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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練一 第1講 集合與常用邏輯用語(yǔ) 理
考情解讀 1.集合是高考必考知識(shí)點(diǎn)，經(jīng)常以不等式解集、函數(shù)的定義域、值域?yàn)楸尘翱疾榧系倪\(yùn)算，近幾年有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一些集合的新定義問題.2.高考中考查命題的真假判斷或命題的否定，考查充要條件的判斷．
1．集合的概念、關(guān)系
(1)集合中元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性，求解含參數(shù)的集合問題時(shí)要根據(jù)互異性進(jìn)行檢驗(yàn)．
(2)集合與集合之間的關(guān)系：A?B，B?C?A?C，空集是任何集合的子集，含有n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2n，真子集數(shù)為2n－1，非空真子集數(shù)為2n－2.
2．集合的基本運(yùn)算
(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)補(bǔ)集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
重要結(jié)論：A∩B＝A?A?B；
A∪B＝A?B?A.
3．四種命題及其關(guān)系
四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命
題同真同假，遇到復(fù)雜問題正面解決困難的，采用轉(zhuǎn)化為反面情況處理．
4．充分條件與必要條件
若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p?q，則p，q互為充要條件．
5．簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞
(1)命題p∨q，只要p，q有一真，即為真；命題p∧q，只有p，q均為真，才為真；綈p和p為真假對(duì)立的命題．
(2)命題p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命題p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．
6．全稱量詞與存在量詞
“?x∈M，p(x)”的否定為“?x0∈M，綈p(x0)”；“?x0∈M，p(x0)”的否定為“?x∈M，綈p(x)”.
熱點(diǎn)一 集合的關(guān)系及運(yùn)算
例1 (1)(xx四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B為整數(shù)集，則A∩B等于( )
A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}
C．{0,1} D．{－1,0}
(2)(xx廣東)設(shè)整數(shù)n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三條件x
b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
(2)(xx江西)下列敘述中正確的是( )
A．若a，b，c∈R，則“ax2＋bx＋c≥0”的充分條件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，則“ab2≥cb2”的充要條件是“a>c”
C．命題“對(duì)任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一條直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，若l⊥α，l⊥β，則α∥β
思維啟迪 要明確四種命題的真假關(guān)系；充要條件的判斷，要準(zhǔn)確理解充分條件、必要條件的含義．
答案 (1)C (2)D
解析 (1)當(dāng)b<0時(shí)，顯然有a>b?a|a|>b|b|；
當(dāng)b＝0時(shí)，顯然有a>b?a|a|>b|b|；
當(dāng)b>0時(shí)，a>b有|a|>|b|，所以a>b?a|a|>b|b|.
綜上可知a>b?a|a|>b|b|，故選C.
(2)由于“若b2－4ac≤0，則ax2＋bx＋c≥0”是假命題，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分條件不是“b2－4ac≤0”，A錯(cuò)；
因?yàn)閍b2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c時(shí)，若b2＝0，則ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要條件，B錯(cuò)；“對(duì)任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C錯(cuò)；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，D正確．
思維升華 (1)四種命題中，原命題與逆否命題等價(jià)，逆命題與否命題等價(jià)；(2)充要條件的判斷常用“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，判斷一個(gè)命題為假可以借助反例．
(1)命題“若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)”的逆否命題是________．
(2)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線ax－y＋1＝0與直線x－ay－1＝0平行”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 (1)若a＋b不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù) (2)C
解析 (1)判斷詞“都是”的否定是“不都是”．
(2)若直線ax－y＋1＝0與直線x－ay－1＝0平行，則a(－a)＝(－1)1?a2＝1，且a
(－1)≠11?a≠－1，故有a＝1，即“a＝1”是“直線ax－y＋1＝0與直線x－ay－1＝0平行”的充要條件．
熱點(diǎn)三 邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞
例3 (1)已知命題p：?x∈R，x－2>lg x，命題q：?x∈R，sin xlg 10，即8>1，故命題p為真命題；對(duì)于命題q，取x＝－，則sin x＝sin(－)＝－1，此時(shí)sin x>x，故命題q為假命題，因此命題p∨q是真命題，命題p∧q是假命題，命題p∧(綈q)是真命題，命題p∨(綈q)是真命題，故選C.
(2)命題p：?x∈A,2x∈B是一個(gè)全稱命題，其命題的否定綈p應(yīng)為?x∈A,2x?B，選D.
