2019年高考數(shù)學新一輪復習 詳細分類題庫 考點25 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（文、理）（含詳解，13高考題）一、選擇題1. （xx新課標高考理科12）設(shè)AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，AnBnCn的面積為Sn，n=1,2,3,若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，則（ ）A、Sn為遞減數(shù)列B、Sn為遞增數(shù)列C、S2n1為遞增數(shù)列，S2n為遞減數(shù)列D、S2n1為遞減數(shù)列，S2n為遞增數(shù)列【解析】選B.因為，所以，注意到，所以.于是中，邊長為定值，另兩邊的長度之和為為定值.因為，所以，當時，有，即，于是的邊的高隨增大而增大，于是其面積為遞增數(shù)列.二、填空題2.（xx新課標高考理科14）若數(shù)列的前項和，則的通項公式是_【解題指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通項公式an.【解析】由，解得，又，所以，得 ，所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列.故數(shù)列的通項公式【答案】3. （xx湖南高考理科15）設(shè)為數(shù)列的前n項和，則（1）_；（2）_.【解題指南】（1） 令，代入 即可得到答案.（2）通過整理可發(fā)現(xiàn)當當為偶數(shù)時有，于是代入第（2）問的展開式即可得到答案.【解析】（1）因為，所以， ，即 ， 把代入得.（2）因為當時，整理得，所以，當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，所以，所以，所以當為偶數(shù)時，所以.【答案】（1） （2）4. （xx重慶高考理科12）已知是等差數(shù)列，公差，為其前項和，若、成等比數(shù)列，則 【解題指南】先根據(jù)、成等比數(shù)列求出數(shù)列的公差,然后根據(jù)公式求出.【解析】因為、成等1比數(shù)列, 所以,化簡得因為,所以,故【答案】三、解答題5.（xx大綱版全國卷高考理科22）已知函數(shù)（I）若；（II）設(shè)數(shù)列【解析】（I），令，即，解得或若，則時， ，所以.若，則時，所以.綜上的最小值為.（II）令，由（I）知，時，.即.取，則.于是.所以6.(xx浙江高考文科T19)在公差為d的等差數(shù)列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.(1)求d,an.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.【解題指南】(1)由a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列可以求得a1與d的關(guān)系,進而可求得d與an.(2)由d<0,先判斷該數(shù)列從第幾項開始大于零,從第幾項開始小于零,再根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解.【解析】(1)由題意得,5a3a1=(2a2+2)2,d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6.(2)設(shè)數(shù)列an前n項和為Sn,因為d<0,所以d=-1,an=-n+11,則n11時,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-n2+n;n12時,|a1|+|a2|+|a11|+|a12|+|an|=a1+a2+a11-a12-an=S11-(Sn-S11)= -Sn+2S11=n2-n +110.綜上所述,|a1|+|a2|+|an|=7. （xx重慶高考文科16）設(shè)數(shù)列滿足：，（）求的通項公式及前項和；（）已知是等差數(shù)列，為前項和，且，求【解題指南】直接根據(jù)遞推關(guān)系可求出數(shù)列的通項公式及前項和,再利用題目中所給條件求解.【解析】（）由題設(shè)知是首項為公比為的等比數(shù)列,所以,（）所以公差，故.8.（xx上海高考理科T23）給定常數(shù)c>0,定義函數(shù)f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.數(shù)列a1,a2,a3,滿足an+1=f(an),nN*.(1)若a1=-c-2,求a2及a3.(2)求證:對任意nN*,an+1-anc.(3)是否存在a1,使得a1,a2,an,成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1;若不存在,說明理由.【解析】(1)a2=2,a3=c+10.(2)f(x)=當an-c時,an+1-an=c+8>c.當-c-4an<-c時,an+1-an=2an+3c+82(-c-4)+3c+8=c;當an<-c-4時,an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c;所以,對任意nN*,an+1-anc.(3)由(2),結(jié)合c>0,得an+1>an,即an為無窮遞增數(shù)列,又an為等差數(shù)列,所以存在正數(shù)M,當n>M時,an>-c,從而an+1=f(an)=an+c+8,由于an為等差數(shù)列,因此其公差d=c+8.