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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 第七章 第4講 知能訓練輕松闖關(guān) 1．(xx惠州模擬)已知兩條不同的直線l，m，兩個不同的平面α，β，則下列條件能推出α∥β的是(　　) A．l?α，m?α，且l∥β，m∥β B．l?α，m?β，且l∥m C．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m 解析：選C．借助正方體模型進行判斷．易排除選項A，B，D，故選C． 2．(xx濟南模擬)平面α∥平面β的一個充分條件是(　　) A．存在一條直線a，a∥α，a∥β B．存在一條直線a，a?α，a∥β C．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α 解析：選D．若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A．若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B．若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C．故選D． 3．(xx大連市雙基測試)在空間中，a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則真命題是(　　) A．若a∥α，b∥α，則a∥b B．若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥b C．若a∥α，a∥b，則b∥α D．若α∥β，a?α，則a∥β 解析：選D．對于A，平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系可能是平行、相交或者異面，因此選項A不正確；對于B，分別位于兩個相互垂直的平面內(nèi)的兩條直線可能是平行的或異面的或相交的，因此選項B不正確；對于C，直線b可能位于平面α內(nèi)，此時結(jié)論不正確；對于D，直線a與平面β沒有公共點，因此a∥β，選項D正確． 4． 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點，在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EF平行的直線(　　) A．不存在 B．有1條 C．有2條 D．有無數(shù)條 解析：選D．由題設(shè)知平面ADD1A1與平面D1EF有公共點D1，由平面的基本性質(zhì)中的公理知必有過該點的公共直線l，在平面ADD1A1內(nèi)與l平行的線有無數(shù)條，且它們都不在平面D1EF內(nèi)，由線面平行的判定定理知它們都與平面D1EF平行． 5． 如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點，則(　　) A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形 解析：選B．由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，∴EF∥平面BCD．又H，G分別為BC，CD的中點，∴HG綊BD，∴EF∥HG且EF≠HG．∴四邊形EFGH是梯形． 6． 如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是__________． 解析：在平面ABD中，＝， ∴MN∥BD． 又MN?平面BCD，BD?平面BCD， ∴MN∥平面BCD． 答案：平行 7．(xx汕頭質(zhì)檢)若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題中真命題的序號是________． ①若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線； ②若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線； ③已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，則n∥β； ④若m，n在平面α內(nèi)的射影互相平行，則m，n互相平行． 解析：①為假命題；②為真命題；在③中，n可以平行于β，也可以在β內(nèi)，故是假命題；在④中，m，n也可能異面，故為假命題． 答案：② 8．(xx湖南長沙一中高考模擬)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝，過B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________． 解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ． 又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ， 設(shè)PQ∩AB＝M，∵AB∥CD， ∴△APM∽△DPQ． ∴＝＝2，即PQ＝2PM． 又知△APM∽△ADB，∴＝＝， ∴PM＝BD，又BD＝a，∴PQ＝a． 答案：a 9． 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E，H分別為棱A1B1，D1C1上的點，且EH∥A1D1，過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點分別為F，G，求證：FG∥平面ADD1A1． 證明：因為EH∥A1D1，A1D1∥B1C1， EH?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1， 所以EH∥平面BCC1B1． 又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG， 所以EH∥FG，即FG∥A1D1． 又FG?平面ADD1A1，A1D1?平面ADD1A1， 所以FG∥平面ADD1A1． 10． 如圖，已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中點． (1)求證：AM＝CM； (2)若N是PC的中點，求證：DN∥平面AMC． 證明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝AB＝1， ∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC． 又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， ∴BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC． 在Rt△PAB中，M為PB的中點，則AM＝PB， 在Rt△PBC中，M為PB的中點，則CM＝PB， ∴AM＝CM． (2)連接DB交AC于點F， ∵DC綊AB，∴DF＝FB． 取PM的中點G，連接DG，F(xiàn)M，則DG∥FM． 又DG?平面AMC，F(xiàn)M?平面AMC， ∴DG∥平面AMC． 連接GN，則GN∥MC， ∴GN∥平面AMC． 又GN∩DG＝G， ∴平面DNG∥平面AMC． ∵DN?平面DNG， ∴DN∥平面AMC． 1．在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是對角線AB1，BC1上兩點，且＝，求證：MN∥平面A1B1C1D1． 證明：如圖所示，在平面AA1B1B內(nèi)，作MK∥A1B1交BB1于點K，因為A1B1?平面A1B1C1D1，MK?平面A1B1C1D1， 所以MK∥平面A1B1C1D1 連接KN，由MK∥A1B1可知＝， 又＝，所以＝，所以KN∥B1C1， 因為B1C1?平面A1B1C1D1，KN?平面A1B1C1D1，所以KN∥平面A1B1C1D1． 又MK，KN是平面MNK內(nèi)兩條相交的直線，所以平面MNK∥平面A1B1C1D1， 因為MN?平面MNK，所以MN∥平面A1B1C1D1． 2． 如圖，斜三棱柱ABCA1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點． (1)當?shù)扔诤沃禃r，BC1∥平面AB1D1? (2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值． 解：(1)如圖，取D1為線段A1C1的中點，此時＝1． 連接A1B交AB1于點O，連接OD1． 由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點O為A1B的中點． 在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點， ∴OD1∥BC1． 又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1， ∴BC1∥平面AB1D1． ∴＝1時，BC1∥平面AB1D1． (2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1， 且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1， 平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O． 因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1． ∴＝，＝． 又∵＝1， ∴＝1，即＝1． 3．在正方體ABCDA1B1C1D1中，如圖． (1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD； (2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E，F(xiàn)，并證明A1E＝EF＝FC． 解：(1)證明：因為在正方體ABCDA1B1C1D1中， AD綊B1C1， 所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以AB1∥C1D． 又因為C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD， 所以AB1∥平面C1BD． 同理B1D1∥平面C1BD． 又因為AB1∩B1D1＝B1， AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1， 所以平面AB1D1∥平面C1BD． (2)如圖，連接A1C1，交B1D1于點O1，連接AO1，與A1C交于點E． 又因為AO1?平面AB1D1， 所以點E也在平面AB1D1內(nèi)， 所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點． 連接AC，交BD于點O，連接C1O，與A1C交于點F， 則點F就是A1C與平面C1BD的交點． 下面證明A1E＝EF＝FC． 因為平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1， 平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F， 平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F． 在△A1C1F中，O1是A1C1的中點， 所以E是A1F的中點， 即A1E＝EF． 同理可證OF∥AE， 所以F是CE的中點，即FC＝EF， 所以A1E＝EF＝FC．