2019-2020年九年級數(shù)學(xué)上冊 幾何證明的有力工具全等三角形學(xué)案學(xué)案 北師大版一、同步輔導(dǎo)：全等三角形 1、 概念理解： 兩個(gè)三角形的形狀、大小、都一樣時(shí)，其中一個(gè)可以經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等運(yùn)動(dòng)（或稱變換）使之與另一個(gè)重合，這兩個(gè)三角形稱為全等三角形，而兩個(gè)三角形全等的判定是幾何證明的有力工具。2、 三角形全等的判定公理及推論有：（1）“邊角邊”簡稱“SAS”（2）“角邊角”簡稱“ASA”（3）“邊邊邊”簡稱“SSS”（4）“角角邊”簡稱“AAS”注意：在全等的判定中，沒有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。3、 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。注意：1）性質(zhì)中三角形全等是條件，結(jié)論是對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等。 而全等的判定卻剛好相反。2）利用性質(zhì)和判定，學(xué)會準(zhǔn)確地找出兩個(gè)全等三角形中的對應(yīng)邊與對應(yīng)角是關(guān)鍵。在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，一定把對應(yīng)的頂點(diǎn)，角、邊的順序?qū)懸恢?，為找對?yīng)邊，角提供方便。二、例題分析：例1，如圖ABCDEF，AB和DE，AC和DF是對應(yīng)邊，說出對應(yīng)角和另一組對應(yīng)邊。解：AB和DE，AC和DF分別為對應(yīng)邊，另一組對應(yīng)邊是BC和EF。對應(yīng)角為：A和D，B和E，ACB和DFE 例2，如圖，ABEACD，AB=AC，寫出兩個(gè)全等三角形的對應(yīng)角與對應(yīng)邊，并問圖中是否存在其它的全等三角形。分析：由AB=AC，則AB和AC是對應(yīng)邊，可找AB的對角AEB，AC的對角ADC，則AEB和ADC為對應(yīng)角。由A是這兩個(gè)三角形的公共角，它與其自身對應(yīng)，因而A的對邊為BE、DC為對應(yīng)邊，于是剩下的B、C是對應(yīng)角。AE和AD是對應(yīng)邊。解：對應(yīng)邊：AB和AC，BE和DC，AE和AD對應(yīng)角：A和A、B和C、AEB和ADCAB=AC，AD=AE，AB-AD=AC-AE，即BD=CE又由B=C，DFB=EFC（對頂角相等）于是構(gòu)成一對全等三角形為BFD和CFE。1、找全等三角形的對應(yīng)邊，對應(yīng)角的方法是： （1）若給出對應(yīng)頂點(diǎn)即可找出對應(yīng)邊和對應(yīng)角。（2）若給出一些對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，則按照對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，反之，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊就可找出其他幾組對應(yīng)邊和對應(yīng)角。（3）按照兩對對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角，兩對對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊來準(zhǔn)確找出對應(yīng)角和對應(yīng)邊。（4）一般情況下，在兩個(gè)全等三角形中，公共邊、公共角、對頂角等往往是對應(yīng)邊，對應(yīng)角。2、利用兩個(gè)三角形的公共邊或公共角尋找對應(yīng)關(guān)系，推得新的等量元素是尋找兩個(gè)三角形全等的重要途徑之一。如圖（一）中的AD，圖（二）中的BC 都是相應(yīng)三角形的公共元素。圖（三）中如有BF=CE，利用公有的線段FC就可推出BC=EF。圖（四）中若有DAB=EAC，就能推出DAC=BAE。 3、三角形全等的判定是這個(gè)單元的重點(diǎn)，也是平面幾何的重點(diǎn)只有掌握好全等三角形的各種判定方法，才能靈活地運(yùn)用它們學(xué)好今后的知識。證明三角形全等有五種方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL為了判定兩個(gè)三角形全等，了解和熟悉下面的基本思路很有必要。 有兩組對應(yīng)角相等時(shí)；找 有兩組對應(yīng)邊相等時(shí)；找 有一邊，一鄰角相等時(shí)；找 有一邊，一對角相等時(shí)；找任一組角相等（AAS） 說明：由以上思路可知兩個(gè)三角形的六個(gè)元素中、若只有一對對應(yīng)元素相等，或有兩對對應(yīng)元素相等，則它們不一定全等。