思維升華 (1)命題的否定和否命題是兩個(gè)不同的概念：命題的否定只否定命題的結(jié)論，真假與原命題相對(duì)立；(2)判斷命題的真假要先明確命題的構(gòu)成．由命題的真假求某個(gè)參數(shù)的取值范圍，還可以考慮從集合的角度來(lái)思考，將問題轉(zhuǎn)化為集合間的運(yùn)算．
(1)已知命題p：在△ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要條件；命題q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要條件，則下列選項(xiàng)中正確的是( )
A．p真q假 B．p假q真
C．“p∧q”為假 D．“p∧q”為真
(2)已知命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“?x0∈R，＋2ax0＋2－a＝0”．若命題“(綈p)∧q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)≤－2或a＝1 B．a(chǎn)≤2或1≤a≤2
C．a(chǎn)>1 D．－2≤a≤1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)△ABC中，C>B?c>b?2Rsin C>2Rsin B(R為△ABC外接圓半徑)，
所以C>B?sin C>sin B.
故“C>B”是“sin C>sin B”的充要條件，命題p是假命題．
若c＝0，當(dāng)a>b時(shí)，則ac2＝0＝bc2，故a>b
ac2>bc2，若ac2>bc2，則必有c≠0，則c2>0，則有a>b，所以ac2>bc2?a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件，故命題q也是假命題，故選C.
(2)命題p為真時(shí)a≤1；“?x0∈R，＋2ax0＋2－a＝0”為真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有實(shí)根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q為真命題，即綈p真且q真，即a>1.
1．解答有關(guān)集合問題，首先正確理解集合的意義，準(zhǔn)確地化簡(jiǎn)集合是關(guān)鍵；其次關(guān)注元素的互異性，空集是任何集合的子集等問題，關(guān)于不等式的解集、抽象集合問題，要借助數(shù)軸和Venn圖加以解決．
2．判斷充要條件的方法，一是結(jié)合充要條件的定義；二是根據(jù)充要條件與集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把命題對(duì)應(yīng)的元素用集合表示出來(lái)，根據(jù)集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，在以否定形式給出的充要條件判斷中可以使用命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法．
3．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假是由其中的基本命題決定的，這類試題首先把其中的基本命題的真假判斷準(zhǔn)確，再根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義進(jìn)行判斷．
4．一個(gè)命題的真假與它的否命題的真假?zèng)]有必然的聯(lián)系，但一個(gè)命題與這個(gè)命題的否定是互相對(duì)立的、一真一假的.
真題感悟
1．(xx廣東)設(shè)集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則M∪N等于( )
A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}
答案 D
解析 ∵M(jìn)＝{x|x＝0或x＝－2}＝{0，－2}，N＝{0,2}，
∴M∪N＝{－2,0,2}．
2．(xx重慶)已知命題
p：對(duì)任意x∈R，總有2x>0；
q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件．
則下列命題為真命題的是( )
A．p∧q B．綈p∧綈q
C．綈p∧q D．p∧綈q
答案 D
解析 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)，所以對(duì)任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p為真命題；因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)，x>2不一定成立，反之當(dāng)x>2時(shí)，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，故q為假命題，則p∧q、綈p為假命題，綈q為真命題，綈p∧綈q、綈p∧q為假命題，p∧綈q為真命題，故選D.
押題精練
1．若全集U＝R，集合M＝{x|－x2－x＋2<0}，N＝{x|x－1<0}，則下圖中陰影部分表示的集合是( )
A．(－∞，1] B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2,1)
答案 B
解析 M＝{x|x<－2或x>1}，N＝{x|x<1}．
圖中陰影部分表示的集合為
M∩(?RN)＝{x|x<－2或x>1}∩{x|x≥1}
＝{x|x>1}．
2．若命題p：函數(shù)y＝x2－2x的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)，命題q：函數(shù)y＝x－的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)，則( )
A．p∧q是真命題 B．p∨q是假命題
C．綈p是真命題 D．綈q是真命題
答案 D
解析 因?yàn)楹瘮?shù)y＝x2－2x的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)，所以p是真命題；因?yàn)楹瘮?shù)y＝x－的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命題．所以p∧q為假命題，p∨q為真命題，綈p為假命題，綈q為真命題，故選D.
3．函數(shù)f(x)＝有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是( )
A．a(chǎn)<0 B．01
答案 A
解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)過(guò)點(diǎn)(1,0)，所以函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y＝－2x＋a(x≤0)沒有零點(diǎn)?函數(shù)y＝2x(x≤0)與直線y＝a無(wú)公共點(diǎn)．由數(shù)形結(jié)合，可得a≤0或a>1.
所以函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件是a≤0或a>1，應(yīng)排除D；當(dāng)00”是“l(fā)ogam>0”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 (m－1)(a－1)>0等價(jià)于或logam>0等價(jià)于或所以前者是后者的必要不充分條件，故選B.
