2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十一講 從三角形的內(nèi)切圓談起 和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心，圓外切三角形、圓外切四邊形有下列重要性質(zhì)： 1三角形的內(nèi)心是三角形的三內(nèi)角平分線交點，它到三角形的三邊距離相等； 2圓外切四邊形的兩組對邊之和相等，其逆亦真，是判定四邊形是否有外切圓的主要方法當(dāng)圓外切三角形、四邊形是特殊三角形時，就得到隱含豐富結(jié)論的下列圖形：注：設(shè)RtABC的各邊長分別為a、b、c (斜邊)，運用切線長定理、面積等知識可得到其內(nèi)切圓半徑的不同表示式： (1)； (2) 請讀者給出證【例題求解】【例1】 如圖，在RtABC中，C=90，BC=5，O與RtABC的三邊AB、BC、AC分相切于點D、E、F，若O的半徑r2，則RtABC的周長為 思路點撥 AF=AD，BE=BD，連OE、OF，則OECF為正方形，只需求出AF(或AD)即可【例2】 如圖，以定線段AB為直徑作半圓O，P為半圓上任意一點(異于A、B)，過點P作半圓O的切線分別交過A、B兩點的切線于D、C，AC、BD相交于N點，連結(jié)ON，NP，下列結(jié)論：四邊形ANPD是梯形；ON=NP：DPP C為定值；FA為NPD的平分線，其中一定成立的是( )A B C D 思路點撥 本例綜合了切線的性質(zhì)、切線長定理、相似三角形，判定性質(zhì)等重要幾何知識，注意基本輔助線的添出、基本圖形識別、等線段代換，推導(dǎo)出NPADBC是解本例的關(guān)鍵【例3】 如圖，已知ACP=CDE=90，點B在CE上，CA=CB=CD，過A、C、D三點的圓交AB于F，求證：F為CDE的內(nèi)心 思路點撥 連CF、DF，即需證F為CDE角平分線的交點，充分利用與圓有關(guān)的角，將問題轉(zhuǎn)化為角相等問題的證明【例4】 如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AB=BC=1，以AB為直徑作半圓O切CD于E，連結(jié)OE，并延長交AD的延長線于F (1)問BOZ能否為120，并簡要說明理由； (2)證明AOFEDF，且； (3)求DF的長思路點撥 分解出基本圖形，作出基本輔助線(1)若BOZ=120，看能否推出矛盾；(2)把計算與推理融合；(3)把相應(yīng)線段用DF的代數(shù)式表示，利用勾股定理建立關(guān)于DF的一元二次方程 注： 如圖，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，則可得到應(yīng)用廣泛的兩個性質(zhì)： (1)以邊AB為直徑的圓與邊CD相切； (2)以邊CD為直徑的圓與邊AB相切類似地，三角形三條中線的交點叫三角形的重心，三角形三邊高所在的直線的交點叫三角形的垂心外心、內(nèi)心、垂心、重心統(tǒng)稱三角形的四心，它們處在三角而中的特殊位置上，有著豐富的性質(zhì)，在解題中有廣泛的應(yīng)用 【例5】 如圖，已知RtABC中，CD是斜邊AB上的高，O、O1、O2分別是ABC；ACD、BCD的角平分線的交點，求證：(1) O1OC O2；(2)OC= O1O2 思路點撥 在直角三角形中，斜邊上的高將它分成的兩個直角三角形和原三角形相似，得對應(yīng)角相等，所以通過證交角為90的方法得兩線垂直，又利用全等三角形證明兩線段相 等學(xué)力訓(xùn)練1如圖，已知圓外切等腰梯形ABCD的中位線EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周長等于= cm2如圖，在直角，坐標(biāo)系中A、B的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，4)，則RtABO內(nèi)心的坐標(biāo)是 3如圖，梯形ABCD中，ADBC， DCBC，AB=8，BC=5，若以AB為直徑的O與DC相切于E，則DC= 4如圖，O為ABC的內(nèi)切圓，C=90，AO的延長線交BC于點D，AC=4，CD=1，則O的半徑等于( ) A B C D 5如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BCD=90，以CD為直徑的半圓O切AB于點E，這個梯形的面積為21cm2，周長為20cm，那么半圓O的半徑為( ) A3cm B7cm C 3cm或7cm D 2cm 6如圖，ABC中，內(nèi)切圓O和邊B、CA、AB分別相切于點D、EF，則以下四個結(jié)論中，錯誤的結(jié)論是( ) A點O是DEF的外心 BAFE=(B+C) CBOC=90+A DDFE=90一B7如圖，BC是O的直徑，AB、AD是O的切線，切點分別為B、P，過C點的切線與AD交于點D，連結(jié)AO、DO (1)求證：ABOOCD； (2)若AB、CD是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，且SABO+ SOCD=20，求m的值8如圖，已知AB是O的直徑，BC是O的切線，OC與O相交于點D，連結(jié)AD并延長，BC相交于點E (1)若BC=，CD=1，求O的半徑； (2)取BE的中點F，連結(jié)DF，求證：DF是O的切線； (3)過D點作DGBC于G，OG與DG相交于點M，求證：DMGM9如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，AB為O的直徑，動點P沿AD方向從點A開始向點D以1cm秒的速度運動，動點Q沿CB方向從點C開始向點B以2cm秒的速度運動，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點停止時，另一點也隨之停止運動(1)求O的直徑；(2)求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時，四邊形PQCP的面積；(3)是否存在某時刻t，使直線PQ與O相切，若存在，求出t 的值；若不存在，請說明理由 10已知在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，CD為AB上的高，Ol、O2分別為ACD、BCD的內(nèi)心，則OlO2= 11如圖，在ABC中，C=90，A和B的平分線相交于P點，又PEAB于點E，若BC=2，AC=3，則AEEB= 12如果一個三角形的面積和周長都被一直線所平分，那么該直線必通過這個三角形的( ) A內(nèi)心 B外心 C圓心 D重心13如圖，AD是ABC的角平分線，O過點AB和BC相切于點P，和AB、AC分別交于點E，F(xiàn)，若BD=AE，且BE=a，CF=b，則AF的長為( ) A B C D14如圖，在矩形ABCD中，連結(jié)AC，如果O為ABC的內(nèi)心，過O作OEAD于E，作OFCD于F，則矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為( ) A B C D不能確定 15如圖，AB是半圓的直徑，AC為半圓的切線，AC=AB在半圓上任取一點D，作DECD，交直線AB于點F，BFAB，交線段AD的延長線于點F (1)設(shè)AD是x的弧，并要使點E在線段BA的延長線上，則x的取值范圍是 ；(2)不論D點取在半圓什么位置，圖中除AB=AC外，還有兩條線段一定相等，指出這兩條相等的線段，并予證明16如圖，ABC的三邊滿足關(guān)系BC=(AB+AC)，O、I分別為ABC的外心、內(nèi)心， BAC的外角平分線交O于E，AI的延長線交O于D，DE交BC于H求證：(1)AI=BD；(2)OI=AE 17如圖，已知AB是O的直徑，BC是O的切線，OC平行于弦AD，過點D作DEAB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點F，問EP與PD是否相等?證明你的結(jié)論 18如圖，已知點P在半徑為6，圓心角為90的扇形OAB的AB(不含端點)上運動，PHOA于H，OPH的重心為G(1)當(dāng)點P在AB上運動時，線段GO、GP、GH中有無長度保持不變的線段?如果有，請指出并求出其相應(yīng)的長度； (2)設(shè)PH= x，GP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出自變量x的取值范圍； (3)如果PGH為等腰三角形，試求出線段PH的長 參考答案