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理；數(shù)列遞推式.評(píng)卷人得分三、解答題（題型注釋）17已知曲線 y = x3 + x2 在點(diǎn) P0 處的切線 平行于直線4xy1=0，且點(diǎn) P0 在第三象限,求P0的坐標(biāo);若直線 , 且 l 也過切點(diǎn)P0 ,求直線l的方程.【答案】(1) (1,4);(2) 即.【解析】試題分析：（1）根據(jù)曲線方程求出導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)橐阎本€4x-y-1=0的斜率為4，根據(jù)切線與已知直線平行得到斜率相等都為4，所以令導(dǎo)函數(shù)等于4得到關(guān)于x的方程，求出方程的解，即為切點(diǎn)P0的橫坐標(biāo)，代入曲線方程即可求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又因?yàn)榍悬c(diǎn)在第3象限，進(jìn)而寫出滿足題意的切點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)兩直線垂直，斜率乘積為-1，可求出直線l的斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式，即可求出答案.試題解析：解:由y=x3+x2，得y=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=1.當(dāng)x=1時(shí)，y=0;當(dāng)x=1時(shí)，y=4.又點(diǎn)P0在第三象限,切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為 (1,4) .5分直線,的斜率為4,直線l的斜率為,l過切點(diǎn)P0,點(diǎn)P0的坐標(biāo)為 (1,4)直線l的方程為即 10分考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)在切線中的應(yīng)用；2.直線的方程.18某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本(萬元)，已知產(chǎn)品單價(jià)P(萬元)與產(chǎn)品件數(shù)x滿足:，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，產(chǎn)量定為多少件時(shí)總利潤(rùn)最大？【答案】25【解析】試題分析：利用100件產(chǎn)品單價(jià)50萬求出常量k，確定出p關(guān)于x的解析式，利潤(rùn)=單價(jià)-成本總利潤(rùn)l（x）=p-c求出l的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)=0時(shí)，函數(shù)有最值求出可得.試題解析：解：由題意知有：502，解得：k=25104，P=；總利潤(rùn)L（x）=x-1200-x3=500-1200-x3，L（x）=250-x2；令L（x）=0則有：x=25（件）當(dāng)x=25件時(shí)，總利潤(rùn)最大考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2.根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型.19由下列不等式：，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明【答案】詳見解析【解析】試題分析：根據(jù)已知不等式猜想第n個(gè)不等式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.試題解析：解：根據(jù)給出的幾個(gè)不等式可以猜想第個(gè)不等式，即一般不等式為： 5分用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時(shí)，猜想成立； 6分（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即， 7分則當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，猜想也正確，所以對(duì)任意的，不等式成立 .12分考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法；歸納推理.20已知函數(shù),函數(shù)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;若,函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值;【答案】（1）（2）.【解析】試題分析：（1）分情況討論x的取值化簡(jiǎn)絕對(duì)值，求出f（x）得到x0和x0導(dǎo)函數(shù)相等，代入到g（x）中得到即可；（2）根據(jù)基本不等式得到g（x）的最小值即可求出a.試題解析：解:,當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),函數(shù) .6分由知當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 8分函數(shù)在上的最小值是,依題意得 ; 12分考點(diǎn)：1.函數(shù)的最值及其幾何意義；2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.21設(shè)，（1）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（2）求證：當(dāng)時(shí)，恒有【答案】(1) 在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù), 在處取得極小值 ;(2)詳見解析.【解析】試題分析：（1）先根據(jù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)f（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f（x）0和f（x）0，求出單調(diào)區(qū)間及極值即可（2）欲證xln2x-2alnx+1，即證x-1-ln2x+2alnx0，也就是要證f（x）f（1），根據(jù)第一問的單調(diào)性即可證得.試題解析：解（1）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有，故， 3分于是，列表如下：20遞減極小值遞增故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值 6（2）證明：由知，的極小值于是由上表知，對(duì)一切，恒有從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加所以當(dāng)時(shí)，即故當(dāng)時(shí)，恒有 .12考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)恒成立問題；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.22已知函數(shù)（1）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)詳見解析（2）.【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只要解導(dǎo)數(shù)的不等式即可，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）函數(shù)f（|x|）是偶函數(shù)，只要f（x）0對(duì)任意x0恒成立即可，等價(jià)于f（x）在0，+）的最小值大于零試題解析：解：（1）由得，所以由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是 4（2）由可知是偶函數(shù)于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立由得當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞增故，符合題意當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.