2019-2020年高考數學專題復習 第43講 隨機事件的概率練習 新人教A版考情展望1.互斥事件和對立事件的概率是高考重點考查的內容，其中對立事件的概率是“正難則反”思想的具體應用，在高考中經常考查.2.多以選擇題、填空題的形式考查，有時也滲透在解答題中，屬容易題一、概率和頻率1在相同的條件下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例fn(A)為事件A出現的頻率2對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)二、事件的關系與運算名稱定義符號表示包含關系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)BA(或AB)相等關系若BA，且AB，那么稱事件A與事件B相等AB并事件(和事件)某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(積事件)某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)AB(或AB)互斥事件若AB為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥AB對立事件若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件互斥事件與對立事件區(qū)別與聯系互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件三、概率的幾個基本性質1概率的取值范圍：0P(A)1.2必然事件的概率P(E)1.3不可能事件的概率P(F)0.4概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(AB)P(A)P(B)5對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)1P(B)1總數為10萬張的彩票，中獎率是，下列說法中正確的是()A買1張一定不中獎B買1 000張一定有一張中獎C買2 000張一定中獎D買2 000張不一定中獎【解析】由題意知，彩票中獎屬于隨機事件，故買1張也可能中獎，買2 000張也可能不中獎【答案】D2袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則恰有1個白球和全是白球；至少有1個白球和全是黑球；至少有1個白球和至少有2個白球；至少有1個白球和至少有1個黑球在上述事件中，是對立事件的為()ABCD【解析】至少有1個白球和全是黑球不同時發(fā)生，且一定有一個發(fā)生中兩事件是對立事件【答案】B3從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A0.7 B0.65C0.35 D0.5【解析】“抽到的不是一等品”與事件A是對立事件，所求概率P1P(A)0.35.【答案】C4若隨機事件A、B互斥，A、B發(fā)生的概率均不等于0，且分別為P(A)2a，P(B)3a4，則實數a的取值范圍為_【解析】由題意可得，解得a.【答案】5(2011浙江高考)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是()A. B. C. D.【解析】從5個球中任取3個共有10種方法又“所取的3個球中至少有1個白球”的對立事件是“所取的3個球都不是白球”因而所求概率P1.【答案】D6(xx上海高考)從一副混合后的撲克牌(52張)中隨機抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得為黑桃”，則概率P(AB)_(結果用最簡分數表示)【解析】52張中抽一張的基本事件為52種，事件A為1種，事件B為13種，并且A與B互斥，所以P(AB)P(A)P(B).【答案】考向一 181互斥事件與對立事件的判定(1)下列說法正確的是()A擲一枚硬幣，出現正面朝上的概率是0.5，因此擲一枚硬幣10次，恰好出現5次正面向上B連續(xù)四次擲一顆骰子，都出現6點是不可能事件C一個射手射擊一次，命中環(huán)數大于9與命中環(huán)數小于8是互斥事件D若P(AB)1，則事件A與B為對立事件(2)從裝有除顏色外完全相同的2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那么對立的兩個事件是()A至少有1個白球，至少有1個紅球B至少有1個白球，都是紅球C恰有1個白球，恰有2個白球D至少有1個白球，都是白球【思路點撥】(1)根據隨機事件的有關概念判斷(2)概括對立事件的定義判斷【嘗試解答】(1)擲一枚硬幣，出現正面朝上的概率是0.5，因此擲一枚硬幣10次，則出現5次正面向上的可能性較大，但不一定恰好出現5次正面向上，故A不正確連續(xù)四次擲一顆骰子，都出現6點是隨機事件，故B不正確一個射手射擊一次，命中環(huán)數大于9與命中環(huán)數小于8，這兩件事不可能同時發(fā)生，故是互斥事件，故C正確若P(AB)1，則事件A與B不一定是對立事件，如向一個半徑等于1的圓面(包含邊界)上隨即插上一根針，設“針插在圓面上(包含邊界)”為事件A，“針插在圓上”為事件B，P(A)1，P(B)0，滿足P(AB)1，但事件A和事件B不是互斥事件，故D不正確(2)對于A，“至少有1個白球”發(fā)生時，“至少有1個紅球”也會發(fā)生，比如恰好一個白球和一個紅球，故A不對立；對于B，“至少有1個白球”說明有白球，白球的個數可能是1或2，而“都是紅球”說明沒有白球，白球的個數是0，這兩個事件不能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，故B是對立的；對于C，恰有1個白球，恰有2個白球是互斥事件，它們雖然不能同時發(fā)生但是還有可能恰好沒有白球的情況，因此它們不對立；對于D，至少有1個白球和都是白球能同時發(fā)生，故它們不互斥，更談不上對立了【答案】(1)C(2)B規(guī)律方法1(1)對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應為必然事件，這些也可類比集合進行理解.(2)對立事件是互斥事件中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.對點訓練從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數從110各10張)中，任取一張判斷下列給出的每對事件，互斥事件的為_，對立事件的為_“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”【解析】是互斥事件，不是對立事件“抽出黑桃”與“抽出紅桃”是不可能同時發(fā)生，但可以都不發(fā)生，所以兩事件互斥不對立是互斥事件，且對立事件從40張撲克牌中，任意抽取1張“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件不是互斥事件，也不是對立事件從40張撲克牌中任意抽取1張“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得點數為10，因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件【答案】考向二 182隨機事件的頻率與概率圖1041如圖1041所示，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調查，調查結果如下：所用時間(分鐘)10202030304040505060選擇L1的人數612181212選擇L2的人數0416164(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；(2)現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑【思路點撥】(1)根據頻數分布表計算頻率，利用頻率估計概率；(2)分別根據不同路徑估計概率，并比較大小，做出判定【嘗試解答】(1)由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有121216444(人)，用頻率估計相應的概率為0.44.