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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第5講 知能訓(xùn)練輕松闖關(guān) 1．(xx河南鄭州市質(zhì)量檢測(cè))設(shè)α，β分別為兩個(gè)不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A．依題意，由l⊥β，l?α可以推出α⊥β；反過(guò)來(lái)，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β．因此“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件． 2．(xx黑龍江齊齊哈爾模擬)在如圖所示的四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是(　　) 解析：選A．A中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB；B中，AB與CD成60角；C中，AB與CD成45角；D中，AB與CD夾角的正切值為． 3．(xx高考浙江卷)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．(　　) A．若m⊥n，n∥α，則m⊥α B．若m∥β，β⊥α，則m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α 解析：選C．A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤； B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤； C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確； D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤． 4． (xx衡陽(yáng)聯(lián)考)如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在(　　) A．直線AB上 B．直線BC上 C．直線AC上 D．△ABC的內(nèi)部 解析：選A．連接AC1(圖略)，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1．又AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上，故選A． 5． 如圖，在三棱錐DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 解析：選C．要判斷兩個(gè)平面的垂直關(guān)系，就需固定其中一個(gè)平面，找另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與第一個(gè)平面垂直．因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC?平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE． 6． 如圖，∠BAC＝90，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________． 解析：∵PC⊥平面ABC， ∴PC垂直于直線AB，BC，AC． ∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C， ∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB． 答案：AB，BC，AC　AB 7．設(shè)α，β是空間中兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________(填序號(hào))． 解析：因?yàn)楫?dāng)n⊥β，m⊥α?xí)r，平面α及β所成的二面角與直線m，n所成的角相等或互補(bǔ)，所以若m⊥n，則α⊥β，從而由①③④?②正確；同理②③④?①也正確． 答案：①③④?②(或②③④?①) 8． 如圖，PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)镻A垂直于圓O所在的平面，所以PA⊥平面ABC，即PA⊥BC，又因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，又AF?平面PAC，所以AF⊥BC，又AF⊥PC，所以AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB．又因?yàn)锳E⊥PB，所以PB⊥平面AEF，即PB⊥EF． 答案：①②③ 9． 如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)． 求證：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE． 證明：(1)在四棱錐PABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC．而AE?平面PAC， ∴CD⊥AE． (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60，可得AC＝PA． ∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC．由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD． 而PD?平面PCD， ∴AE⊥PD． ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB． 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE． 10．(xx忻州市第一次聯(lián)考) 已知四棱錐SABCD的底面ABCD為正方形，頂點(diǎn)S在底面ABCD上的射影為其中心O，高為，設(shè)E、F分別為AB、SC的中點(diǎn)，且SE＝2，M為CD邊上的點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面SAD； (2)試確定點(diǎn)M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD． 解：(1)證明：取SB的中點(diǎn)P，連接PF，PE(圖略)． ∵F為SC的中點(diǎn)， ∴PF∥BC，又底面ABCD為正方形， ∴BC∥AD，即PF∥AD， 又PE∥SA，∴平面PFE∥平面SAD． ∵EF?平面PFE， ∴EF∥平面SAD． (2)連接AC(圖略)，AC的中點(diǎn)即為點(diǎn)O，連接SO(圖略)，由題知SO⊥平面ABCD， 取OC的中點(diǎn)H，連接FH(圖略)，則FH∥SO， ∴FH⊥平面ABCD，∴平面EFH⊥平面ABCD，則連接EH并延長(zhǎng)EH與DC的交點(diǎn)即為M點(diǎn)． 連接OE(圖略)，由題知SO＝，SE＝2，∴OE＝1，AB＝2，AE＝1， ∴＝＝，∴MC＝，即點(diǎn)M的位置在CD邊上靠近C點(diǎn)距離為． ) 1． (xx唐山市統(tǒng)考)如圖，在三棱錐PABC中，PA＝PB＝AB＝BC，∠PBC＝90，D為AC的中點(diǎn)，AB⊥PD． (1)求證：平面PAB⊥平面ABC； (2)如果三棱錐PBCD的體積為3，求PA． 解：(1)證明：取AB中點(diǎn)為O，連接OD，OP． 因?yàn)镻A＝PB，所以AB⊥OP． 又AB⊥PD，OP∩PD＝P， 所以AB⊥平面POD， 因?yàn)镺D?平面POD，所以AB⊥OD． 由已知，BC⊥PB，又OD∥BC，所以O(shè)D⊥PB， 因?yàn)锳B∩PB＝B，所以O(shè)D⊥平面PAB． 又OD?平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC． (2)由(1)知，OP⊥平面ABC． 設(shè)PA＝a，因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)， 所以VPBCD＝VPABC＝a2a＝a3， 由a3＝3，解得a＝2，即PA＝2． 2． 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點(diǎn)．求證： (1)直線BC1∥平面EFPQ； (2)直線AC1⊥平面PQMN． 證明：(1)連接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方體，知AD1∥BC1， 因?yàn)镕，P分別是AD，DD1的中點(diǎn)，所以FP∥AD1． 從而B(niǎo)C1∥FP． 而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ， 故直線BC1∥平面EFPQ． (2)如圖，連接AC，BD，則AC⊥BD． 由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD． 又AC∩CC1＝C， 所以BD⊥平面ACC1． 而AC1?平面ACC1， 所以BD⊥AC1． 因?yàn)镸，N分別是A1B1，A1D1的中點(diǎn)， 所以MN∥BD，從而MN⊥AC1． 同理可證PN⊥AC1． 又PN∩MN＝N，所以直線AC1⊥平面PQMN． 3．如圖(1)，在平面四邊形ABCD中，∠A＝90，∠B＝135，∠C＝60，AB＝AD，M，N分別是邊AD，CD上的點(diǎn)，且2AM＝MD，2CN＝ND．如圖(1)，將△ABD沿對(duì)角線BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，并連接AC，MN(如圖(2))． (1)證明：MN∥平面ABC； (2)證明：AD⊥BC； (3)若BC＝1，求三棱錐ABCD的體積． 解：(1)證明：在△ACD中， ∵2AM＝MD，2CN＝ND， ∴MN∥AC， 又MN?平面ABC，AC?平面ABC， ∴MN∥平面ABC． (2)證明：在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝90， ∴∠ABD＝45， ∵在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝135，∴BC⊥BD． 又平面ABD⊥平面BCD， 且BC?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴BC⊥平面ABD， 又AD?平面ABD， ∴AD⊥BC． (3)在△BCD中，∵BC＝1，∠CBD＝90，∠BCD＝60， ∴BD＝． 又在△ABD中，∠BAD＝90，AB＝AD， ∴AB＝AD＝． ∴S△ABD＝ABAD＝， 由(2)知BC⊥平面ABD， ∴VABCD＝VCABD＝1＝．