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2019-2020年八年級數(shù)學下冊 17.2實際問題與反比例函數(shù)第三課時教案 人教新課標版 教學目標 1．知識與技能 學會把實際問題轉化為數(shù)學問題，進一步理解反比例函數(shù)關系式的構造，掌握用反比例函數(shù)的方法解決實際問題． 2．過程與方法 感受實際問題的探索方法，培養(yǎng)化歸的數(shù)學思想和分析問題的能力． 3．情感、態(tài)度與價值觀 體驗函數(shù)思想在解決實際問題中的應用，養(yǎng)成用數(shù)學的良好習慣． 教學重點難點 重點：用反比例函數(shù)解決實際問題． 難點：構建反比例函數(shù)的數(shù)學模型． 課時安排 2課時 教與學互動設計 第1課時 （一）創(chuàng)設情境，導入新課 一位司機駕駛汽車從甲地去乙地，他以80千米／時的平均速度用6小時到達目的地． （1）當他按原路勻速反回時，汽車的速度v與時間t有怎樣的函數(shù)關系？ （2）若該司機必須在4個小時內回到甲地，則返程的速度不能低于多少？ （二）合作交流，解讀探究 探究 （1）原路返回，說明路程不變，則806=480千米，因而速度v和時間t滿足：vt=480或v=的反比例函數(shù)關系式． （2）若要在4小時內回到甲地（原路），則速度顯然不能低于=120（千米/時）． 歸納 常見的與實際相關的反比例 （1）面積一定時，矩形的長與寬成反比例； （2）面積一定時，三角形的一邊長與這邊上的高成反比例； （3）體積一定時，柱（錐）體的底面積與高成反比例； （4）工作總量一定時，工作效率與工作時間成反比例； （5）總價一定時，單價與商品的件數(shù)成反比例； （6）溶質一定時，溶液的濃度與質量成反比例． （三）應用遷移，鞏固提高 例1近視眼鏡的度數(shù)y（度）與焦距x（m）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m． （1）試求眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關系式； （2）求1 000度近視眼鏡鏡片的焦距． 【分析】 把實際問題轉化為求反比例函數(shù)的解析式的問題． 解：（1）設y=，把x=0.25，y=400代入，得400=， 所以，k=4000.25=100，即所求的函數(shù)關系式為y=． （2）當y=1 000時，1000=，解得=0.1m． 例2如圖所示是某一蓄水池每小時的排水量V（m3/h）與排完水池中的水所用的時間t（h）之間的函數(shù)關系圖象． （1）請你根據(jù)圖象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）寫出此函數(shù)的解析式； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量應該是多少？ （4）如果每小時排水量是5 000m3，那么水池中的水將要多少小時排完？ 【分析】 當蓄水總量一定時，每小時的排水量與排水所用時間成反比例． 解：（1）因為當蓄水總量一定時，每小時的排水量與排水所用時間成反比例，所以根據(jù)圖象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量為：4 00012=48 000（m3）． （2）因為此函數(shù)為反比例函數(shù)，所以解析式為：V=； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量為：V==8000（m3）； （4）如果每小時排水量是5 000m3，那么要排完水池中的水所需時間為：t= =8000（m3） 備選例題 （中考四川）制作一種產品，需先將材料加熱到達60℃后，再進行操作．設該材料溫度為y（℃），從加熱開始計算的時間為x（分鐘）．據(jù)了解，設該材料加熱時，溫度y與時間x完成一次函數(shù)關系；停止加熱進行操作時，溫度y與時間x成反比例關系（如圖所示）．已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達到60℃． （1）分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，y與x的函數(shù)關系式； （2）根據(jù)工藝要求，當材料的溫度低于15℃時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時間？ 【答案】 （1）將材料加熱時的關系式為：y=9x+15（0≤x≤5），停止加熱進行操作時的關系式為y=（x>5）；（2）20分鐘． （四）總結反思，拓展升華 1．學會把實際問題轉化為數(shù)學問題，充分體現(xiàn)數(shù)學知識來源于實際生活又服務于實際生活這一原理． 2．能用函數(shù)的觀點分析、解決實際問題，讓實際問題中的量的關系在數(shù)學模型中相互聯(lián)系，并得到解決． （五）課堂跟蹤反饋 夯實基礎 1．A、B兩城市相距720千米，一列火車從A城去B城． （1）火車的速度v（千米/時）和行駛的時間t（時）之間的函數(shù)關系是 v= ． （2）若到達目的地后，按原路勻速原回，并要求在3小時內回到A城，則返回的速度不能低于 240千米/小時 ． 2．有一面積為60的梯形，其上底長是下底長的，若下底長為x，高為y，則y與x的函數(shù)關系是 y= ． 3．（中考長沙）已知矩形的面積為10，則它的長y與寬x之間的關系用圖象大致可表示為 （A） 4．下列各問題中，兩個變量之間的關系不是反比例函數(shù)的是（C） A．小明完成100m賽跑時，時間t（s）與他跑步的平均速度v（m/s）之間的關系 B．菱形的面積為48cm2，它的兩條對角線的長為y（cm）與x（cm）的關系 C．一個玻璃容器的體積為30L時，所盛液體的質量m與所盛液體的體積V之間的關系 D．