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1,5.1量綱分析,1.量綱分析基礎(chǔ),量綱——用以度量物理量單位的種類，用dim表示。代表被測物理量單位種類的一種符號，從符號可以看出它們的屬性。,基本量綱——國際單位制中7個基本物理量的量綱。[L]、[M]、[t]、[T]、[E]、[C]、[N],——量綱公式。a,b,c為量綱指數(shù)，量綱指數(shù)全為零時，B為無量綱量。無量綱量的值不隨單位制改變,量綱分析和相似原理是指導實驗設(shè)計和理論基礎(chǔ),流體力學的常用基本量綱為[L]、[M]、[t]，其它任意物理量B的量綱可以用三個基本量綱的指數(shù)乘積的形式表示出來,5-1,2,流體力學常用物理量的量綱,5.1量綱分析,3,5.1量綱分析,量綱齊次性原理：完整物理方程中各項的量綱必須相同。,以單位重量的流體沿流線能量守恒形式的伯努利方程為例,方程左邊各項的量綱依次為,對于量綱齊次的方程用方程中的任一項去除其它項，可以使方程無量綱化，從而減少方程的變量個數(shù)。,4,2.Π定理（白金漢定理）,對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果可以用n個變量來描述，寫成數(shù)學表達式為：f(x1,x2,x3,…,xn)=0,而這些變量含有m個基本量綱，則該現(xiàn)象可以用(n-m)個無量綱量數(shù)組的表達式來描述，即F(?1,?2,…?n-m)=0,無量綱量數(shù)組的組成方式：在n個變量中取m個量綱不同的量作為基本變量，并把基本變量與其它變量中的一個組成數(shù)組，共組成（n-m）個無量綱數(shù)組，例取x1,x2,x3為基本變量，則數(shù)組為：,………..,5.1量綱分析,5,應用白金漢定理求某現(xiàn)象的無量綱數(shù)組的方法步驟：,（1）列與該物理現(xiàn)象相關(guān)的全部n個變量（2）找出基本量綱，設(shè)為m個（3）從n個變量中選出包含全部基本量剛的m個基本變量（4）用基本變量與其它的任一個變量組成無量綱方程，并解出n-m個無量綱數(shù)組（5）利用無量綱數(shù)組建立描述該現(xiàn)象的方程,【例5-1】不可壓粘性流體在圓管道內(nèi)流體流動的壓降?p與下列因素有關(guān)：管徑d、管長l、管壁粗糙度ε、管內(nèi)流體密度?、流體的動力粘度?，以及斷面平均流速v有關(guān)。試用?定理推出壓降?p的表達形式。,5.1量綱分析,6,5.1量綱分析,【解】,（1）該流動現(xiàn)象共有7個變量?p,d,l,ε,?,?,v（2）基本量剛為L，M，t，所以m=3（3）選出m=3個基本變量：?、v、d（4）組成n-m=4個無量綱數(shù)組，求解,將上述表達式寫成量綱形式,解得a1=-1,b1=-2,c1=0,故,7,解得a2=-1,b2=-1,c2=-1,故,解得a3=0,b3=0,c3=-1,故,解得a4=0,b4=0,c4=-1,故,5.1量綱分析,8,（5）所解問題用無量綱數(shù)表示的方程為,5.1量綱分析,上述公式還可以寫成,對于給定長度和直徑的管道,進行適當?shù)淖儞Q后有,令,則,——達西公式。?為沿程阻力系數(shù)。,9,5.1量綱分析,3.Π定理的幾點說明,（1）無量綱數(shù)組的特性①對于確定的物理現(xiàn)象，無量綱數(shù)組個數(shù)是固定的但是形式上不是唯一的②無量綱數(shù)的算術(shù)運算的結(jié)果仍是無量綱數(shù),（2）作用在流體上的力,壓力,慣性力,黏性力,重力,表面張力,彈性力,10,5.1量綱分析,（3）流體力學中常見的無量綱數(shù)組,①雷諾數(shù),②歐拉數(shù),③弗勞德數(shù),④韋伯數(shù),11,5.1量綱分析,⑤馬赫數(shù),⑥毛細數(shù),（4）量綱分析的物理意義,簡化試驗方案物理量量綱的推導校驗方程確定相似試驗條件,12,5.2相似原理與模型實驗,為使模型流動能表現(xiàn)出實型流動的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動上預測出實型流動的結(jié)果，就必須使兩者在流動上相似，即兩個互為相似流動的對應部位上對應物理量都有一定的比例關(guān)系。,（1）幾何相似（空間相似）,1.相似的概念,——兩流動的對應邊長成同一比例，對應角相等。