第一章建立數(shù)學(xué)模型,1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3數(shù)學(xué)建模示例1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模,玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型,實(shí)物模型,水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī),物理模型,地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖,符號(hào)模型,模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物,模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征,1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型,我們常見的模型,你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題”,用x表示船速，y表示水速，列出方程：,答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).,甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?,x=20y=5,航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟,作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；,用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；,用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；,求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；,回答原問題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。,數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling),對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）,數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)建模,1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義,電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；,數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。,數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，越來越受到人們的重視。,在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；,在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；,數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。,數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用,分析與設(shè)計(jì),預(yù)報(bào)與決策,控制與優(yōu)化,規(guī)劃與管理,數(shù)學(xué)建模,計(jì)算機(jī)技術(shù),知識(shí)經(jīng)濟(jì),1.3數(shù)學(xué)建模示例,1.3.1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,問題分析,模型假設(shè),通常三只腳著地,放穩(wěn)四只腳著地,四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;,地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;,地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。,模型構(gòu)成,用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來,椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性,用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置,四只腳著地,距離是的函數(shù),四個(gè)距離(四只腳),A,C兩腳與地面距離之和f(),B,D兩腳與地面距離之和g(),兩個(gè)距離,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來,f(),g()是連續(xù)函數(shù),對(duì)任意,f(),g()至少一個(gè)為0,數(shù)學(xué)問題,已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意，f()g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.,模型構(gòu)成,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,模型求解,給出一種簡單、粗糙的證明方法,將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因?yàn)閒()g()=0,所以f(0)=g(0)=0.,評(píng)注和思考,建模的關(guān)鍵,和f(),g()的確定,1.3.2商人們?cè)鯓影踩^河,問題(智力游戲),3名商人3名隨從,隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河?,問題分析,多步?jīng)Q策過程,決策每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員,要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.,模型構(gòu)成,xk第k次渡河前此岸的商人數(shù),yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù),xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)過程的狀態(tài),S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,S允許狀態(tài)集合,uk第k次渡船上的商人數(shù),vk第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk,vk)決策,D=(u,v)u+v=1,2允許決策集合,uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk,+(-1)k,狀態(tài)轉(zhuǎn)移律,求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).,多步?jīng)Q策問題,模型求解,窮舉法編程上機(jī),圖解法,狀態(tài)s=(x,y)16個(gè)格點(diǎn),允許決策移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,s1,sn+1,d1,，d11給出安全渡河方案,評(píng)注和思考,規(guī)格化方法,易于推廣,考慮4名商人各帶一隨從的情況,允許狀態(tài),S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,背景,世界人口增長概況,中國人口增長概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過快增長,1.3.3如何預(yù)報(bào)人口的增長,指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出(1798),常用的計(jì)算公式,x(t)時(shí)刻t的人口,基本假設(shè):人口(相對(duì))增長率r是常數(shù),今年人口x0,年增長率r,k年后人口,隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長,指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性,與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合,適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代,可用于短期人口增長預(yù)測,不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律,不能預(yù)測較長期的人口增長過程,19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù),阻滯增長模型(Logistic模型),人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設(shè),r固有增長率(x很小時(shí)),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,x(t)S形曲線,x增加先快后慢,阻滯增長模型(Logistic模型),參數(shù)估計(jì),用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm,利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合,例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）,專家估計(jì),阻滯增長模型(Logistic模型),模型檢驗(yàn),用模型計(jì)算2000年美國人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較,實(shí)際為281.4(百萬),模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國2010年的人口,加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù),Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量),阻滯增長模型(Logistic模型),數(shù)學(xué)建模的基本方法,機(jī)理分析,測試分析,根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律,將對(duì)象看作“黑箱”,通過對(duì)量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型,機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。,二者結(jié)合,用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù),1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模型準(zhǔn)備,了解實(shí)際背景,明確建模目的,搜集有關(guān)信息,掌握對(duì)象特征,形成一個(gè)比較清晰的問題,模型假設(shè),針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的,作出合理的、簡化的假設(shè),在合理與簡化之間作出折中,模型構(gòu)成,用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題,發(fā)揮想像力,使用類比法,盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模型求解,各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù),如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析,模型分析,模型檢驗(yàn),與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性,模型應(yīng)用,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,數(shù)學(xué)建模的全過程,現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息,數(shù)學(xué)模型,現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答,數(shù)學(xué)模型的解答,(歸納),(演繹),表述,求解,解釋,驗(yàn)證,根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題,選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答,將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象,用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答,實(shí)踐,現(xiàn)實(shí)世界,數(shù)學(xué)世界,1.5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類,模型的逼真性和可行性,模型的漸進(jìn)性,模型的強(qiáng)健性,模型的可轉(zhuǎn)移性,模型的非預(yù)制性,模型的條理性,模型的技藝性,模型的局限性,數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn),數(shù)學(xué)模型的分類,應(yīng)用領(lǐng)域,人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài),數(shù)學(xué)方法,初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì),表現(xiàn)特性,描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策,建模目的,確定和隨機(jī),靜態(tài)和動(dòng)態(tài),線性和非線性,離散和連續(xù),1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模,數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù),技術(shù)大致有章可循,藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則,想像力,洞察力,判斷力,學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人作過的模型,親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目,