壓力為600N時，壓強p與受力面積S之間的關系 提升能力 5．面積為2的△ABC，一邊長為x，這邊上的高為y，則y與x的變化規(guī)律用圖象表示大致是（C） 開放探究 6．為了預防流行性感冒，某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒．已知，藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖所示）．現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此室內空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請你根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題： （1）藥物燃燒時y關于x的函數(shù)關系式為： y=x ，自變量的取值范圍是： 00，所以由≤12，可得R≥． 例2某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓P（千帕）是氣球體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示（千帕是一種壓強單位）． （1）寫出這個函數(shù)的解析式； （2）當氣球體積為0.8m3時，氣球內的氣壓是多少千帕？ （3）當氣球內的氣壓大于144千帕時，氣球將爆炸，為了完全起見，氣球的體積應不小于多少？ 【分析】 在此題中，求出函數(shù)解析式是關鍵． 解：設函數(shù)的解析式為P=，把點A（1.5，64）的坐標代入，得k=96，所以所求的解析式為P=； （2）V=0.8m3時，P==120（千帕）； （3）由題意P≤144（千帕），所以≤144，所以V≥=（m3）即氣體的體積應不小于m3． 備選例題 1．（中考變式荊州）在某一電路中，電流I、電壓U、電阻R三者之間滿足關系I=． （1）當哪個量一定時，另兩個量成反比例函數(shù)關系？ （2）若I和R之間的函數(shù)關系圖象如圖，試猜想這一電路的電壓是______伏． 2．（中考揚州）已知力F對一個物體作的功是15焦，則力F與此物體在力在方向上移動的距離S之間的函數(shù)關系式的圖象大致是（ ） 【答案】 1．（1）當電壓U一定時，電流I與電阻R成反比例函數(shù)關系，（2）10；2．B （四）總結反思，拓展升華 1．把實際問題中的數(shù)量關系，通過分析、轉化為數(shù)學問題中的數(shù)量關系． 2．利用構建好的數(shù)學模型、函數(shù)的思想解決這類問題． 3．注意學科之間知識的滲透． （五）課堂跟蹤反饋 夯實基礎 1．在一定的范圍內，某種物品的需求量與供應量成反比例．現(xiàn)已知當需求量為500噸時，市場供應量為10 000噸，試求當市場供應量為16 000噸時的需求量是 312.5噸 ． 2．某電廠有5 000噸電煤． （1）這些電煤能夠使用的天數(shù)x（天）與該廠平均每天用煤噸數(shù)y（噸）之間的函數(shù)關系是 y= ； （2）若平均每天用煤200噸，這批電煤能用是 25 天； （3）若該電廠前10天每天用200噸，后因各地用電緊張，每天用煤300噸，這批電煤共可用是 20 天． 提升能力 3．一種電器的使用壽命n（月）與平均每天使用時間t（小時）成反比例，其關系如圖所示． （1）求使用壽命n（月）與平均每天使用時間t（小時）之間的函數(shù)關系式是 n= ； （2）當t=5小時時，電器的使用壽命是 96（月） ． 4．某人用50N的恒定壓力用氣筒給車胎打氣． （1）打氣所產生的壓強P（帕）與受力面積S（米2）之間的函數(shù)關系是： P= ． （2）若受力面積是100cm2，則產生的壓強是 5 000P ； （3）你能根據(jù)這一知識解釋：為什么刀刃越鋒利，刀具就越好用嗎？為什么坦克的輪子上安裝又寬又長的履帶呢？ 【答案】 接觸面積越小，壓強越大，故刀具越好用，反之可解釋坦克裝履帶現(xiàn)象． 開放探究 5．一封閉電路中，當電壓是6V時，回答下列問題： （1）寫出電路中的電流I（A）與電阻R（Ω）之間的函數(shù)關系式是 I= ． （2）畫出該函數(shù)的圖象． 【答案】 略 （3）如果一個用電器的電阻是5Ω，其最大允許通過的電流為1A，那么只把這個用電器接在這個封閉電路中，會不會燒壞？試通過計算說明理由． 【答案】 可能燒壞 6．如圖所示是某個函數(shù)圖象的一部分，根據(jù)圖象回答下列問題： （1）這個函數(shù)圖象所反映的兩個變量之間是怎樣的函數(shù)關系？ 【答案】 反比例函數(shù) （2）請你根據(jù)所給出的圖象，舉出一個合乎情理且符合圖象所給出的情形的實際例子． 【答案】 如：電壓一定時電流強度與電阻；路程一定時，速度與時間之間等． （3）寫出你所舉的例子中兩個變量的函數(shù)關系式，并指出自變量的取值范圍． 【答案】 注意自變量的范圍在1～6之間． （4）說出圖象中A點在你所舉例子中的實際意義． 【答案】 根據(jù)所舉的例子，當自變量為2時，函數(shù)值為3即可． 資料鏈接 數(shù)學中的轉折點 在古希臘，人們十分重視幾何學的研究，開始是測量土地的需要．幾何學這個名詞在希臘文中就是“量地”的意思，后來發(fā)展成一門獨立學科，被譽為“理智的財富”．當時一個人如果不懂得幾何學，就不能認為是有學問的人．哲學家柏拉圖甚至說：“上帝也常常以幾何學家自居”．但是當時的希臘對代數(shù)學的研究卻很忽視．然后我們中國，還有阿拉伯和印度則與此相反，代數(shù)學有了高度發(fā)展，幾何學卻不很重視．以上兩種偏向都影響了數(shù)學的進步．到了17世紀，法國杰出的數(shù)學家笛卡兒分析了它們各自的缺陷后說：“我想應當去尋求另外一種包含這兩門科學的好處而沒有它們特點的方法”．他真的找到了這種方法，就是代數(shù)學和幾何學的統(tǒng)一──解析幾何學，把形和數(shù)聯(lián)系了起來．