,線性比例系數(shù),面積比例系數(shù),體積比例系數(shù),基本比例常數(shù),13,（2）時間相似,——對應的時間間隔成比例,對圖示的兩種管內(nèi)流動其平均速度變化的時間間隔成比例,5.2相似原理與模型實驗,14,（3）運動相似,——速度（加速度）場相似,在不同的流動空間中，對應點、對應時刻上的速度（加速度）方向一致，大小成比例,速度比例常數(shù),加速度比例常數(shù),流量比例常數(shù),基本比例常數(shù),5.2相似原理與模型實驗,15,（4）力相似,——力場的幾何相似，作用在流體上的各種力的方向?qū)恢拢笮〕杀壤?。如圖所示,力比例常數(shù),密度比例常數(shù),基本比例常數(shù),5.2相似原理與模型實驗,16,用基本比例常數(shù)表示的其他比例常數(shù),質(zhì)量比例常數(shù),力比例常數(shù),壓強比例常數(shù),運動粘度比例常數(shù),動力粘度比例常數(shù),5.2相似原理與模型實驗,17,2.相似原理,描述流體運動和受力關(guān)系的是流體運動微分方程，兩流動要滿足相似條件就必須同時滿足該方程，并且單值條件必須相似，包括幾何條件、物理條件、邊界條件、初始條件等。,【例5-2】以不可壓縮流體定常流動的N-S微分方程為例導出相似準則。,【解】N-S微分方程在x方向上的投影為,與其相似的流動中流體質(zhì)點的方程為,(a),(b),5.2相似原理與模型實驗,18,由相似準則必然有,將（c）代入（b）,并整理后有,(c),(d),式（a）和（d）相比較有,(e),說明各相似倍數(shù)不是任意選取的，而是受上式約束的。,5.2相似原理與模型實驗,19,將式（e）后三項分別去除第一項，則有,，即,，即,，即,不可壓定常流相似，他們的弗勞德數(shù)、歐拉數(shù)、雷諾數(shù)必相等,相似原理可表述為：兩種流動現(xiàn)象相似的充分必要條件是：能夠用同一微分方程描述同一種類的現(xiàn)象；并且滿足單值條件相似；有單值條件中的物理量組成相似準則相等,5.2相似原理與模型實驗,,,,這些無量綱數(shù)組稱為相似準則或相似判據(jù),20,3.相似原理的應用,應用相似原理進行試驗研究的步驟：（1）分析導出的相似準則，判斷決定性準則（2）根據(jù)選定的相似準則設(shè)計實驗方案（3）確定實驗中要測量的物理量，測定相似準則中的物理量（4）將實驗結(jié)果換算到實物系統(tǒng)中,4.相似原理和量綱分析的比較,相似理論：從微分方程出發(fā)導出無量綱數(shù)組得到的相似準則具有確定的物理意義量綱分析：對試驗涉及的物理現(xiàn)象進行分析得到無量綱判據(jù)通常不考慮無量綱數(shù)的物理意義，應用范圍比相似理論要廣泛,5.2相似原理與模型實驗,21,1.全面力學相似試驗,所有的相似準則都分別相等的相似試驗,實際的工程應用中很難保證所有的相似準則都相等，例如粘性不可壓定常流動，要求模型和原型中的Re和Fr同時相等,即,若采用的流動介質(zhì)相同，則,為了保證Fr數(shù)相等,與保證Re相等的條件矛盾,5.2相似原理與模型實驗,22,2.近似模化法,在重力起主要作用的流動中，使實物和模型的Fr數(shù)相等,（1）弗勞德?；?抓主要矛盾，簡化相似條件,適合于管內(nèi)粘性流動的阻力損失的研究，保證Re數(shù)相等,（2）雷諾?；?適合于雷諾數(shù)很小或很大的“自?；绷鲃?，流動與雷諾數(shù)關(guān)系不大，此時可只考慮壓強與慣性力的比值歐拉數(shù)相等。,（3）歐拉?；?5.2相似原理與模型實驗,23,【例5-3】管徑d=50mm的輸油管，裝有彎頭、開關(guān)等局部阻力裝置，安裝前需要測定壓強損失，在實驗室用空氣進行試驗。已知20℃時油的密度ρ油=889.6kg/m3;油的粘度ν油=10-6m2/s;空氣的密度ρ氣=1.2kg/m3;空氣的的粘度ν氣=15.7x10-6m2/s。試確定（1）當輸油管中油的流速為2m/s時，實驗室中空氣在管內(nèi)的流速為多少？（2）通過空氣測得管道壓強損失Δp氣=7747N/m2，油液通過輸油管時的壓強損失Δp油為多少？,5.2相似原理與模型實驗,【解】（1）管內(nèi)流動粘性力起主要因素，雷諾數(shù)必須相等,,,24,5.2相似原理與模型實驗,,由于管道直徑相同,（2）要對壓力進行相似，必須滿足歐拉數(shù)相等,25,3.方程分析法,,利用描述物理現(xiàn)象的微分方程組和全部單值條件導出相似準則。常用的方程分析法有：相似轉(zhuǎn)換法和方程無量綱化法,（1）相似轉(zhuǎn)換法①寫出描述現(xiàn)象的基本微分方程和單值條件②寫出相似倍數(shù)的表達式③將相似倍數(shù)的表達式代入微分方程組進行相似轉(zhuǎn)換④根據(jù)流動相似，方程相同導出相似準則,（2）方程無量綱化法①寫出描述現(xiàn)象的基本微分方程②所有變量無量綱化③方程組無量綱化，導出相似準則,5.2相似原理與模型實驗,