2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第六章 第37課 復數(shù)要點導學復數(shù)的概念及四則運算法則實數(shù)m分別取什么數(shù)時,復數(shù)z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是:(1) 實數(shù)? (2) 虛數(shù)? (3) 純虛數(shù)?思維引導復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題的最基本也是最重要的思想方法,其依據(jù)是復數(shù)的有關(guān)概念和兩個復數(shù)相等的充要條件.解答z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.由mR,可知z的實部為m2+5m+6,虛部為m2-2m-15.(1) 要使z為實數(shù),必有所以m=5或m=-3.(2) 要使z為虛數(shù),必有m2-2m-150,所以m5且m-3.(3) 要使z為純虛數(shù),必有即所以m=-2.精要點評按照題設(shè)條件把復數(shù)整理成z=a+bi(a,bR)的形式,明確復數(shù)的實部與虛部,由復數(shù)相等的充要條件或?qū)嵅颗c虛部滿足的條件,列出方程(組)或不等式(組),通過解方程(組)或不等式(組)達到解決問題的目的是解決問題的關(guān)鍵.(xx蘇北四市期末)設(shè)復數(shù)z1=2-i,z2=m+i(mR,i為虛數(shù)單位),若z1z2為實數(shù),則m的值為.答案2解析因為z1z2=(2-i)(m+i)=2m+1+(2-m)i且z1z2為實數(shù),所以2-m=0,m=2.(xx泰州期末)若復數(shù)(1+i)2=a+bi(a,b是實數(shù),i是虛數(shù)單位),則a+b的值為.答案2解析(1+i)2=2i=a+bi,根據(jù)復數(shù)相等的定義,則有a=0,b=2,所以a+b=2.已知復數(shù)z1滿足(z1-2)(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位),復數(shù)z2的虛部為2,z1z2是實數(shù),求z2.思維引導兩個復數(shù)的和是一個實數(shù),則和的虛部為0,從而可以待定系數(shù),進一步求解復數(shù)z2.解答由(z1-2)(1+i)=1-i,解得z1=2-i.設(shè)z2=a+2i,aR,則z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.因為z1z2R,所以a=4,所以z2=4+2i.精要點評正確使用復數(shù)的四則運算求解z1是解決本題的關(guān)鍵.(xx蘇州期末)設(shè)i為虛數(shù)單位,則(1+2i)(1-i)2=.答案4-2i解析(1+2i)(1-i)2=-2i(1+2i)=4-2i.(xx南京學情調(diào)研)已知復數(shù)z滿足iz=1+i(i為虛數(shù)單位),那么|z|=.答案解析方法一:因為iz=1+i,所以z=1-i,故|z|=.方法二:因為iz=1+i,所以|iz|=|1+i|,即|z|=.復數(shù)的幾何意義設(shè)zC,若z2為純虛數(shù),求z在復平面上對應(yīng)的軌跡方程.思維引導因為z2為純虛數(shù),所以z2的實部為0,且虛部不為0.解答設(shè)z=x+yi(x,yR),則z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi.因為z2為純虛數(shù),所以所以所求軌跡方程為y=x(x0).精要點評要求z在復平面上對應(yīng)點的軌跡方程,即求z的實部和虛部滿足的關(guān)系式.求滿足等式|z-i|+|z+i|=3的復數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡.解答因為|z-i|+|z+i|=3,故由復數(shù)模的幾何意義得z的對應(yīng)點到定點(0,1)與(0,-1)的距離之和為3,滿足橢圓的定義,所以復數(shù)z的對應(yīng)點的軌跡為橢圓.已知復數(shù)z1=sin 2x+ti,z2=m+i(i為虛數(shù)單位,t,m,xR),且z1=z2.(1) 若t=0,且0<x<,求x的值;(2) 設(shè)t=f(x),已知當x=時,t=,求cos的值.規(guī)范答題 (1) 因為z1=z2,所以所以t=sin 2x-cos 2x.(2分)若t=0,則sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.(4分)因為0<x<,所以0<2x<2.所以2x=或2x=,得x=或x=.(6分)(2) t=f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin.(8分)當x=時,t=,即2sin=,所以sin=.所以-cos=,所以cos=-.(10分)所以cos=2cos2-1=2-1=-.(14分)精要點評理解兩復數(shù)相等的充分必要條件即可以將本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.1. =.答案-1+i2. 復數(shù)(1+2i)2的共軛復數(shù)是.答案-3-4i3. 若復數(shù)z滿足iz=2+4i,則在復平面內(nèi),z對應(yīng)點的坐標是.答案(4,-2)4. (xx揚州期末)在復平面內(nèi),復數(shù)對應(yīng)的點位于第象限.答案一解析因為=1+2i,所以它所對應(yīng)的點位于第一象限.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成配套檢測與評估中的練習(第73-74頁).