一、單項(xiàng)選擇題 (本大題有 4小題, 每小題 4分, 共 16分)1. (0)sin(co) xxf .（A） (02 （B） (01f（C） )f （D） (fx不可導(dǎo).2. 13)1) .（A） (x與 是同階無窮小，但不是等價(jià)無窮?。?（B）)與是等價(jià)無窮??；（C） 是比 ()高階的無窮??； （D） ()x是比 ()高階的無窮小. 3. 若 ()02xFtftd，其中 ()fx在區(qū)間上 (1,)二階可導(dǎo)且f，則（ ）.（A）函數(shù) 必在 處取得極大值；（B）函數(shù) ()x必在 處取得極小值；（C）函數(shù) 在 0處沒有極值，但點(diǎn) (0,)F為曲線 ()yFx的拐點(diǎn)；（D）函數(shù) ()F在 處沒有極值，點(diǎn) ,也不是曲線 的拐點(diǎn)。4. )() ,)(2)( 10xfdtfxfxf （A）2（B）2x（C） （D） .二、填空題（本大題有 4小題，每小題 4分，共 16分）5. xxsin20)31(lim.6. ,(cof xfdcos)(.7. li(scoscs2221n nn.8.2121ari dxx.三、解答題（本大題有 5小題，每小題 8分，共 40分）9. 設(shè)函數(shù) ()y由方程 sin()1xye確定，求 ()yx以及 (0)y.10.d17x11.1 32 )(0)( dxfxefx12. 設(shè)函數(shù) )(xf連續(xù)，10()()gxftd，且 0()limxfA， 為常數(shù). 求 g并討論 在 處的連續(xù)性.13. 求微分方程 2lnyx滿足1()9y的解.四、 解答題（本大題 10分）14.已知上半平面內(nèi)一曲線 )0()y，過點(diǎn) (,)1，且曲線上任一點(diǎn)Mxy(,)0處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與 x軸、 y軸、直線 x0所圍成面積的 2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.五、解答題（本大題 10分）15.過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線 xyln的切線，該切線與曲線 ln及 x 軸圍成平面圖形 D.(1) 求 D的面積 A；(2) 求 D繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.六、證明題（本大題有 2小題，每小題 4分，共 8分）16.設(shè)函數(shù) )(xf在 0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的 ,01q，00()qdqfdx.17.設(shè)函數(shù) )(xf在 ,上連續(xù)，且0)(0xdf，cos0d.證明：在 ,內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn) 21,，使 .0)()(21ff（提示：設(shè) xdfF0)()(）一、單項(xiàng)選擇題(本大題有 4小題, 每小題 4分, 共 16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空題（本大題有 4小題，每小題 4分，共 16分）5. 6e . 6. cx2)os(1.7. . 8. 3.三、解答題（本大題有 5小題，每小題 8分，共 40分）9. 解：方程兩邊求導(dǎo)(1)cos()0xyyxe0,， ()110.解： 76uxdu1()12()dln|2l|)7c71|1|xxC11.解：012330()fdexd010()x23cossin)e321412.解：由 (0)f，知 (0)g。100()()xtufdgxfd(0)x02()()x020()()A()limli2xxxfudfg0200()li()lixxfu ， ()gx在 0處連續(xù)。13.解： ndy2(l)xdexC21l39(),0yC，1ln39y四、 解答題（本大題 10分）14.解：由已知且 02dx， 將此方程關(guān)于 求導(dǎo)得 y特征方程： r解出特征根： .2,1r其通解為 xxeCy21代入初始條件 y()01，得 31,21C故所求曲線方程為：xxe32五、解答題（本大題 10分）15.解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為 )ln,(0，切線方程：)(ln00xxy由于切線過原點(diǎn)，解出 e，從而切線方程為： xey1則平面圖形面積 1012)(dyAy（2）三角形繞直線 x = e一周所得圓錐體體積記為 V1，則23e曲線 yln與 x軸及直線 x = e所圍成的圖形繞直線 x = e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為 V2 1022)(dyD繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 )3125(621eV六、證明題（本大題有 2小題，每小題 4分，共 12分）16.證明：100()()qfdxfdx 100()()()qqqfxfdxf10(1)qqff12 12,1 ()()12()()0q fffq 故有： 100()()qfxdfxd證畢。17.證：構(gòu)造輔助函數(shù)：xtfFx0,)()(0。其滿足在 ,0上連續(xù)，在),0(上可導(dǎo)。 ，且 )(F由題設(shè)，有 000 )(sincocoss)( |dxFdxf，有 0sin)(xdF，由積分中值定理，存在 ),(，使 i)(即綜上可知 ),0(,)()0( F.在區(qū)間 ,0上分別應(yīng)用羅爾定理，知存在 ,1和 ,2，使 1及 2F，即 0)(21f. 高等數(shù)學(xué) I 解答一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）(本大題有 4小題, 每小題 4分, 共 16分)1. 當(dāng) 0x時(shí)， ,x都是無窮小，則當(dāng) 0x時(shí)（ D ）不一定是無窮小. (A) (B) 22(C) )(1lnx(D) )(x2. 極限aaxsim的值是（ C ）.（A） 1 （B） e （C） aecot （D） aetn3. 01sin)(2xaxfa在 處連續(xù)，則 a =（ D ）.（A） 1 （B） 0 （C） e （D） 14. 設(shè) )(xf在點(diǎn) 處可導(dǎo)，那么 hffh)2()(lim0（ A ）.