若a1<-c-4,則a2=f(a1)=-a1-c-8,又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,即a1=-c-8,從而a2=0,當n2時,由于an為遞增數(shù)列,故ana2=0>-c,所以an+1=f(an)=an+c+8,而a2=a1+c+8,故當a1=-c-8時,an為無窮等差數(shù)列,符合要求.若-c-4a1<-c,則a2=f(a1)=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去.若a1-c,則由ana1得到an+1=f(an)=an+c+8,從而an為無窮等差數(shù)列,符合要求.綜上a1的取值集合為-c-8-c,+). 9.（xx上海高考文科T22）已知函數(shù)，無窮數(shù)列滿足an+1=f(an),nN*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a10，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值.（3）是否存在a1，使得a1，a2，an成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由.【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2.(2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.當0<a12時,a3=2-(2-a1)=a1,所以=(2-a1)2,得a1=1.當a1>2時,a3=2-(a1-2)=4-a1,所以a1(4-a1)=(2-a1)2,得a1=2-(舍去)或a1=2+.綜合得a1=1或a1=2+.(3)假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在,那么a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1|.由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*).以下分情況討論:當a1>2時,由(*)得a1=0,與a1>2矛盾;當0<a12時,由(*)得a1=1,從而an=1(n=1,2,),所以an是一個等差數(shù)列;當a10時,則公差d=a2-a1=(a1+2)-a1=2>0,因此存在m2使得am=a1+2(m-1)>2.此時d=am+1-am=2-|am|-am<0,矛盾.綜合可知,當且僅當a1=1時,a1,a2,a3,構(gòu)成等差數(shù)列.10. （xx江蘇高考數(shù)學科19）設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，是其前項和。記，其中為實數(shù)。（1）若，且成等比數(shù)列，證明：（）；（2）若是等差數(shù)列，證明：。【解題指南】利用條件，且成等比數(shù)列，求出，再代入證明（2）利用條件是等差數(shù)列建立與c有關(guān)方程?！咀C明】由題設(shè)知,Sn=na+d.（1）若，得.又因為b1,b2,b4成等比數(shù)列,所以,即：，化簡得d2-2ad=0.因為d0,所以d=2a.因此,對于所有的mN*,有Sm=m2a.從而對于所有的k,nN*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差是d1,則bn=b1+(n-1)d1, nN*,代入Sn的表達式,整理得,對于所有的nN*,有+(b1-d1-a+d)n2+cd1n=c(d1-b1).令A=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),則對于所有的nN*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*)在(*)式中分別取n=1,2,3,4,得A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,從而有由（2）（3）得A=0,cd1=-5B,代入方程（1）,得B=0,從而cd1=0.即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.若d1=0,則由d1-d=0,得d=0,與題設(shè)矛盾,所以d10.又因為cd1=0,所以c=0. 11.（xx湖南高考文科19）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，2，N（）求，并求數(shù)列的通項公式；() 求數(shù)列的前項和。【解題指南】（）本題是利用遞推關(guān)系 求數(shù)列的通項公式 ；（）根據(jù)第()問可知應(yīng)利用錯位相減法求數(shù)列前n項和.【解析】（）令，得，因為，所以，令，得，解得。當時，由，兩式相減，整理得，于是數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，。()由(I )知，記其前項和為，于是 -得 從而12.（xx江西高考理科17）正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：(1)求數(shù)列an的通項公式an. (2)令，數(shù)列bn的前n項和為Tn證明：對于任意，都有. 【解題指南】(1)由題目中的等式求出，然后由求an；（2）化簡，觀察結(jié)構(gòu)特征，選取求和的方法求Tn.【解析】（1）由得由于是正項數(shù)列，所以.于是，當時，=,又因為符合上式.綜上，數(shù)列的通項公式為.(2)因為，所以.則.13.