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2019年高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫(kù) 考點(diǎn)25 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（文、理）（含詳解，13高考題） 一、選擇題 1. （xx新課標(biāo)Ⅰ高考理科Ｔ12）設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，則（ ） A、{Sn}為遞減數(shù)列 B、{Sn}為遞增數(shù)列 C、{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列 D、{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列 【解析】選B.因?yàn)?，，，所以? ，注意到，所以. 于是中，邊長(zhǎng)為定值，另兩邊的長(zhǎng)度之和為為定值. 因?yàn)椋? 所以，當(dāng)時(shí)，有，即，于是的邊的高隨增大而增大，于是其面積為遞增數(shù)列. 二、填空題 2.（xx新課標(biāo)Ⅰ高考理科Ｔ14）若數(shù)列的前項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式是_________ 【解題指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通項(xiàng)公式an. 【解析】由，解得，又，所以，得 ，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.故數(shù)列的通項(xiàng)公式 【答案】 3. （xx湖南高考理科Ｔ15） 設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則 （1）_____； （2）___________. 【解題指南】（1） 令，代入 即可得到答案. （2）通過整理可發(fā)現(xiàn)當(dāng)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)有，于是代入第（2）問的展開式即可得到答案. 【解析】（1）因?yàn)椋裕?①， ，即 ②， 把②代入①得. （2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，整理得，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以， 所以，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，， 所以 . 【答案】（1） （2） 4. （xx重慶高考理科Ｔ12）已知是等差數(shù)列，，公差，為其前項(xiàng)和，若、、成等比數(shù)列，則 【解題指南】先根據(jù)、、成等比數(shù)列求出數(shù)列的公差,然后根據(jù)公式求出. 【解析】因?yàn)椤?、成?比數(shù)列, 所以,化簡(jiǎn)得 因?yàn)?所以,故 【答案】 三、解答題 5.（xx大綱版全國(guó)卷高考理科Ｔ22）已知函數(shù) （I）若； （II）設(shè)數(shù)列 【解析】（I）， 令，即，解得或 若，則時(shí)， ，所以. 若，則時(shí)，，，所以. 綜上的最小值為. （II）令，由（I）知，時(shí)，. 即. 取，則. 于是. 所以 6.(xx浙江高考文科T19)在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列. (1)求d,an. (2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 【解題指南】(1)由a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列可以求得a1與d的關(guān)系,進(jìn)而可求得d與an. (2)由d<0,先判斷該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始大于零,從第幾項(xiàng)開始小于零,再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解. 【解析】(1)由題意得,5a3a1=(2a2+2)2, d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6. (2)設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn, 因?yàn)閐<0,所以d=-1,an=-n+11,則 n≤11時(shí),|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n; n≥12時(shí),|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…-an=S11-(Sn-S11)= -Sn+2S11=n2-n +110. 綜上所述,|a1|+|a2|+…+|an|= 7. （xx重慶高考文科Ｔ16）設(shè)數(shù)列滿足：，，． （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； （Ⅱ）已知是等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，且，，求． 【解題指南】直接根據(jù)遞推關(guān)系可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和,再利用題目中所給條件求解. 【解析】（Ⅰ）由題設(shè)知是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列,所以, （Ⅱ）所以公差， 故. 8.（xx上海高考理科T23）給定常數(shù)c>0,定義函數(shù)f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.數(shù)列a1,a2,a3,…,滿足an+1=f(an),n∈N*. (1)若a1=-c-2,求a2及a3. (2)求證:對(duì)任意n∈N*,an+1-an≥c. (3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…,成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1;若不存在,說明理由. 【解析】(1)a2=2,a3=c+10. (2)f(x)= 當(dāng)an≥-c時(shí),an+1-an=c+8>c. 當(dāng)-c-4≤an<-c時(shí),an+1-an=2an+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c; 當(dāng)an<-c-4時(shí),an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c; 所以,對(duì)任意n∈N*,an+1-an≥c. (3)由(2),結(jié)合c>0,得an+1>an,即{an}為無窮遞增數(shù)列, 又{an}為等差數(shù)列,所以存在正數(shù)M,當(dāng)n>M時(shí),an>-c, 從而an+1=f(an)=an+c+8, 由于{an}為等差數(shù)列,因此其公差d=c+8. ①若a1<-c-4,則a2=f(a1)=-a1-c-8, 又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8, 即a1=-c-8,從而a2=0, 當(dāng)n≥2時(shí),由于{an}為遞增數(shù)列,故an≥a2=0>-c,所以an+1=f(an)=an+c+8, 而a2=a1+c+8,故當(dāng)a1=-c-8時(shí),{an}為無窮等差數(shù)列,符合要求. ②若-c-4≤a1<-c,則a2=f(a1)=3a1+3c+8, 又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去. ③若a1≥-c,則由an≥a1得到an+1=f(an)=an+c+8, 從而{an}為無窮等差數(shù)列,符合要求. 