5．已知命題p：?x∈(0，)，使得cos x≤x，則該命題的否定是( )
A．?x∈(0，)，使得cos x>x
B．?x∈(0，)，使得cos x≥x
C．?x∈(0，)，使得cos x>x
D．?x∈(0，)，使得cos x≤x
答案 C
解析 原命題是一個(gè)特稱命題，其否定是一個(gè)全稱命題．而“cos x≤x”的否定是
“cos x>x”，故選C.
6．在△ABC中，“A＝60”是“cos A＝”的( )
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 C
解析 在A＝60時(shí)，有cos A＝，因?yàn)榻茿是△ABC的內(nèi)角，所以，當(dāng)cos A＝時(shí)，也只有A＝60，因此，是充分必要條件．
7．(xx湖北)已知全集為R，集合A＝，B＝，則A∩?RB等于( )
A．{x|x≤0}
B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<2或x>4}
D．{x|04或x<2}
＝{x|0≤x<2或x>4}．
8．已知集合A＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1，x，y∈R}，則集合A∩B的元素個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 集合A表示直線l：x＋y－1＝0上的點(diǎn)的集合，集合B表示拋物線C：y＝x2＋1上的點(diǎn)的集合．
由消去y得x2＋x＝0，
由于Δ>0，所以直線l與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)．
即A∩B有兩個(gè)元素．故選C.
9．設(shè)命題p：函數(shù)y＝sin 2x的最小正周期為；命題q：函數(shù)y＝cos x的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱．則下列判斷正確的是( )
A．p為真 B．綈q為假
C．p∧q為假 D．p∨q為真
答案 C
解析 p是假命題，q是假命題，因此只有C正確．
10．已知p：?x∈R，mx2＋2≤0，q：?x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
答案 A
解析 ∵p∨q為假命題，
∴p和q都是假命題．
由p：?x∈R，mx2＋2≤0為假命題，
得綈p：?x∈R，mx2＋2>0為真命題，
∴m≥0.①
由q：?x∈R，x2－2mx＋1>0為假命題，
得綈q：?x∈R，x2－2mx＋1≤0為真命題，
∴Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.故選A.
二、填空題
11．已知集合P＝{x|x(x－1)≥0}，Q＝{x|y＝ln(x－1)}，則P∩Q＝__________.
答案 (1，＋∞)
解析 由x(x－1)≥0
可得x≤0或x≥1，
則P＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；
又由x－1>0可得x>1，
則Q＝(1，＋∞)，
所以P∩Q＝(1，＋∞)．
12．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的________條件．
答案 充要
解析 m>n>0?>>0
?mx2＋ny2＝＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故填充要．
13．由命題“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命題，求得實(shí)數(shù)m的取值范圍是(a，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的值是________．
答案 1
解析 根據(jù)題意可得：?x∈R，x2＋2x＋m>0是真命題，則Δ<0，即22－4m<0，m>1，故a＝1.
14．給出下列四個(gè)命題：
①命題“若α＝β，則cos α＝cos β”的逆否命題；
②“?x0∈R，使得－x0>0”的否定是：“?x∈R，均有x2－x<0”；
③命題“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要條件；
④p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}，p且q為真命題．
其中真命題的序號(hào)是________．(填寫所有真命題的序號(hào))
答案?、佗?
解析 對(duì)①，因命題“若α＝β，則cos α＝cos β”為真命題，
所以其逆否命題亦為真命題，①正確；
對(duì)②，命題“?x0∈R，使得－x0>0”的否定應(yīng)是：
“?x∈R，均有x2－x≤0”，故②錯(cuò)；
對(duì)③，因由“x2＝4”得x＝2，
所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分條件，故③錯(cuò)；
對(duì)④，p，q均為真命題，由真值表判定p且q為真命題，故④正確．
15．已知集合M為點(diǎn)集，記性質(zhì)P為“對(duì)?(x，y)∈M，k∈(0,1)，均有(kx，ky)∈M”．給出下列集合：①{(x，y)|x2≥y}，②{(x，y)|2x2＋y2<1}，③{(x，y)|x2＋y2＋x＋2y＝0}，④{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，其中具有性質(zhì)P的點(diǎn)集序號(hào)是________．
答案 ②④
解析 對(duì)于①：取k＝，點(diǎn)(1,1)∈{(x，y)|x2≥y}，但(，)?{(x，y)|x2≥y}，故①是不具有性質(zhì)P的點(diǎn)集．
對(duì)于②：?(x，y)∈{(x，y)|2x2＋y2<1}，則點(diǎn)(x，y)在橢圓2x2＋y2＝1內(nèi)部，所以對(duì)0
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專題訓(xùn)練一
第1講
集合與常用邏輯用語(yǔ)
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