因此要得出兩個(gè)三角形全等必須要有三對對應(yīng)元素相等才有可能成立。若兩個(gè)三角形中三對角對應(yīng)相等，它們只是形狀相同，而大小不一定相等，所以這兩個(gè)三角形不一定全等。如下圖（一）因此要判定三角形全等的三對對應(yīng)元素中，至少有一對是邊。還要注意一個(gè)三角形中的兩邊及其中一邊所對的角對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形不一定全等。如圖（二）中，ABC和ABD中，AB=AB，AC=AD，B=B但ABC和ABD明顯的不全等。 注：全等三角形判定沒有（AAA）和（SSA） 例3，如圖，AD=AE，D、E在BC上，BD=CE， 1=2，求證：ABDACE 分析：已知條件中已經(jīng)給出了AD=AE，BD=CE，要證明ABDACE，只需證明AD與BD，AE與EC的夾角相等，根據(jù)SAS，定理就可以得出結(jié)論。 證明：（1） （2）在ABD和ACE中（注意書寫時(shí)必須把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上。） （3） （4）ABDACE（SAS）說明：全等三角形的論證，是研究圖形性質(zhì)的重要工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)平面幾何知識的基礎(chǔ)。因?yàn)檠芯繄D形的性質(zhì)時(shí)，往往要從研究圖形中的線段相等關(guān)系或角的相等關(guān)系入手，發(fā)現(xiàn)和論證全等三角形正是研究這些關(guān)系的基本方法； 另一方面，論證全等三角形又是訓(xùn)練推理論證的起始，是培養(yǎng)邏輯推理能力的關(guān)鍵的一環(huán)。 三角形全等證明的基本模式是： 題設(shè)12 具體的可以分為四步基本格式。 （1）證明三角形全等需要有三個(gè)條件，三個(gè)條件中如有需要預(yù)先證明的，應(yīng)預(yù)先證出。 （2）寫出在哪兩個(gè)三角形中證明全等。 （3）按順序列出三個(gè)條件，用大括號合在一起，并寫出推理的根據(jù)。 （4）寫出結(jié)論。 例4，已知如圖，AC與BD相交于O,OA=OC， OB=OD，求證：OAB=OCD。 分析：從已知條件出發(fā)，可以證出AODCOB，AOBCOD，由AODCOB，可得1=2，3=4，AD=BC，由AOBCOD可得5=6，7=8，AB=CD，這個(gè)思路可在下圖列出： 對于簡單的幾何證明題，可以采用這種推理方法，這種方法是由已知推得甲，再由甲推得乙，再由乙推得丙直至推得結(jié)論。這種方法是“由因?qū)Ч薄Ｈ绻麖囊阎獥l件出發(fā)能推出的結(jié)果較多，要有目的地決定取舍，取與求證有聯(lián)系的，舍去與求證無關(guān)的。 證明：在AOB和COD中 AOBCOD（SAS）OAB=OCD（全等三角形的對應(yīng)角相等） 例5，已知如圖，AB=AC，1=2 ADCD，AEBE，求證：AD=AE 分析：AD、AE分別在ADG和AEH 中，1=2，可證出D=E但少一對邊相等，因此此路不通。AD、AE又分別在ADC和AEB中，知道D=E，AB=AC，又已知1=2，可以證出DAC=EAB，所以通過ADCAEB，得出AD=AE這個(gè)思路可用下圖表示： 這種思考過程與例4所分析的思考過程恰好相反，它是從要證明的結(jié)論入手的，利用學(xué)過的公理，定理，定義等去推想：要證這個(gè)結(jié)論需要具備什么條件？如果這個(gè)條件（記作條件甲）已具備了，那么結(jié)論就成立，然后再去推想，如果需要條件甲成立，又需具備什么條件？這樣一步步向上追溯，直到所需要的條件能由已知條件推得為止，這是“執(zhí)果索因”的過程。 這是思考過程，找到思路后，在證明中仍要像以前一樣從已知開始，一步步推出結(jié)論，書寫的表達(dá)與這個(gè)思考過程正好相反。 證明：ADDC，（已知）D=900（垂直定義） AEBE（已知）E=900（垂直定義） 又1=2（已知）1+BAC=2+BAC（等式性質(zhì)） 即DAC=EAB 在ADC和AEB中 ADCAEB（AAS） AD=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等） 例6，已知如圖，AB=DC，AD=BC，O是DB的中點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線分別與DA和BC的延長線交于E、F，求證：E=F。 分析：欲證E=F有兩條思路；一是證明DE/BF，則內(nèi)錯(cuò)角相等；一是證明E和F所在的兩個(gè)三角形全等。從題中給定的已知條件中E、F所在的三角形似乎不具備條件，于是考慮證明DE/BF。