（A） 3a （B） 2a(C) )(f （D） )(31f二、填空題（本大題有 4小題，每小題 4分，共 16分）5. 極限 )0(ln)l(im0axx的值是 a.6. 由 ye2cos確定函數(shù) y(x)，則導(dǎo)函數(shù) y xeyyln2si.7. 直線 過點(diǎn) M(,)13且與兩平面 zxyz20356,都平行，則直線 l的方程為 1321zyx.8. 求函數(shù) 2)4ln(y的單調(diào)遞增區(qū)間為 （，0）和（1，+ ） .三、解答題（本大題有 4小題，每小題 8分，共 32分）9. 計(jì)算極限10()limxxe.解：11ln() 2000() ln(1)liiimxxxxxee10.已知： |3a， |26b， 3ab，求 |ab。解： 13cossin,15cos 2 ， 72ba11.設(shè) )(xf在 a， b上連續(xù)，且,)()(xdtfxFa，試求出F。解： xaxadtftf)()()( xaxa tfffdtf )()(F12.求 3cos.inx解：21sindx2 21si sincotxdxC 四、解答題（本大題有 4小題，每小題 8分，共 32分）13. 求 231xd.令 t21322)(1dtt原 式dt2123arcsint123614. 求函數(shù) 21xy 的極值與拐點(diǎn).解：函數(shù)的定義域（，+ ）2)(32)1(4xy令 0y得 x 1 = 1, x 2 = -1)x 1 = 1是極大值點(diǎn)， 0x 2 = -1是極小值點(diǎn)極大值 (，極小值 )(y令 得 x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = - 3x (-,- ) (- ,0) (0, ) ( 3,+)y + +故拐點(diǎn)（- 3，- 2） ， （0，0） （ 3， 2）15. 求由曲線 4xy與 2x所圍成的平面圖形的面積.解 :, ,x32341x() ,. 6060223 Sxdxd)()320 34(4360202161652716. 設(shè)拋物線 24xy上有兩點(diǎn) (,3)A， (,5)B，在弧 A B上，求一點(diǎn)(,)Px使 AB的面積最大.解： xyxxABP連 線 方 程 ： 點(diǎn) 到 的 距 離 的 面 積 1042523513() Sx() ()12422 當(dāng) xSx)10 當(dāng) 時(shí) 取 得 極 大 值 也 是 最 大 值x()01此 時(shí) 所 求 點(diǎn) 為 ，y33()另 解 ： 由 于 的 底 一 定 故 只 要 高 最 大 而 過 點(diǎn) 的 拋 物 線的 切 線 與 平 行 時(shí) 高 可 達(dá) 到 最 大 值 問 題 轉(zhuǎn) 為 求 ，使 解 得 所 求 點(diǎn) 為ABCCxfx,(),() ,00200 042531213六、證明題（本大題 4分）17. 設(shè) ，試證 xex)(2.證明：設(shè) 0),1()f1()(2exf， xef2，0,f，因此 在（0，+ ）內(nèi)遞減。在（0，+）內(nèi)， )(,)(fx 在（0，+）內(nèi)遞減，在（0，+）內(nèi)， ff即 )12xx亦即當(dāng) x>0時(shí)， ex1)(2 。高等數(shù)學(xué) I A一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中）(本大題有 4小題, 每小題 4分, 共 16分)18. 函數(shù) 0,sin12ta,)ln()(xxxf的全體連續(xù)點(diǎn)的集合是 （ ）(A) (-,+ ) (B) (-,1) (1,+ )(C) (- ,0) (0, + ) (D) (- ,0) (0,1) (1,+ )19. 設(shè) 0)1(lim2baxx，則常數(shù) a,b的值所組成的數(shù)組（ a,b）為（ ）（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1）20. 設(shè)在0，1上 )(xf二階可導(dǎo)且 0)(xf，則（ ）（A） )0()(ff (B) )1(0)1(fff (C) （D） 21.,1cosin224dxM243)cos(sindxxN243)cossin(dxxP則（ ）（A） M 0,故駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)。5設(shè) f (x) = x lnx在 x0處可導(dǎo)，且 f(x0)=2,則 f (x0)= 。解： .),)(,1l0 efef lim.620xfx則 f(x)在 x=0取得 （填極大值或極小值）。解： 0,00 0,1li 22 xfxx fxff二、 0,01)(xxf是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？并求 f(x)的導(dǎo)函數(shù)。解：當(dāng) x>0及 x0F(1)=f(1)-1=0-12)，并求 nlim。證：211150251)1,0()(012 .)(,1)0( 1,000 0211121 xxnx xxxxfxnxf fnffn nn nnn 解 出取 極 限兩 邊由 方 程 有 有 極 限 ， 設(shè) 極 限 為故 由 極 限 存 在 準(zhǔn) 則 知 其因 此是 單 調(diào) 下 降 數(shù) 列 ， 而知由 上 有 唯 一 實(shí) 根 。單 調(diào) 增 加 ， 故 在知 函 數(shù)又 使點(diǎn) 定 理 知 至 少 有 一 點(diǎn)由 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 零 知 函 數(shù) 在 端 點(diǎn) 異 號(hào) 。由 上 連 續(xù) 。其 在設(shè) 七 七 （10 分）確定常數(shù) a、 b,使極限40cos21limxbax存在，并求出其值。解：要使極限存在，分子與分母應(yīng)是極限過程中的同階無窮小或高階無窮小，于是有 1 a+b=0，用一次羅必達(dá)法則分子仍為無窮小，有 a+4b=0解出： a=-4/3 b=1/3 代入求得極限為 8/3八 八 （10 分）設(shè) f (x)在 a,b上連續(xù)，在( a,b)內(nèi)可微，且 f (a) = f (b) =0,證明：對 cffcR， 使 得, 。證明：構(gòu)造函數(shù) F(x)= e-x f (x) 則 F(x)在 a,b上連續(xù)，在( a,b)內(nèi)可微 F (a) = F (b) =0由羅爾定理xfefecbcR 而， 使 得 ,0,即有 cffa， 使 得 證畢。