2019-2020年高考數(shù)學(xué) 4.3 平面向量的數(shù)量積練習(xí) (25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.ABC中A(2,1),B(0,4),C(5,6),則=()A.7B.8C.9D.10【解析】選C.由已知得=(-2,3),=(3,5),所以=-23+35=9.2.(xx麗水模擬)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(2a+b)b=0,則向量a,b的夾角為()【解析】選A.由(2a+b)b=0得2ab+bb=0,即2|a|b|cos+b2=0,又|a|=|b|,且a,b為非零向量,所以2|a|2cos+|a|2=0.所以cos=-,所以=.3.(xx濱州模擬)已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b與c垂直,則k=()A.-3B.-2C.-1D.1【解題提示】利用坐標(biāo)表示a+2b,再利用垂直條件得方程求解.【解析】選A.由已知得a+2b=(,3),故(a+2b)c=(,3)(k,)=k+3=0.解得k=-3.【加固訓(xùn)練】已知平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60,則“m=1”是“(a-mb)a”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.當(dāng)m=1時,(a-b)a=a2-ab=1-12cos 60=0,故(a-b)a;反之當(dāng)(a-mb)a時,有(a-mb)a=a2-mab=1-m(12cos 60)=1-m=0,則m=1.綜上“m=1”是“(a-mb)a”的充要條件.4.(xx綿陽模擬)已知向量a=(1,1),b=(2,y),若|a+b|=ab,則y=()A.-3B.-1C.1D.3【解析】選D.因為a=(1,1),b=(2,y),所以a+b=(3,y+1),ab=2+y,因為|a+b|=ab.所以=2+y,所以y=3.5.(xx廈門模擬)在ABC中,A=120,=-1,則|的最小值是()A.B.2C. D.6【解析】選C.由當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以|,故選C.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知向量a=(cos,sin),b=(2,2),則|2a-b|的最大值為.【解析】由已知得|2a-b|2=4a2+b2-4ab=4+16-4(2cos+2sin)=20-16 =20-16sin所以當(dāng)+=2k-(kZ),即=2k-(kZ)時,|2a-b|=36.所以|2a-b|的最大值為6.答案:67.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知則實數(shù)的值為.【解析】由已知得=(-3,3),設(shè)C(x,y),則=-3x+3y=0,所以x=y.=(x-3,y+1).又,即(x-3,y+1)=(0,2),所以由x=y得,y=3,所以=2.答案:28.(xx東營模擬)若兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=2|a|,則向量a+b與a的夾角為.【解析】由|a+b|=|a-b|,得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即ab=0,所以(a+b)a=a2+ab=|a|2.故向量a+b與a的夾角的余弦值為cos=.又0,所以=.答案: 三、解答題9.(10分)已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xR).(1)若ab,求x的值.(2)若ab,求|a-b|.【解析】(1)由ab得,2x+3-x2=0,即(x-3)(x+1)=0.解得x=3或x=-1.(2)由ab,則2x2+3x+x=0,即2x2+4x=0,得x=0或x=-2.當(dāng)x=0時,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0).此時|a-b|=2.當(dāng)x=-2時,a=(1,-2),b=(-1,2),則a-b=(2,-4).故|a-b|=【加固訓(xùn)練】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a與b的夾角.(2)求|a+b|.(3)若=a,=b,求ABC的面積.【解析】(1)因為(2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6,所以cos= 又0,所以=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)因為的夾角=,所以ABC=又|=|a|=4,|=|b|=3,所以(20分鐘40分)1.(5分)(xx石家莊模擬)在ABC中,AB=4,AC=3,=1,則BC=()【解題提示】利用已知條件,求得夾角的余弦,再用余弦定理求BC.【解析】選D.設(shè)A=,因為,AB=4,AC=3,所以2.(5分)(xx太原模擬)在ABC中,設(shè)那么動點M的軌跡必通過ABC的()A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心【解析】選C.假設(shè)BC的中點是O,則 即所以動點M在線段BC的中垂線上,所以動點M的軌跡必通過ABC的外心.【加固訓(xùn)練】(xx蘭州模擬)若ABC的三個內(nèi)角A,B,C度數(shù)成等差數(shù)列,且=0,則ABC一定是()A.等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形【解析】選C.因為所以=0,即,又A,B,C度數(shù)成等差數(shù)列,故2B=A+C,又A+B+C=,所以2B=-B,所以3B=,B=,故ABC是等邊三角形.3.(5分)設(shè)兩個向量a,b,滿足|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為,若向量2ta+7b與a+tb的夾角為鈍角,則實數(shù)t的范圍為.【解析】由向量2ta+7b與a+tb的夾角為鈍角,得<0,即(2ta+7b)(a+tb)<0,化簡即得2t2+15t+7<0,解得-7<t<-,當(dāng)夾角為時,也有(2ta+7b)(a+tb)<0,但此時夾角不是鈍角,設(shè)2ta+7b=(a+tb),<0,答案: 【誤區(qū)警示】解答本題易忽視向量2ta+7b與a+tb共線反向的情況,而得錯誤答案.4.(12分)已知點A(1,0),B(0,1),C(2sin,cos).(1)若的值.(2)若=1,其中O為坐標(biāo)原點,求sincos的值.【解析】因為A(1,0),B(0,1),C(2sin,cos),所以=(2sin-1,cos),=(2sin,cos-1).(1)所以化簡得2sin=cos,所以tan=,所以(2)=(2sin,cos),所以=(1,2),因為=1,所以2sin+2cos=1.所以(sin+cos)2=,所以sincos=-.5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)已知平面向量a,b滿足|a|=,|b|=1,(1)若|a-b|=2,試求a與b的夾角的余弦值.(2)若對一切實數(shù)x,|a+xb|a+b|恒成立,求a與b的夾角.【解析】(1)因為|a|=,|b|=1,|a-b|=2.所以|a-b|2=4,即a2-2ab+b2=4,2-2ab+1=4,所以ab=-.設(shè)a與b的夾角為,(2)令a與b的夾角為.由|a+xb|a+b|,得(a+xb)2(a+b)2,化為(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|b|cos0,因為|a|=,|b|=1,所以(x2-1)+(2x-2)cos0,當(dāng)x=1時,式子顯然成立;【一題多解】本題(2)還可有如下解法:令a與b的夾角為,由|a+xb|a+b|,得(a+xb)2(a+b)2,因為|a|=,|b|=1,所以x2+2xcos-2cos-10,對一切實數(shù)x恒成立,所以=8cos2+8cos+40,即(cos+1)20,故cos=-,因為0,所以=.