（xx江西高考文科16）正項數(shù)列an滿足.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)令bn=，求數(shù)列bn的前n項和Tn.【解題指南】借助二次三項式的因式分解來求，分析bn通項公式的特點選擇正確的求和方法.【解析】(1)由，得.由于an是正項數(shù)列，所以.(2)由，bn=，則所以.14.(xx福建高考文科T17)已知等差數(shù)列的公差d=1,前n項和為Sn.(1)若1,a1,a3成等比數(shù)列,求a1.(2)若S5>a1a9,求a1的取值范圍.【解題指南】按等比中項列式,a3用通項表示,求出首項,第(2)問,直接按基本量列式求解.【解析】(1)因為數(shù)列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比數(shù)列,所以=1(a1+2),即-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.(2)因為數(shù)列an的公差d=1,且S5>a1a9,所以5a1+10>+8a1,即+3a1-10<0,解得-5<a1<2. 15.（xx廣東高考理科19）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)，有.【解題指南】本題以遞推數(shù)列為背景，考查通項公式與前n項和的關(guān)系及不等式的證明，要注意轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造法、數(shù)學歸納法的應(yīng)用.證明不等式的過程中，放縮的尺度要拿捏準確.【解析】（1）因為，在中令，可得；（2）由已知可得，即，則當時，可得，也就是，同除以可得，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，所以，顯然也滿足，即所求通項公式為.（3）當時，結(jié)論成立；當時，結(jié)論成立；當時，則，即對一切，成立.16.（xx廣東高考文科19）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足且構(gòu)成等比數(shù)列(1) 證明：；(2) 求數(shù)列的通項公式；(3) 證明：對一切正整數(shù)，有【解題指南】本題以遞推數(shù)列為背景，考查通項公式與前n項和的關(guān)系及不等式的證明，要注意轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造法、數(shù)學歸納法的應(yīng)用.證明不等式的過程中，放縮的尺度要拿捏準確.【解析】（1）當時，因為，所以； （2）當時，因為，所以，當時，是公差的等差數(shù)列.因為構(gòu)成等比數(shù)列，解得,由（1）可知，又因為，則是首項,公差的等差數(shù)列.數(shù)列的通項公式為.（3）17. （xx山東高考理科20）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（） 求數(shù)列an的通項公式；（） 設(shè)數(shù)列bn的前n項和Tn，且Tn+ = （為常數(shù)），令cn=b2n，（n）.求數(shù)列cn的前n項和Rn.【解題指南】（）先設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，然后根據(jù)可列方程組求得數(shù)列的通項公式；（）先根據(jù)前n項和與通項的關(guān)系求出的通項公式，由cn=b2n求出的通項，再利用錯位相減法求出Rn.【解析】（）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，由得解得，因此（）由題意知，所以時，=故所以，則，兩式相減得 整理得，所以 數(shù)列的前n項和.18. （xx山東高考文科20）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（） 求數(shù)列an的通項公式；（）設(shè)數(shù)列滿足 ，求的前項和.【解題指南】（）先設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，然后根據(jù)可列方程組求得數(shù)列的通項公式；（）先根據(jù)求出bn的通項公式,再利用錯位相減法求出Tn.【解析】（）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，由得解得，因此（）由已知,當時，當時，所以，由（）知，所以，又，兩式相減得， ，所以.19. （xx陜西高考文科17）設(shè)Sn表示數(shù)列的前n項和. () 若是等差數(shù)列, 推導Sn的計算公式; () 若, 且對所有正整數(shù)n, 有. 判斷是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論. 【解題指南】倒序相加法推導等差數(shù)列的前n項和；利用推導的通項公式判斷是否為等比數(shù)列.【解析】() 設(shè)公差為d,則，.() 是等比數(shù)列.證明如下：因為，又因為，所以當n1時，有因此,是首項1,公比的等比數(shù)列. 20. （xx新課標高考文科17）已知等差數(shù)列的前項和滿足，.（）求的通項公式；（）求數(shù)列的前項和.【解題指南】（）利用，求出等差數(shù)列的首項及公差，利用求出的通項公式；（）將（）中的通項公式，代入到中，利用裂項相消法求前項和.【解析】（）設(shè)數(shù)列的公差為，則.由已知可得解得故的通項公式為.（）由（）知，從而數(shù)列的前項和為