2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第八章 第47課 基本不等式及其應用（一）要點導學利用基本不等式證明已知a>0,b>0,c>0,求證:+a+b+c.思維引導先局部運用基本不等式,再利用不等式的性質相加得到.證明因為a>0,b>0,c>0,所以+2=2c(當且僅當a=b時取等號);+2=2b(當且僅當a=c時取等號);+2=2a(當且僅當b=c時取等號).以上三式相加得22(a+b+c)(當且僅當a=b=c時取等號),即+a+b+c.精要點評利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況,證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā),借助不等式的性質和有關定理,經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉化為需證問題.已知a>0,b>0,a+b=1,求證:9.證明因為a>0,b>0,a+b=1,所以1+=1+=2+.同理,1+=2+.所以=5+25+4=9,當且僅當a=b=時等號成立.利用基本不等式求函數(shù)的最值(xx重慶卷)若log4(3a+4b)=log2,求a+b的最小值.思維引導基本不等式的應用一定要注意一正、二定、三相等,特別是等號成立的條件.解答由題意知ab>0,且3a+4b>0,所以a>0,b>0.又log4(3a+4b)=log2,所以3a+4b=ab,所以+=1.所以a+b=(a+b)=7+7+2=7+4,當且僅當=,即a=4+2,b=3+2時,等號成立.故a+b的最小值為7+4.精要點評一正、二定、三相等不滿足時,相應的處理方法分別是一正不滿足則變?yōu)檎?二定不滿足則湊定值,三相等不滿足則轉化為函數(shù)的單調性.(xx北京東城區(qū)期末)求函數(shù)y=+的最大值.解答因為函數(shù)y=+的定義域為0,1,所以y2=x+(1-x)+2=1+21+x+(1-x)=2,當且僅當x=1-x,即x=時等號成立.因為y>0,所以ymax=.利用基本不等式解決恒成立問題(xx河南中原名校聯(lián)考)已知x>0,y>0,若+>m2+2m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是.答案(-4,2)解析因為+2=8,要使+>m2+2m恒成立,則m2+2m<8,解得-4<m<2.精要點評分離參數(shù)是處理此類問題的首選的方法,一般轉化為基本不等式求最值或某個函數(shù)的最值問題.要注意恒成立問題可以轉化為af(x)min或是af(x)max.已知正實數(shù)x,y滿足lnx+lny=0,且k(x+2y)x2+4y2恒成立,那么實數(shù)k的取值范圍是.答案(-,解析方法一:由題意知xy=1,x>0,y>0,k=(x+2y)-,令m=x+2y,則k.因為m=x+2y2=2,且y=m-在2,+)上單調遞增,所以當m=2時,=2-=,即k.方法二:令t=x+2y,t2,因此t2-kt-40對t2,+)恒成立,記f(t)=t2-kt-4,則f(2)=4-2k0k.某地區(qū)的農產品A第x天(1x20)的銷售價格p=50-|x-6|(單位:元百斤),一農戶在第x天(1x20)農產品A的銷售量q=40+|x-8|(單位:百斤).(1) 求該農戶在第7天銷售農產品A的收入;(2) 這20天中該農戶在哪一天的銷售收入最大?規(guī)范答題(1) 由已知得第7天的銷售價格p=49,銷售量q=41. 所以第7天的銷售收入W7=4941=xx (元) .(3分)(2) 設第x天的銷售收入為Wx,則Wx= (6分)當1x6時,Wx=(44+x)(48-x)=2116(當且僅當x=2時取等號).所以當x=2時取最大值W2=2116.(9分)當8x20時,Wx=(56-x)(32+x)=1936(當且僅當x=12時取等號).所以當x=12時取最大值W12=1936. (12分)由于W2>W7>W12,所以第2天該農戶的銷售收入最大. (13分)答:第7天的銷售收入為xx元;第2天該農戶的銷售收入最大. (14分)1. 若x>0,則x+的最小值為.答案2解析因為x>0x+2,當且僅當x=x=時,取等號.2. 已知正實數(shù)a,b滿足a+2b=1,那么a2+4b2+的最小值為.答案解析因為1=a+2b2ab,當且僅當a=2b=時取等號.又因為a2+4b2+2a(2b)+=4ab+.令t=ab,所以f(t)=4t+在上單調遞減,所以f(t)min=f=,此時a=2b=.3. (xx上海卷)若實數(shù)x,y滿足xy=1,則x2+2y2的最小值為.答案2解析x2+2y22=2=2,當且僅當x2=2y2時等號成立.4. (xx福建卷改編)要制作一個容積為4 m3,高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元,側面造價是每平方米10元,求該容器的最低總造價(單位:元).解答設底面矩形的一邊長為x,由容器的容積為4 m3,高為1 m,得另一邊長為 m.記容器的總造價為y元,則y=420+2110=80+2080+202=160,當且僅當x=,即x=2時,等號成立.因此,當x=2時,y取得最小值160,即容器的最低總造價為160元.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成配套檢測與評估中的練習(第93-94頁).