(2)設A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內趕到火車站由頻數分布表知，40分鐘趕往火車站，選擇不同路徑L1，L2的頻率分別為(61218)600.6，(416)400.5.估計P(A1)0.6，P(A2)0.5，則P(A1)P(A2)，因此，甲應該選擇路徑L1，同理，50分鐘趕到火車站，乙選擇路徑L1，L2的頻率分別為48600.8,36400.9，估計P(B1)0.8，P(B2)0.9，P(B1)P(B2)，因此乙應該選擇路徑L2.規(guī)律方法21.(1)解題的關鍵是正確計算選擇不同路徑時，事件發(fā)生的頻率，并用頻率估計概率；(2)第(2)問的實質是比較選擇不同路徑概率的大小.2.概率是頻率的穩(wěn)定值，它從數量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學抽象，當試驗次數越來越多時，頻率越穩(wěn)定于一個常數，可用頻率來估計概率.對點訓練(xx陜西高考)假設甲乙兩種品牌的同類產品在某地區(qū)市場上銷售量相等，為了解它們的使用壽命，現從這兩種品牌的產品中分別隨機抽取100個進行測試，結果統(tǒng)計如圖1042所示：圖1042(1)估計甲品牌產品壽命小于200小時的概率；(2)這兩種品牌產品中，某個產品已使用了200小時，試估計該產品是甲品牌的概率【解】(1)甲品牌產品壽命小于200小時的頻率為，用頻率估計概率，所以甲品牌產品壽命小于200小時的概率為.(2)根據抽樣結果，壽命大于200小時的產品共有7570145(個)，其中甲品牌產品是75個所以在樣本中，壽命大于200小時的產品是甲品牌的頻率是.用頻率估計概率，所以已使用了200小時的該產品是甲品牌的概率為.考向三 183互斥事件與對立事件的概率國家射擊隊的隊員為在第51屆射擊世錦賽上取得優(yōu)異成績，正在加緊備戰(zhàn)，經過近期訓練，某隊員射擊一次命中710環(huán)的概率如下表所示：命中環(huán)數10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該射擊隊員射擊一次：(1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)命中不足8環(huán)的概率【思路點撥】該射擊隊員在一次射擊中，命中幾環(huán)不可能同時發(fā)生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率另外，當直接求解不容易時，可先求其對立事件的概率【嘗試解答】記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak(kN，k10)，則事件Ak彼此互斥(1)記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當A9，A10之一發(fā)生時，事件A發(fā)生，由互斥事件的加法公式得P(A)P(A9)P(A10)0.280.320.60.(2)設“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，則表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”又BA8A9A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78.P()1P(B)10.780.22.因此，射擊一次，命中不足8環(huán)的概率為0.22.規(guī)律方法31.解答本題時，首先應正確判斷各事件的關系，然后把所求事件用已知概率的事件表示，最后用概率加法公式求解.2.求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)1P()求解.當題目涉及“至多”、“至少”型問題，多考慮間接法.對點訓練某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數及相應概率如下：排隊人數012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多2人排隊等候的概率是多少？(2)至少3人排隊等候的概率是多少？【解】(1)記“在窗口等候的人數i”為事件Ai1，i0,1,2，它們彼此互斥，則至多2人排隊等候的概率為P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)0.10.160.30.56.(2)至少3人排隊等候的概率為1P(A1A2A3)10.560.44.思想方法之二十五互斥事件的概率求解的妙招正難則反思想若一個事件正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對立事件進行求解對于“至少”，“至多”等問題往往用這種方法求解1個示范例1個對點練(xx湖南高考)某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率(將頻率視為概率)【解】(1)由題意，x15，y20.該超市所有顧客一次性購物的結算時間組成一個總體，100位顧客一次購物的結算時間視為總體的一個容量為100的簡單隨機抽樣，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計，其估計值為：又1.9.估計顧客一次購物的結算時間為1.9分鐘(2)設B、C分別表示事件“一位顧客一次購物的結算時間分別為2.5分鐘、3分鐘”將頻率視為概率，得P(B)，P(C)，B，C互斥，且BC，P()P(BC)P(B)P(C)，因此P(A)1P()1.一位顧客一次購物結算時間不超過2分的概率為0.7.【名師寄語】(1)準確理解題意，善于從圖表信息中提煉數據關系，明確數字特征的含義.(2)正確判定事件間的關系，善于將A轉化為互斥事件的和或對立事件，切忌盲目代入概率加法公式.一盒中裝有12個球，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率【解】法一(利用互斥事件求概率)：記事件A1任取1球為紅球，A2任取1球為黑球，A3任取1球為白球，A4任取1球為綠球，則P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，根據題意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1A2)P(A1)P(A2)；(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).法二：(利用對立事件求概率)：(1)由法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1A2的對立事件為A3A4，所以取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)因為A1A2A3的對立事件為A4，所以P(A1A2A3)1P(A4)1.