24.3 正多邊形和圓 教學(xué)內(nèi)容 1正多邊形和圓的有關(guān)概念：正多邊形的外接圓，正多邊形的中心，正多邊形的半徑，正多邊形的中心角，正多邊形的邊心距 2在正多邊形和圓中，圓的半徑、邊長、邊心距中心角之間的等量關(guān)系 3正多邊形的畫法 教學(xué)目標(biāo) 了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫多邊形 復(fù)習(xí)正多邊形概念，讓學(xué)生盡可能講出生活中的多邊形為引題引入正多邊形和圓這一節(jié)間的內(nèi)容 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：通過例題使學(xué)生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 請同學(xué)們口答下面兩個(gè)問題 1什么叫正多邊形？ 2從你身邊舉出兩三個(gè)正多邊形的實(shí)例，正多邊形具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱嗎？其對(duì)稱軸有幾條，對(duì)稱中心是哪一點(diǎn)？ 老師點(diǎn)評(píng)：1各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形 2實(shí)例略正多邊形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有無數(shù)多條；正多邊形是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是正多邊形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交點(diǎn) 二、探索新知如果我們以正多邊形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的交點(diǎn)作為圓心，過點(diǎn)到頂點(diǎn)的連線為半徑，能夠作一個(gè)圓，很明顯，這個(gè)正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)圓上，如圖，正六邊形ABCDEF，連結(jié)AD、CF交于一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，那么肯定B、C、D、E、F都在這個(gè)圓上 因此，正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓 我們以圓內(nèi)接正六邊形為例證明 如圖所示的圓，把O分成相等的6段弧，依次連接各分點(diǎn)得到六邊ABCDEF，下面證明，它是正六邊形 AB=BC=CD=DE=EF AB=BC=CD=DE=EF 又A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD A=B 同理可證：B=C=D=E=F=A 又六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)都在O上 根據(jù)正多邊形的定義，各邊相等、各角相等、六邊形ABCDEF是O的內(nèi)接正六邊形，O是正六邊形ABCDEF的外接圓 為了今后學(xué)習(xí)和應(yīng)用的方便，我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)多邊形的中心 外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑 正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角 中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距 例1已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積 分析：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA，過O點(diǎn)作OMAB垂于M，在RtAOM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的 解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60，OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑 因此，所求的正六邊形的周長為6a 在RtOAM中，OA=a，AM=AB=a 利用勾股定理，可得邊心距 OM=a 所求正六邊形的面積=6ABOM=6aa=a2 現(xiàn)在我們利用正多邊形的概念和性質(zhì)來畫正多邊形 例2利用你手中的工具畫一個(gè)邊長為3cm的正五邊形 分析：要畫正五邊形，首先要畫一個(gè)圓，然后對(duì)圓五等分，因此，應(yīng)該先求邊長為3的正五邊形的半徑解：正五邊形的中心角AOB=72，如圖，AOC=30，OA=ABsin36=1.5sin362.55（cm） 畫法（1）以O(shè)為圓心，OA=2.55cm為半徑畫圓； （2）在O上順次截取邊長為3cm的AB、BC、CD、DE、EA （3）分別連結(jié)AB、BC、CD、DE、EA 則正五邊形ABCDE就是所要畫的正五邊形，如圖所示 三、鞏固練習(xí) 教材P115 練習(xí)1、2、3 P116 探究題、練習(xí) 四、應(yīng)用拓展 例3在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖24-94的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6 （1）求ABC的邊AB上的高h(yuǎn) （2）設(shè)DN=x，且，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大？（3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)185的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護(hù)大樹，請?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹 分析：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達(dá)式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識(shí)，應(yīng)用配方法求最值（3）的設(shè)計(jì)要有新意，應(yīng)用圓的對(duì)稱性就能圓滿解決此題 解：（1）由ABCG=ACBC得h=4.8 （2）h=且DN=x NF= 則S四邊形DEFN=x（4.8-x）=-x2+10x =-（x2-x）=- （x-）2-=-（x-2.4）2+12 -（x-2.4）20 -（x-2.4）2+1212 且當(dāng)x=2.4時(shí)，取等號(hào) 當(dāng)x=2.4時(shí)，SDEFN最大 （3）當(dāng)SDEFN最大時(shí)，x=2.4，此時(shí)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，在RtFEB中，EF=2.4，BF=3 BE=1.8 BM=1.85，BM>EB，即大樹必位于欲修建的水池邊上，應(yīng)重新設(shè)計(jì)方案 當(dāng)x=2.4時(shí)，DE=5AD=3.2，由圓的對(duì)稱性知滿足條件的另一設(shè)計(jì)方案，如圖所示:此時(shí)，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，這樣設(shè)計(jì)既滿足條件，又避開大樹 五、歸納小結(jié)（學(xué)生小結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1正多邊和圓的有關(guān)概念：正多邊形的中心，正多邊形的半徑，正多邊形的中心角，正多邊的邊心距 2正多邊形的半徑、正多邊形的中心角、邊長、正多邊的邊心距之間的等量關(guān)系 3畫正多邊形的方法 4運(yùn)用以上的知識(shí)解決實(shí)際問題 六、布置作業(yè) 1教材P117 復(fù)習(xí)鞏固1 綜合運(yùn)用5、7 P118 8 2選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1如圖1所示，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，則ADB的度數(shù)是（ ）A60 B45 C30 D225 (1) (2) (3) 2圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)P，則APB的度數(shù)是（ ） A36 B60 C72 D108 3若半徑為5cm的一段弧長等于半徑為2cm的圓的周長，則這段弧所對(duì)的圓心角為（ ） A18 B36 C72 D144 二、填空題 1已知正六邊形邊長為a，則它的內(nèi)切圓面積為_ 2在ABC中，ACB=90，B=15，以C為圓心，CA長為半徑的圓交AB于D，如圖2所示，若AC=6，則AD的長為_ 3四邊形ABCD為O的內(nèi)接梯形，如圖3所示，ABCD，且CD為直徑，如果O的半徑等于r，C=60，那圖中OAB的邊長AB是_；ODA的周長是_；BOC的度數(shù)是_ 三、綜合提高題1等邊ABC的邊長為a，求其內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形DEFG的面積2如圖所示，已知O的周長等于6cm，求以它的半徑為邊長的正六邊形ABCDEF的面積 3如圖所示，正五邊形ABCDE的對(duì)角線AC、BE相交于M （1）求證：四邊形CDEM是菱形； （2）設(shè)MF2=BEBM，若AB=4，求BE的長答案:一、1C 2C 3D二、1a2 2 3r 3r 60三、1設(shè)BC與O切于M，連結(jié)OM、OB，則OMBC于M，OM=a，連OE，作OEEF于N，則OE=OM=a，EOM=45，OE=a，EN=a，EF=2EN=a，S正方形=a22設(shè)正六邊形邊長為a，則圓O半徑為a，由題意得：2a=6，a=3如右圖，設(shè)AB為正六邊形的一邊，O為它的中心，過O作ODAB，垂足為D，則OD=r6，則DOA=30，AD=AB=，在RtABC中，OD=r6=cm，S=6ar6=36=cm23略.課后教學(xué)反思：_ 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！