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2019年高考數(shù)學真題分類匯編 10.1 橢圓及其性質 文 考點一　橢圓的定義和標準方程 1.(xx大綱全國,9,5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2,離心率為,過F2的直線l交C于A、B兩點.若△AF1B的周長為4,則C的方程為(　　) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 答案　A　 2.(xx四川,20,13分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點為F(-2,0),離心率為. (1)求橢圓C的標準方程; (2)設O為坐標原點,T為直線x=-3上一點,過F作TF的垂線交橢圓于P,Q.當四邊形OPTQ是平行四邊形時,求四邊形OPTQ的面積. 解析　(1)由已知可得,=,c=2,所以a=. 又由a2=b2+c2,解得b=,所以橢圓C的標準方程是+=1. (2)設T點的坐標為(-3,m),則直線TF的斜率kTF==-m. 當m≠0時,直線PQ的斜率kPQ=,直線PQ的方程是x=my-2.當m=0時,直線PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式. 設P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判別式Δ=16m2+8(m2+3)>0, 所以y1+y2=,y1y2=, x1+x2=m(y1+y2)-4=. 因為四邊形OPTQ是平行四邊形, 所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2). 所以解得m=1. 此時,S四邊形OPTQ=2S△OPQ=2|OF||y1-y2| =2=2. 3.(xx安徽,21,13分)設F1、F2分別是橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,△ABF2的周長為16,求|AF2|; (2)若cos∠AF2B=,求橢圓E的離心率. 解析　(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1. 因為△ABF2的周長為16,所以由橢圓定義可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8. 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)設|F1B|=k,則k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k. 由橢圓定義可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2中,由余弦定理可得 |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cos∠AF2B, 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k). 化簡可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A, △AF1F2為等腰直角三角形. 從而c=a,所以橢圓E的離心率e==. 4.(xx廣東,20,14分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點為(,0),離心率為. (1)求橢圓C的標準方程; (2)若動點P(x0,y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程. 解析　(1)由題意得c=,∵e==,∴a=3, ∴b==2, ∴橢圓C的標準方程為+=1. (2)當過P點的兩條切線的斜率均存在時,不妨設為k1、k2, 則過P點的切線方程可設為y-y0=k(x-x0)?y=kx+y0-kx0, 由消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)9[(y0-kx0)2-4]=0, 整理得(9-)k2+2x0y0k-+4=0,∴k1k2=(x0≠3), 由已知得k1k2=-1,∴=-1, ∴+=13,即此時點P的軌跡方程為+=13. 當兩條切線中有一條垂直于x軸時,此時兩條切線方程應分別為x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P點坐標為(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均滿足方程+=13(x0≠3). 綜上所述,所求P點的軌跡方程為+=13. 考點二　橢圓的性質 5.(xx江西,14,5分)設橢圓C:+=1(a>b>0)的左,右焦點為F1,F2,過F2作x軸的垂線與C相交于A,B兩點,F1B與y軸相交于點D,若AD⊥F1B,則橢圓C的離心率等于　　. 答案　 6.(xx遼寧,15,5分)已知橢圓C:+=1,點M與C的焦點不重合.若M關于C的焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在C上,則|AN|+|BN|=　　　　. 答案　12 7.(xx天津,18,13分)設橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,右頂點為A,上頂點為B.已知|AB|=|F1F2|. (1)求橢圓的離心率; (2)設P為橢圓上異于其頂點的一點,以線段PB為直徑的圓經過點F1,經過點F2的直線l與該圓相切于點M,|MF2|=2.求橢圓的方程. 解析　(1)設橢圓右焦點F2的坐標為(c,0). 由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2, 又b2=a2-c2,則=. 所以,橢圓的離心率e=. (2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為+=1. 設P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c). 由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 因為點P在橢圓上,故 +=1.② 由①和②可得3+4cx0=0.而點P不是橢圓的頂點,故x0=-c,代入①得y0=,即點P的坐標為. 設圓的圓心為T(x1,y1),則x1==-c,y1==c,進而圓的半徑r==c. 由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=2,故有 +=8+c2, 解得c2=3. 所以,所求橢圓的方程為+=1. 8.(xx課標Ⅱ,20,12分)設F1,F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左,右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個交點為N. (1)若直線MN的斜率為,求C的離心率; (2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 解析　(1)根據(jù)c=及題設知M,2b2=3ac. 將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去). 故C的離心率為. (2)由題意,知原點O為F1F2的中點,MF2∥y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,故=4,即b2=4a,① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 設N(x1,y1),由題意知y1<0,則 即 代入C的方程,得+=1.② 將①及c=代入②得+=1. 解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=2.