2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測 新人教A版選修1-2一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1(xx日照高二檢測)有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為()A大前提錯誤B小前提錯誤C推理形式錯誤 D非以上錯誤【解析】該推理的形式不符合三段論推理模式，故結(jié)論錯誤【答案】C2下列推理過程是類比推理的是()A人們通過大量試驗得出擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為B科學(xué)家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼C通過檢測溶液的pH值得出溶液的酸堿性D數(shù)學(xué)中由周期函數(shù)的定義判斷某函數(shù)是否為周期函數(shù)【解析】A為歸納推理，C，D均為演繹推理故選B.【答案】B3求證：2.證明：因為和2都是正數(shù)，所以為了證明2，只需證明()2(2)2，展開得10220，即5，只需證明2125.因為2125成立，所以不等式2成立上述證明過程應(yīng)用了()A綜合法B分析法C綜合法、分析法配合使用D間接證法【解析】結(jié)合證明特征可知，上述證明過程用了分析法，其屬于直接證明法【答案】B4如圖1所示為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排，那么第36顆珠子的顏色是() 圖1A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大【解析】每3個白珠和2個黑珠看作一組，前7組共有35顆珠子，因此第36顆珠子應(yīng)為白色珠【答案】A5(xx江西高考)觀察下列事實：|x|y|1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，則|x|y|20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為()A76B80C86D92【解析】由題意知|x|y|1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，則可歸納出等式右端值與不同整數(shù)解的個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，且解的個數(shù)為等式值的4倍，則|x|y|20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80.【答案】B6下面所示的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，所表示的數(shù)是()11211331144115101051圖2A2 B4 C6 D8【解析】由楊輝三角形可以發(fā)現(xiàn)：每一行除1外，每個數(shù)都是它肩膀上的兩數(shù)之和故336.【答案】C7(xx大連高二檢測)由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：由“mnnm”類比得到“abba”；由“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)cacbc”；由“t0，mtxtmx”類比得到“p0，apxpax”；由“|mn|m|n|”類比得到“|ab|a|b|”以上結(jié)論正確的是()A B C D【解析】因為向量運算滿足交換律、乘法分配律，向量沒有除法，不能約分，所以正確，錯誤又因為|ab|a|b|cosa，b|，所以錯誤【答案】B8如圖3所示，4個小動物換座位，開始時鼠，猴，兔，貓分別坐1,2,3,4號座位，如果第1次前后排動物互換座位，第2次左右列動物互換座位，這樣交替進(jìn)行下去，那么第2 012次互換座位后，小兔所坐的座位號是()圖3A1 B2 C3 D4【解析】由題意得第4次互換座位后，4個小動物又回到了原座位，即每經(jīng)過4次互換座位后，小動物回到原座位，所以第2 012次互換座位后的結(jié)果與最初的位置相同，故小兔坐在第3號座位上【答案】C9用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個鈍角”時，反設(shè)正確的是()A三個內(nèi)角中至少有一個鈍角B三個內(nèi)角中至少有兩個鈍角C三個內(nèi)角都不是鈍角D三個內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個鈍角【解析】“至多有一個”即要么一個都沒有，要么有一個，故反設(shè)為“至少有兩個”【答案】B10(xx唐山高二檢測)已知x(0，)，觀察下列式子：x2，x3，類比有xn1(nN*)，則a的值為()Ann Bn Cn1 Dn1【解析】由觀察可得：x(n1)(n1)n1，則ann.【答案】A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)11(xx蘇州高二檢測)對于平面幾何中的命題“如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)垂直，那么這兩個角相等或互補”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題“_”，這個類比命題的真假性是_【解析】邊類比半平面，角類比二面角可得【答案】如果兩個二面角的兩個半平面分別對應(yīng)垂直，那么這兩個二面角相等或互補假命題12函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x2)，若f(1)5，則f(f(5)_.【解析】f(x2)，f(x4)f(x)，f(5)f(14)f(1)5，f(f(5)f(5)f(3).【答案】13(xx馬鞍山高二檢測)觀察以下不等式1，1，1，可歸納出對大于1的正整數(shù)n成立的一個不等式1f(n)，則不等式右端f(n)的表達(dá)式應(yīng)為_(n1，nN)【解析】由所給不等式可知，分子為3,5,7，；分母為2,3,4，尋找規(guī)律可知f(n).【答案】14在ABC中，D為BC的中點，則()將命題類比到三棱錐中，得到一個類似的命題為_.【答案】在三棱錐ABCD中，G為BCD的重心，則()三、解答題(本大題共4小題，共50分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)已知a，b是正有理數(shù)，是無理數(shù)，證明：必為無理數(shù)【證明】假設(shè)為有理數(shù)，記p，因為a，b是正有理數(shù)，所以p0.將p兩邊平方，得ap2b2p，所以.因為a，b，p均為有理數(shù)，所以必為有理數(shù)，這與已知條件矛盾，故假設(shè)錯誤所以必為無理數(shù)16(本小題滿分12分)如圖4，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E、F分別是AP、AD的中點圖4求證：(1)直線EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.【證明】(1)在PAD中，因為E、F分別為AP、AD的中點，所以EFPD.又因為EF平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF平面PCD.(2)連接BD.因為ABAD，BAD60，所以ABD為正三角形因為F是AD的中點，所以BFAD.因為平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因為BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.17(本小題滿分12分)(xx廣東高考)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列(1)證明：a2；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有<.【解】(1)證明：由4Sna4n1，得4S1a41，即4a1a41，所以a4a15.因為an>0，所以a2.(2)因為4Sna4n1，所以當(dāng)n2時，4Sn1a4(n1)1，由得4anaa4，即aa4an4(an2)2(n2)因為an>0，所以an1an2，即an1an2(n2)因為a2，a5，a14成等比數(shù)列，所以aa2a14，即(a232)2a2(a2122)，解得a23.又由(1)知a2，所以a11，所以a2a12.綜上知an1an2(nN*)，所以數(shù)列an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列所以an12(n1)2n1.所以數(shù)列an的通項公式為an2n1(nN*)(3)證明：由(2)知()，所以(1)(1)<.18(本小題滿分14分)(xx寧波高二檢測)已知ABC的三邊a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，試分別用分析法和綜合法證明B為銳角【證明】法一(分析法)要證明B為銳角，只需證cos B0，又因為cos B，所以只需證明a2c2b20，即a2c2b2.因為a2c22ac，所以只需證明2acb2.由已知，即2acb(ac)，所以只需證明b(ac)b2，即只需證明acb.而acb顯然成立，所以B為銳角法二(綜合法)由題意：，則b，b(ac)2ac.acb，b(ac)2acb2.cos B0.又0B，0B，即B為銳角