笛卡兒發(fā)現(xiàn)，代數(shù)方法和幾何方法可以通過坐標系聯(lián)系起來．他的基本思想是：平面上點的坐標觀念和把帶兩個變數(shù)的任意代數(shù)方法看成平面上的一條曲線的觀念． 沒有坐標系就沒有解析幾何，而坐標系的原始概念在古代航海、測量以至下棋中就產生了．另外，笛卡兒的坐標系統(tǒng)和方法當時并不是很完備的，后人又不斷予以發(fā)展，才形成了今天的解析幾何學．當然必須承認，笛卡兒所開創(chuàng)的解析幾何方法，為解析幾何學的建立和發(fā)展作出了巨大貢獻． 解析幾何方法建立后，它立即發(fā)揮了巨大的作用，主要是使變量進入了數(shù)學，引起了數(shù)學的深刻革命．可以這樣說，沒有解析幾何方法，微分法和積分法的建立是不可想象的，而這三門學科的發(fā)展，最后改變了整個數(shù)學的面貌． 恩格斯指出，數(shù)學中的轉折點是笛卡兒的變數(shù)．有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，而它們也就立即產生． 笛卡兒，毫無疑問是世界上最偉大的數(shù)學家之一． 課 題 反比例函數(shù) 課時序數(shù) 3 備課時間 授課時間 主備人 教學目標 1.綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識解決有關問題； 2.借助一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象解決某些簡單的實際問題． 教學重點 1.進一步探求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質，感受用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法； 2.通過培養(yǎng)學生看圖（象）、識圖（象）、讀圖（象）能力、體會用“數(shù)、形”結合思想解答函數(shù)題． 教學難點 教 學 過 程 一、創(chuàng)設情境 已知正比例函數(shù)y＝ax和反比例函數(shù)的圖象相交于點(1,2)，求兩函數(shù)解析式． 分析 根據(jù)題意可作出圖象．點(1,2)在正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上，把點(1,2)代入正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式中，求出a和b． 解 因為點(1,2)在正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上， 把x＝1，y＝2分別代入y＝ax和中，得2＝a，，b＝2． 所以正比例函數(shù)解析式為y＝2x．反比例函數(shù)解析式為． 二、探究歸納 綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識解題，一般先根據(jù)題意畫出圖象，借助圖象和題目中提供的信息解題． 三、實踐應用 例1 已知直線y＝x＋b經(jīng)過點A(3,0)，并與雙曲線的交點為B(－2，m)和C，求k、b的值． 解 點A(3,0)在直線y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝－3． 一次函數(shù)的解析式為：y＝x－3． 又因為點B(－2，m)也在直線y＝x－3上，所以m＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)． 而點B(－2,－5)又在反比例函數(shù)上，所以k＝－2(－5)＝10． 改筆欄 例2 已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝k2x－1的圖象交于A(2,1)． (1)分別求出這兩個函數(shù)的解析式； (2)試判斷A點關于坐標原點的對稱點與兩個函數(shù)圖象的關系． 分析 (1)因為點A在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，把A點的坐標代入這兩個解析式即可求出k1、k2的值． (2)把點A關于坐標原點的對稱點A′坐標代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式中，可知A′是否在這兩個函數(shù)圖象上． 解 (1)因為點A(2,1)在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，所以k1＝21＝2． 1＝2 k2－1，k2＝1． 所以反比例函數(shù)的解析式為：；一次函數(shù)解析式為：y＝x－1． (2)點A(2,1)關于坐標原點的對稱點是A′(－2,－1)． 把A點的橫坐標代入反比例函數(shù)解析式得，，所以點A在反比例函數(shù)圖象上． 把A點的橫坐標代入一次函數(shù)解析式得，y＝－2－1＝－3，所以點A不在一次函數(shù)圖象上． 四、交流反思 1．綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)求解兩種函數(shù)解析式，往往仍用待定系數(shù)法． 2．觀察圖象，把圖象中提供、展現(xiàn)的信息轉化為與兩函數(shù)有關的知識來解題． 五、檢測反饋 1.已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象過點A(0,1)和點B(a,－3a)(a＞0)，且點B在反比例函數(shù)的圖象上，求a及一次函數(shù)式． 2.已知關于x的一次函數(shù)y＝mx＋3n和反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過點(1,－2)，求這個一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式． 教后記