2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 第31課 余弦定理與解三角形要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)余弦定理的簡單運(yùn)用在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且=-.(1) 求角B的大小;(2) 若b=,a+c=4,求ABC的面積.思維引導(dǎo)由=-及余弦定理將條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解.解答(1) 由余弦定理知cosB=,cosC=.將上式代入=-,得=-,整理得a2+c2-b2=-ac.所以cosB=-.因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角,所以B=.(2) 將b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB,所以13=16-2ac,所以ac=3.所以SABC=acsinB=.精要點(diǎn)評(1) 根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵.(2) 熟練運(yùn)用余弦定理及其推論,同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用.(xx安徽卷)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a2=b2+c2+ab.(1) 求A;(2) 設(shè)a=,S為ABC的面積,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此時角B的大小.解答(1) 由余弦定理得cosA=-=-.又因?yàn)?<A<,所以A=.(2) 由(1)得sinA=.又由正弦定理及a=,得S=bcsinA=asinC=3sinBsinC.因此S+3cos Bcos C=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C),所以,當(dāng)B=C時,S+3cosBcosC取得最大值3,此時B=.利用余弦定理判斷三角形的形狀在ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinAsinB=,試判斷ABC的形狀.思維引導(dǎo)已知條件等式中既有邊又有角,因此考慮將邊與角的混合關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含有邊或者只含有角的關(guān)系,再作判斷.解答由(a+b+c)(a+b-c)=3ab(a+b)2-c2=3aba2+b2-c2=ab,所以cosC=.因?yàn)?<C<180,所以C=60,A+B=120,所以cos(A+B)=-,即cosAcosB-sinAsinB=-,又sinAsinB=,所以cosAcosB=,+得cos(A-B)=1.因?yàn)?<A-B<,所以A-B=0,所以A=C=B=60,故ABC為正三角形.精要點(diǎn)評根據(jù)已知的邊角關(guān)系,判斷三角形的形狀是解三角形中的典型題型,通常利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含有邊或只含有角的關(guān)系,再求解.在ABC中,若a(bcosB-ccosC)=(b2-c2)cosA,則ABC為三角形.答案等腰或直角解析由題意得ab-ac=(b2-c2),所以(b2-c2)(a2-b2-c2)=0,即b=c或a2=b2+c2.所以ABC是等腰或直角三角形.余弦定理的綜合應(yīng)用(xx遼寧卷)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a>c.已知=2,cosB=,b=3.(1) 求a和c的值;(2) 求cos(B-C)的值.思維引導(dǎo)(1) 根據(jù)向量數(shù)量積的定義將用a,c表示,再結(jié)合余弦定理解出a和c;(2) 分別求出sinB和cosC,然后利用兩角差的余弦公式求出cos(B-C)的值.解答(1) 由=2,得cacosB=2,又cosB=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB,又b=3,所以a2+c2=13.由解得或因?yàn)閍>c,所以a=3,c=2.(2) 在ABC中,sinB=.由正弦定理得sinC=sinB=.因?yàn)閍=b>c,所以C為銳角,因此cosC=.所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=+=.(xx陜西卷)已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.(1) 若a,b,c成等差數(shù)列,求證:sinA+sinC=2sin(A+C);(2) 若a,b,c成等比數(shù)列,求cosB的最小值.解答(1) 因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.因?yàn)閟inB=sin-(A+C)=sin(A+C),所以sinA+sinC=2sin(A+C).(2) 因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac.由余弦定理得cosB=,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立,所以cosB的最小值為.已知ABC的周長為4(+1),且sin B+sin C=sin A.(1) 求a的值;(2) 若SABC=3sin A,求角A的余弦值.規(guī)范答題(1) 根據(jù)正弦定理可將sin B+sin C=sin A化為b+c=a.(3分)聯(lián)立方程組解得a=4.(6分)(2) 因?yàn)镾ABC=3sin A,所以bcsin A=3sin A,則bc=6.(10分)又由(1)可知b+c=4,所以cos A=.(13分)因此,角A的余弦值是.(14分)1. 已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若a2+ab+b2-c2=0,則角C的大小是.答案2. (xx天津卷)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,那么cosA的值為.答案-解析因?yàn)?sinB=3sinC,所以2b=3c.又b-c=,所以a=2c,b=c,所以cosA=-.3. 在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin C,則b=.答案4解析在ABC中,因?yàn)閟in Acos C=3cos Asin C,則由正弦定理及余弦定理得a=3c,化簡得2(a2-c2)=b2.又由a2-c2=2b,得4b=b2,解得b=4或b=0(舍去).4. (xx全國卷)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sin C,則ABC面積的最大值為.答案解析根據(jù)正弦定理和a=2可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理得cosA=,所以A=.根據(jù)b2+c2-a2=bc及基本不等式得bc2bc-a2,即bc4,所以ABC面積的最大值為4=.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)(第61-62頁).