欲證兩直線平行，常見的方法是考慮兩直線被第三條直線所截得的同位角，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)。此題圖中DE與BF被EF、AB、DC所截成的角只有內(nèi)錯(cuò)角，故只需證出一組內(nèi)錯(cuò)角相等即可，據(jù)圖給定的條件不難證明DAB=BCD，進(jìn)一步可證原題。 證明：在ABD和CDB中 ABDCDB（SSS） 1=2（全等三角形的對應(yīng)角相等） DE/BF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） E=F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）例7如圖，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，求BC的值 分析一：題目中的條件AB+BD=AC，使用起來不直觀。若延長AB，在延長線上取BM等于BD，則可以得到AB+BD=AM=AC，易于使用，這種方法叫“補(bǔ)短法”，通過補(bǔ)長線段，得到容易使用的相等線段。解：延長AB到M，使BM=BD，連結(jié)DM，則AM=AB+BM=AC，1=2，AD=AD， ADMADC，M=C 又BM=BD，則M=BDM，ABC=2M=2C，即B:C=2:1 分析二：還可以在AC上截取AN=AB，就能將條件AB+BD=AC轉(zhuǎn)化為NC=BD。這種方法叫做“截長法”，和第一種方法統(tǒng)稱“截長補(bǔ)短法”，常用于線段之間的關(guān)系證明或者條件的利用。另一解：如圖2：在AC上截取AN=AB，由條件易知ABDAND，則DN=DB AND=B，又AC=AB+BD=AN+NC NC=BD=ND，C=NDC B=AND=2C B:C=2:1 圖（2） 注：此題中，使用了等腰三角形兩底角相等的知識，在小學(xué)中大家已學(xué)過，在以后還要學(xué)習(xí)三、同步測試選擇題：A組：1 在ABC和DEF中，已知AB=DE，B=E，增加下面的條件后，還不能判定ABCDEF的是（ ）A、BC=EF B、AC=DF C、A=DD、C=F2 下列四組線段，能組成三角形的是（ ）A、2、2、5B、3、7、10C、3、5、9 D、4、5、73 能判定兩個(gè)等腰三角形全等的是（ ）A、底角與頂角對應(yīng)相等 B、底角與底邊對應(yīng)相等C、兩腰對應(yīng)相等 D、底對應(yīng)相等4 如圖，O是AC、BD的中點(diǎn)，如果每一對全等三角形為一組，那么，圖中全等三角形的組數(shù)為（ ）A、1 B、2 C、3D、4 5 如圖，BFAC，CEAB，且ABC=ACB，則可判定BECCFB，6 其依據(jù)是（ ）A、ASA公理或AAS B、SSS公理C、SAS公理 D、三個(gè)角相等。選擇題：B組：1. 在ABC中，AB=AC，高BF、CE、AD交于一點(diǎn)O，如圖,全等三角形的對數(shù)是（ ）。A、4 B、5 C、6 D、7 2. 如圖，1=2，3=4，EC=AD證明ABDEBC時(shí)，應(yīng)用的方法是（ ）。A、AAS B、SAS C、SSS D、定義 3.如圖，在ABC中，A：B：C=3：5：10,又ABCABC，則BCA：BCB等于（ ）A、1：2B、1：3 C、2：3 D、1：4 參考答案A組：1.B 2.D 3.B 4.D 5.A B組 ： 1.D 2.A 3.D講解：1.解：根據(jù)全等三角形的判定方法，有AOEAOF，EOBFOC，BODCOD，AOBAOC，ABDACD，AECAFB，ECBFBC。故本題應(yīng)選（D）。2.排除（B）、（C）、（D）三種情況，本題應(yīng)選（A）。3.解： A：B：C=3：5：10,A+B+C=180，A=180=30，B=180=50，C=180=100，設(shè)BCA=x，BCB=y，ABCABC，BCA=BCABCA+BCB=BCA+ACA=100x+y=100,BCB=ACA=y,A、C、B三點(diǎn)共線，BCB+BCA+ACA=180,x+2y=180 解得：BCA：BCB=x：y=1：4。四、中考解析：全等三角形 1已知：如圖，OA=OB，OC=OD，AD、BC相交于E，則圖中全等三角形共有（ ）A2對 B3對 C4對 D5對考點(diǎn)：三角形全等的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“SSS”、“AAS”.考題評析：要特別注意：不能用邊邊角和角角角做依據(jù)判定三角形全等.答案：C2.如圖，已知AC=BD，要使得ABCDCB，只需增加的一個(gè)條件是_?？键c(diǎn)：全等三角形的判定評析：因圖中BC是公共邊，又知AC=DB所以根據(jù)三角形全等的判定方法可以再加AB=DC或ACB=DBC或AO=DO或BO=CO都可以判定ABCDCB。答案：AB=DC或ACB=DBC或AO=DO或BO=CO3.