2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十八講 避免漏解的奧秘 “會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”，這是許多同學(xué)在解題時(shí)無法避免而又屢犯不止的錯(cuò)誤，提高解題周密性，避免漏解的奧秘在于：掌握分類討論法，學(xué)會(huì)分類討論 分類討論就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對(duì)象分成幾個(gè)部分或幾種情況，然后逐個(gè)加以解決，最后予以總結(jié)作出結(jié)論的思想方法，其實(shí)質(zhì)是化整為零、各個(gè)擊破的轉(zhuǎn)化策略解題時(shí)何時(shí)需要進(jìn)行分類?一般來說，當(dāng)問題包含的因素發(fā)生變化，問題結(jié)果也相應(yīng)發(fā)生變化，我們就需要對(duì)這一關(guān)鍵因素分類討論，怎樣進(jìn)行正確分類?分類的基本要求是不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持同一的分類標(biāo)準(zhǔn)，多級(jí)討論，逐級(jí)進(jìn)行【例題求解】【例1】 四條線段的長分別為9，5，1(其中為正實(shí)數(shù))，用它們拼成兩個(gè)直角三角形，且AB與CD是其中的兩條線段(如圖)，則可取值的個(gè)數(shù)為 思路點(diǎn)撥 AB是四條線段中最長的，故AB=9或AB=，又CD長不定，所以應(yīng)就AB、CD的取值作全面討論注：初中數(shù)學(xué)常見的分類方法有： (1)按定義、性質(zhì)、法則、公式分類； (2)對(duì)參數(shù)分類； (3)按圖形位置分類； (4)按圖形特征分類； (5)按余數(shù)分類注：參數(shù)是較為常見的分類對(duì)象，因?yàn)閰?shù)的不同取值，可能導(dǎo)致不同的運(yùn)算結(jié)果，或者必須使用不同的方法去解決，這一分類方法在方程、不等式、函數(shù)中有廣泛的應(yīng)用【例2】 方程的所有整數(shù)解的個(gè)數(shù)是( ) A2 B3 C4 D5 思路點(diǎn)撥 這是一個(gè)特殊的冪指數(shù)方程問題，根據(jù)冪指數(shù)的意義，可將原問題分成三個(gè)并列的簡(jiǎn)單問題求解：(1)非零實(shí)數(shù)的零次冪等于1；(2)1的任何次冪等于1；(3)的偶次冪等于1【例3】 試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根 思路點(diǎn)撥 根據(jù)方程定義，是否為零影響方程的次數(shù)，這是質(zhì)的不同，解法也不同，所以，應(yīng)對(duì)r=0及0兩種情況分類求解【例4】 已知一三角形紙片ABC，面積為25，BC邊的長為10，B和C都為銳角，M為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)(M與點(diǎn)A、B不重合)過點(diǎn)M作MNBC，交AC于點(diǎn)N設(shè)MN= (1)用表示AMN的面積SAMN； (2)用AMN沿MN折疊，使AMN緊貼四邊形BCNM(邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內(nèi))，設(shè)點(diǎn)A落在平面BCNM內(nèi)的點(diǎn)為A，AMN與四邊形BCNM重疊部分的面積為試求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；當(dāng)為何值時(shí)重疊部分的面積最大，最大為多少? 思路點(diǎn)撥 折疊AMN，A點(diǎn)位置不確定，可能在ABC內(nèi)或在BC邊上或在ABC外，故需按以上三種情況分別求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出的最大值注：有關(guān)平面幾何問題，經(jīng)常按圖形相互之間的位置進(jìn)行分類，因?yàn)閳D形存在不同的位置關(guān)系，其解答結(jié)果可能不同，也可能需要使用不同的方法解決，初中平面幾何按位置關(guān)系分類，最終一般都?xì)w結(jié)為點(diǎn)、直線和圓之間的位置關(guān)系 【例5】 已知Ol與O2外切，Ol的半徑R=2，設(shè)O2的半徑是r (1)如果Ol與O2的圓心距d=4，求r的值； (2)如果Ol、O2的公切線中有兩條互相垂直，并且rR，求r的值 思路點(diǎn)撥 題中沒有給出圖形，題設(shè)中外切兩圓的公切線中有兩條互相垂直，情況不惟一，故應(yīng)分類討論注：中考?jí)狠S題分類討論有以下常見情形： (1)由點(diǎn)的不確定定引起的分類討論； (2)由圖形全等或相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系的不確定性引起的分類討論；(3)由圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化引起的分類討論學(xué)力訓(xùn)練1已知m為實(shí)數(shù)，如果函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，那么m的取值為 2若實(shí)數(shù)、滿足，則的值為 3若半徑為5和4的兩個(gè)圓相交，且公共弦長為6，則它們的圓心距等于 4已知O和不在O上的一點(diǎn)P，過P直線交O于A、B點(diǎn)，若PAPB=4，OP=5，則O的半徑為 5和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)(-1，-1)的直線解析式為( ) A B C或 D 6若線段AB兩端點(diǎn)到直線的距離分別為4和8，則AB的中點(diǎn)到直線的距離是( ) A2 B4 C6 D2或67點(diǎn)A(-4，0)，B(2，0)是坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn)，C是的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足上述條件的直角ABC可以畫出( ) A1個(gè) B2個(gè) C 3個(gè) D4個(gè)8如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的P點(diǎn)有( ) A1個(gè) B 2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)9已知關(guān)于的方程(1)求證：無論是取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形ABC的一邊長，另兩邊長為、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此三角形的周長 10已知：如圖，拋物線C1經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（1）求拋物線C1的解析式；（2）求四邊形ABCD的面積；（3）AOB與BDE是否相似，如果相似，請(qǐng)予以證明；如果不相似，請(qǐng)說明理由；（4）設(shè)拋物線C1的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，另一條拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)E（拋物線C2與拋物線C1不重合），且頂點(diǎn)為M（a，b），對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)G，且以M，G，E為頂點(diǎn)的三角形與以D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等，求a，b的值（只需寫出結(jié)果，不必寫出解答過程） 11以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓的半徑分別為9cm和5cm，O與這兩個(gè)圓都相切，則O的半徑是 12在ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50，則底角B的大小為 13如圖，在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，若以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，則R的取值范圍是 14已知點(diǎn)A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，M(0，m)，其中m<6，以M為圓心，MC為半徑作圓，那么當(dāng)m= 時(shí)，M與直線AB相切 15關(guān)于的方程有有理根，求整數(shù)是的值 16華鑫超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下： (1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠； (2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠； (3)若一次購物超過500元，其中500元的部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折優(yōu)惠 小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元，現(xiàn)在小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少? 17如圖，已知：ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQAB，P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重合)，Q點(diǎn)在BC上(1)當(dāng)PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長；(2)當(dāng)PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時(shí)，求CP的長；(3)試問：在AB上是否存在點(diǎn)M，使得PQM為等腰直角三角形?若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；若存在，請(qǐng)求出PQ的長18已知關(guān)于的方程(q0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且 (1)試用含有，的代數(shù)式表示和； (2)求證：1 (3)若以，為坐標(biāo)的點(diǎn)M(，)在ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)，且ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(，1)，C(1，1)，問是否存在點(diǎn)M使+=，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 19某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖甲的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖乙表示的拋物線段表示(1)寫出圖甲表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；寫出圖乙表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式 (2)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?(注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元102，時(shí)間單位：天)參考答案