2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第3講 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例以選擇題或填空題的形式考查回歸分析及獨(dú)立性檢驗(yàn)中的基本思想方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】高考在該部分的主要命題點(diǎn)就是回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)的基礎(chǔ)知識(shí)和簡(jiǎn)單應(yīng)用復(fù)習(xí)時(shí)要掌握好回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法和基本公式基礎(chǔ)梳理1相關(guān)關(guān)系的分類從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)2線性相關(guān)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線3回歸方程(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離平方和最小的方法叫最小二乘法(2)回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸方程為x，則其中，b是回歸方程的斜率，a是在y軸上的截距4樣本相關(guān)系數(shù)r，用它來衡量?jī)蓚€(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系(1)當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；(2)當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；(3)r的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系通常當(dāng)|r|0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系5線性回歸模型(1)ybxae中，a、b稱為模型的未知參數(shù)；e稱為隨機(jī)誤差(2)相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：R2 ，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于1，表示回歸效果越好6獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)用變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，這種變量稱為分類變量例如：是否吸煙，宗教信仰，國(guó)籍等(2)列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表(3)一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為：22列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbdabcdK2(其中nabcd為樣本容量)，可利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷表來判斷“x與y的關(guān)系”這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)兩個(gè)規(guī)律(1)函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系(2)當(dāng)K23.841時(shí)，則有95%的把握說事A與B有關(guān)；當(dāng)K26.635時(shí)，則有99%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)K22.706時(shí)，則認(rèn)為事件A與B無關(guān)三個(gè)注意(1)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義(2)線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)而來的，存在誤差，這種誤差會(huì)導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差；而且回歸方程只適用于我們所研究的樣本總體(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的隨機(jī)變量K23.841是判斷是否有關(guān)系的臨界值，K23.841應(yīng)判斷為沒有充分證據(jù)顯示事件A與B有關(guān)系，而不能作為小于95%的量化值來判斷雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)下面哪些變量是相關(guān)關(guān)系()A出租車車費(fèi)與行駛的里程 B房屋面積與房屋價(jià)格C身高與體重 D鐵塊的大小與質(zhì)量解析A，B，D都是函數(shù)關(guān)系，其中A一般是分段函數(shù)，只有C是相關(guān)關(guān)系答案C2對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui、vi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖(2)由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析由題圖(1)可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)；由題圖(2)可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān)答案C3(xx南昌模擬)某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是()A.10x200 B.10x200C.10x200 D.10x200解析因?yàn)殇N量與價(jià)格負(fù)相關(guān)，由函數(shù)關(guān)系考慮為減函數(shù)，又因?yàn)閤，y不能為負(fù)數(shù)，再排除C，故選A.答案A4(xx棗莊模擬)下面是22列聯(lián)表：y1y2合計(jì)x1a2173x2222547合計(jì)b46120則表中a，b的值分別為()A94,72 B52,50 C52,74 D74,52解析a2173，a52，又a22b，b74.答案C5在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過計(jì)算K2的觀測(cè)值k27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是_的(有關(guān)，無關(guān))解析由觀測(cè)值k27.63與臨界值比較，我們有99%的把握說打鼾與患心臟病有關(guān)答案有關(guān)考向一相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】山東魯潔棉業(yè)公司的科研人員在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上對(duì)某棉花新品種進(jìn)行施化肥量x對(duì)產(chǎn)量y影響的試驗(yàn)，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位：kg)：施化肥量x15202530354045棉花產(chǎn)量y330345365405445450455(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)判斷是否具有相關(guān)關(guān)系審題視點(diǎn) (1)用x軸表示化肥施用量，y軸表示棉花產(chǎn)量，逐一畫點(diǎn)(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系解(1)散點(diǎn)圖如圖所示(2)由散點(diǎn)圖知，各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)大致都在一條直線附近，所以施化肥量x與產(chǎn)量y具有線性相關(guān)關(guān)系 