（ 北京市東城區(qū)）在ABC與ABC中，A=A，CD和CD分別為AB邊和AB邊上的中線，再從以下三個(gè)條件：AB=AB AC=AC CD=CD中任取兩個(gè)為題設(shè)，另一個(gè)為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成_個(gè)正確的命題?？键c(diǎn)：全等三角形的判定及性質(zhì)評析：因ABC和ABC中A=A而三個(gè)條件AB=AB，AC=AC，DC=DC中的兩個(gè)作為條件，另一個(gè)結(jié)論根據(jù)全等三角形判定公理1，SAS可知AB=AB，AC=AC作為條件DC=DC作為結(jié)論，可以構(gòu)成唯一的一個(gè)正確的命題。答案：14如圖，已知AE=AC，AD=AB，EAC=DAB，求證：EADCAB。 考點(diǎn)：全等三角形的判定。 評析：思路，因該題中給了兩條邊對應(yīng)相等，而又知，根據(jù)SAS可證EADCAB。證明：EAC=DAB， EAC+CAD=DAB+CAD. EAD=CAB. 又AE=AC，AD=AB， EADCAB 五、課外拓展中國早期的數(shù)學(xué)專著九章算術(shù)九章算術(shù)是我國漢唐之間出現(xiàn)的十部古算術(shù)（算經(jīng)十書）中最重要的一種，現(xiàn)傳本成書約為公元1世紀(jì)下半葉。九章算術(shù)繼承了先秦的數(shù)學(xué)成就，漢朝以后又經(jīng)過許多學(xué)者的增補(bǔ)刪改，最后才成為現(xiàn)在的版本。九章算術(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著我國初等數(shù)學(xué)體系的形成。九章算術(shù)所以叫“九章”，劉徽為九章算術(shù)作注時(shí)說：“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則九章是矣。”全書共分9章，即第一章“方田”：田畝面積計(jì)算；第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換；第三章“衰（cu）分”：比例分配問題；第四章“少廣”：已知面積、體積，求其一邊長或直徑長。主要是解決開平方和開立方問題；第五章“商功”：各種土木工程中所遇到的數(shù)學(xué)問題。包括筑城、開渠、糧堆的計(jì)算；第六章“均輸”：合理的攤派賦稅；第七章“盈不足”：盈虧問題的解法；第八章“方程”：一次方程組問題；第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題。九章算術(shù)是本問題集，全書共246個(gè)數(shù)學(xué)問題。它形成了一個(gè)以籌算為中心的獨(dú)立體系。與古希臘數(shù)學(xué)體系，截然不同。就其數(shù)學(xué)成就而言，堪稱世界數(shù)學(xué)名著。九章算術(shù)的數(shù)學(xué)成就是多方面的：在算術(shù)方面的主要成就有分?jǐn)?shù)運(yùn)算、比例問題和“盈不足”算法。介紹一道“盈不足”問題：“幾個(gè)人想共同買一件東西。 如果每人出8元錢， 就多出3元錢；如果每人出7元錢， 還差4元錢。 問一共幾個(gè)人？這件東西是多少錢？”九章算術(shù)對這類問題給出了一般的解法。我們用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)符號來寫：設(shè)每人出錢a元，最后多出b元；每人出錢c元，最后少了d元。又設(shè)人數(shù)為m人，東西的價(jià)錢為n元。則 m=, n=.把上面的問題用這個(gè)公式算一下：m=7（人），n=53(元)。一共7人，要買的東西是53元。“盈不足”算法是我國古代數(shù)學(xué)家的一個(gè)創(chuàng)造。中世紀(jì)的歐洲把它叫做“雙設(shè)法”，意思是需要兩次假設(shè)。有人認(rèn)為它是由中國經(jīng)阿拉伯傳到歐洲去的。幾何方面主要是面積、體積的計(jì)算。代數(shù)方面主要有一次方程組的解法、負(fù)數(shù)概念的引入及其加減法則、開平方、開立方、一般二次方程的解法。在九章算術(shù)中我們才第一次見到了“方程”一詞。在這本書中“方程”是指一次方程組。由于古代是用算籌（一種用竹木和金屬制成的小棍）將方程組的系數(shù)和常數(shù)擺成方陣形式，所以把方程組叫做“方程”?！胺匠獭敝械摹俺獭笔侵赣?jì)算，“方”是指用算籌列出的籌式是方形，這才是“方程”一詞的原意。后來演化成把一元的也叫做“方程”。在“方程”章中，還有世界上最早的不定方程。數(shù)學(xué)上把未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，這樣的方程叫做“不定方程”。九章算術(shù)中關(guān)于方程的成果，比世界其他國家和地區(qū)的同類成果要早很多年。