綜上a1的取值集合為{-c-8}∪[-c,+∞). 9.（xx上海高考文科T22）已知函數(shù)，無窮數(shù)列滿足an+1=f(an),n∈N* （1）若a1=0，求a2，a3，a4； （2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值. （3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由. 【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2. (2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|. ①當(dāng)02時(shí),a3=2-(a1-2)=4-a1, 所以a1(4-a1)=(2-a1)2, 得a1=2-(舍去)或a1=2+. 綜合①②得a1=1或a1=2+. (3)假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在,那么a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1||. 由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1||=2|a1|(*). 以下分情況討論: ①當(dāng)a1>2時(shí),由(*)得a1=0,與a1>2矛盾; ②當(dāng)00, 因此存在m≥2使得am=a1+2(m-1)>2. 此時(shí)d=am+1-am=2-|am|-am<0,矛盾. 綜合①②③可知,當(dāng)且僅當(dāng)a1=1時(shí),a1,a2,a3,…,構(gòu)成等差數(shù)列. 10. （xx江蘇高考數(shù)學(xué)科Ｔ19）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和。記，，其中為實(shí)數(shù)。 （1）若，且成等比數(shù)列，證明：（）； （2）若是等差數(shù)列，證明：。 【解題指南】利用條件，且成等比數(shù)列，求出，再代入證明（2）利用條件是等差數(shù)列建立與c有關(guān)方程。 【證明】由題設(shè)知,Sn=na+d. （1）若，得.又因?yàn)閎1,b2,b4成等比數(shù)列,所以, 即：，化簡(jiǎn)得d2-2ad=0.因?yàn)閐≠0,所以d=2a. 因此,對(duì)于所有的m∈N*,有Sm=m2a. 從而對(duì)于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk. (2)設(shè)數(shù)列{bn}的公差是d1,則bn=b1+(n-1)d1, n∈N*, 代入Sn的表達(dá)式,整理得,對(duì)于所有的n∈N*,有+(b1-d1-a+d)n2+cd1n=c(d1-b1). 令A(yù)=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),則對(duì)于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.　(*) 在(*)式中分別取n=1,2,3,4,得 A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1, 從而有 由（2）（3）得A=0,cd1=-5B,代入方程（1）,得B=0,從而cd1=0. 即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0. 若d1=0,則由d1-d=0,得d=0,與題設(shè)矛盾,所以d1≠0. 又因?yàn)閏d1=0,所以c=0. 11.（xx湖南高考文科Ｔ19）設(shè)為數(shù)列{}的前項(xiàng)和，已知，2，N （Ⅰ）求，，并求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式； (Ⅱ) 求數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和。 【解題指南】（Ⅰ）本題是利用遞推關(guān)系 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ；（Ⅱ）根據(jù)第(Ⅰ)問可知應(yīng)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和. 【解析】（Ⅰ）令，得，因?yàn)?，所以? 令，得，解得。當(dāng)時(shí)，由 ，兩式相減，整理得，于是數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，。 (Ⅱ)由(I )知，記其前項(xiàng)和為，于是 ① ② ① -②得 從而 12.（xx江西高考理科Ｔ17）正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足： (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an. (2)令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．證明：對(duì)于任意，都有. 【解題指南】(1)由題目中的等式求出，然后由求an；（2）化簡(jiǎn)，觀察結(jié)構(gòu)特征，選取求和的方法求Tn. 【解析】（1）由得 由于是正項(xiàng)數(shù)列，所以.于是，當(dāng)時(shí)，=,又因?yàn)榉仙鲜?綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為. (2)因?yàn)椋?，所? 則 . 13.（xx江西高考文科Ｔ16）正項(xiàng)數(shù)列｛an｝滿足. (1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an； (2)令bn=，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn. 【解題指南】借助二次三項(xiàng)式的因式分解來求，分析｛bn｝通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇正確的求和方法. 【解析】(1)由，得.由于｛an｝是正項(xiàng)數(shù)列，所以. (2)由，bn=，則 所以. 14.(xx福建高考文科T17)已知等差數(shù)列的公差d=1,前n項(xiàng)和為Sn. (1)若1,a1,a3成等比數(shù)列,求a1. (2)若S5>a1a9,求a1的取值范圍. 【解題指南】按等比中項(xiàng)列式,a3用通項(xiàng)表示,求出首項(xiàng),第(2)問,直接按基本量列式求解. 【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比數(shù)列,所以=1(a1+2),即-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2. (2)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d=1,且S5>a1a9, 所以5a1+10>+8a1, 即+3a1-10<0,解得-5

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