利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較簡(jiǎn)便的方法在散點(diǎn)圖中如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系即變量之間具有函數(shù)關(guān)系如果所有的樣本點(diǎn)落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系【訓(xùn)練1】 根據(jù)兩個(gè)變量x，y之間的觀測(cè)數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖如圖所示，這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系_(填“是”與“否”)解析從散點(diǎn)圖看，散點(diǎn)圖的分布成團(tuán)狀，無任何規(guī)律，所以兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系答案否考向二獨(dú)立性檢驗(yàn)【例2】(xx全國(guó)新課標(biāo))為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下： 性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2審題視點(diǎn) 第(2)問由a40，b30，c160，d270，代入公式可求K2，由K2的值與6.635比較斷定第(3)問從抽樣方法說明解(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例的估計(jì)值為14%.(2)K29.967.由于9.9676.635，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層，采用分層抽樣方法，這要比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好 獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式K2計(jì)算K2的觀測(cè)值；(3)比較K2與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷【訓(xùn)練2】 某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表：甲廠：分組29.86，2990)29.90，2994)29.94，2998)29.98，3002)30.02，3006)30.06，3010)30.10，3014)頻數(shù)12638618292614乙廠：分組29.86，2990)29.90，2994)29.94，2998)29.98，3002)30.02，3006)30.06，3010)30.10，3014)頻數(shù)297185159766218(1)試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)零件的優(yōu)質(zhì)品率；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.甲廠乙廠合計(jì)優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品合計(jì)附K2，P(K2k)0.050.01k3.8416.635解(1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為100%72%；乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為100%64%.(2)甲廠乙廠合計(jì)優(yōu)質(zhì)品360320680非優(yōu)質(zhì)品140180320合計(jì)5005001 000K27.356.635，所以有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”考向三線性回歸方程【例3】(xx菏澤模擬)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：32.5435464.566.5)審題視點(diǎn) (2)問利用公式求、，即可求出線性回歸方程(3)問將x100代入回歸直線方程即可解(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示(2)由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：86，4.5(噸)，3.5(噸)已知iyi66.5，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：0.7，3.50.74.50.35.因此，所求的線性回歸方程為0.7x0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為：90(0.71000.35)19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤) 在解決具體問題時(shí)，要先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，通過檢驗(yàn)確認(rèn)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若它們之間有線性相關(guān)關(guān)系，再求回歸直線方程【訓(xùn)練3】 (2011江西)為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x/cm174176176176178兒子身高y/cm175175176177177則y對(duì)x的線性回歸方程為()Ayx1 Byx1Cy88x Dy176解析由題意得176(cm)，176(cm)，由于(，)一定滿足線性回歸方程，經(jīng)驗(yàn)證知選C.答案C閱卷報(bào)告15數(shù)據(jù)處理不當(dāng)導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤而失分【問題診斷】 由于大多數(shù)省市高考要求不準(zhǔn)使用計(jì)算器，而線性回歸問題和獨(dú)立性檢驗(yàn)問題仍是近幾年新課標(biāo)高考的?？键c(diǎn)，并且大多是考查考生的計(jì)算能力，就計(jì)算方面常有不少考生因計(jì)算出錯(cuò)而失分【防范措施】 平時(shí)訓(xùn)練時(shí)首先養(yǎng)成勤于動(dòng)手的習(xí)慣，親自動(dòng)手計(jì)算，再者考場(chǎng)上要保持心態(tài)放松，做題時(shí)細(xì)心認(rèn)真，最終可減少錯(cuò)誤的發(fā)生【示例】(2011安徽)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份xxxxxxxxxx需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程bxa；(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地xx年的糧食需求量實(shí)錄(1)2 006，260.2.b 6.2，錯(cuò)因求b時(shí)計(jì)算出錯(cuò)，b值不準(zhǔn)確ab260.26.22 00612 177.6.2x12 177.(2)6.22 01212 177297.4.正解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來配回歸直線方程，為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份xx42024需求量257211101929對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得，0，3.2，b6.5，ab3.2.由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為257b(x2 006)a6.5(x2 006)3.2，即6.5(x2 006)260.2.(2)利用直線方程，可預(yù)測(cè)xx年的糧食需求量為65(2 0122 006)260.26.56260.2299.2(萬噸)