2019-2020年八年級數(shù)學下冊 17.2實際問題與反比例函數(shù)第三課時教案 人教新課標版教學目標 1知識與技能 學會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，進一步理解反比例函數(shù)關(guān)系式的構(gòu)造，掌握用反比例函數(shù)的方法解決實際問題 2過程與方法 感受實際問題的探索方法，培養(yǎng)化歸的數(shù)學思想和分析問題的能力 3情感、態(tài)度與價值觀 體驗函數(shù)思想在解決實際問題中的應(yīng)用，養(yǎng)成用數(shù)學的良好習慣教學重點難點 重點：用反比例函數(shù)解決實際問題 難點：構(gòu)建反比例函數(shù)的數(shù)學模型課時安排 2課時 教與學互動設(shè)計第1課時 （一）創(chuàng)設(shè)情境，導入新課 一位司機駕駛汽車從甲地去乙地，他以80千米時的平均速度用6小時到達目的地 （1）當他按原路勻速反回時，汽車的速度v與時間t有怎樣的函數(shù)關(guān)系？ （2）若該司機必須在4個小時內(nèi)回到甲地，則返程的速度不能低于多少？ （二）合作交流，解讀探究 探究 （1）原路返回，說明路程不變，則806=480千米，因而速度v和時間t滿足：vt=480或v=的反比例函數(shù)關(guān)系式 （2）若要在4小時內(nèi)回到甲地（原路），則速度顯然不能低于=120（千米/時） 歸納 常見的與實際相關(guān)的反比例 （1）面積一定時，矩形的長與寬成反比例； （2）面積一定時，三角形的一邊長與這邊上的高成反比例； （3）體積一定時，柱（錐）體的底面積與高成反比例； （4）工作總量一定時，工作效率與工作時間成反比例； （5）總價一定時，單價與商品的件數(shù)成反比例； （6）溶質(zhì)一定時，溶液的濃度與質(zhì)量成反比例 （三）應(yīng)用遷移，鞏固提高 例1近視眼鏡的度數(shù)y（度）與焦距x（m）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m （1）試求眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求1 000度近視眼鏡鏡片的焦距 【分析】 把實際問題轉(zhuǎn)化為求反比例函數(shù)的解析式的問題 解：（1）設(shè)y=，把x=0.25，y=400代入，得400=， 所以，k=4000.25=100，即所求的函數(shù)關(guān)系式為y= （2）當y=1 000時，1000=，解得=0.1m 例2如圖所示是某一蓄水池每小時的排水量V（m3/h）與排完水池中的水所用的時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系圖象 （1）請你根據(jù)圖象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）寫出此函數(shù)的解析式； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量應(yīng)該是多少？（4）如果每小時排水量是5 000m3，那么水池中的水將要多少小時排完？ 【分析】 當蓄水總量一定時，每小時的排水量與排水所用時間成反比例 解：（1）因為當蓄水總量一定時，每小時的排水量與排水所用時間成反比例，所以根據(jù)圖象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量為：4 00012=48 000（m3） （2）因為此函數(shù)為反比例函數(shù)，所以解析式為：V=； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量為：V=8000（m3）； （4）如果每小時排水量是5 000m3，那么要排完水池中的水所需時間為：t= =8000（m3） 備選例題 （中考四川）制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱到達60后，再進行操作設(shè)該材料溫度為y（），從加熱開始計算的時間為x（分鐘）據(jù)了解，設(shè)該材料加熱時，溫度y與時間x完成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進行操作時，溫度y與時間x成反比例關(guān)系（如圖所示）已知該材料在操作加工前的溫度為15，加熱5分鐘后溫度達到60 （1）分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)工藝要求，當材料的溫度低于15時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時間？ 【答案】 （1）將材料加熱時的關(guān)系式為：y=9x+15（0x5），停止加熱進行操作時的關(guān)系式為y=（x>5）；（2）20分鐘 （四）總結(jié)反思，拓展升華 1學會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，充分體現(xiàn)數(shù)學知識來源于實際生活又服務(wù)于實際生活這一原理 2能用函數(shù)的觀點分析、解決實際問題，讓實際問題中的量的關(guān)系在數(shù)學模型中相互聯(lián)系，并得到解決 （五）課堂跟蹤反饋 夯實基礎(chǔ) 1A、B兩城市相距720千米，一列火車從A城去B城 （1）火車的速度v（千米/時）和行駛的時間t（時）之間的函數(shù)關(guān)系是 v= （2）若到達目的地后，按原路勻速原回，并要求在3小時內(nèi)回到A城，則返回的速度不能低于 240千米/小時 2有一面積為60的梯形，其上底長是下底長的，若下底長為x，高為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系是 y= 3（中考長沙）已知矩形的面積為10，則它的長y與寬x之間的關(guān)系用圖象大致可表示為 （A） 4下列各問題中，兩個變量之間的關(guān)系不是反比例函數(shù)的是（C） A小明完成100m賽跑時，時間t（s）與他跑步的平均速度v（m/s）之間的關(guān)系 B菱形的面積為48cm2，它的兩條對角線的長為y（cm）與x（cm）的關(guān)系 C一個玻璃容器的體積為30L時，所盛液體的質(zhì)量m與所盛液體的體積V之間的關(guān)系 D壓力為600N時，壓強p與受力面積S之間的關(guān)系 提升能力5面積為2的ABC，一邊長為x，這邊上的高為y，則y與x的變化規(guī)律用圖象表示大致是（C） 開放探究 6為了預(yù)防流行性感冒，某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒已知，藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖所示）現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請你根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題： （1）藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為： y=x ，自變量的取值范圍是： 0<x<8 ；藥物燃燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式為： y= ； （2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學生方可進教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過 30 分鐘后，學生才能回到教室；（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？【答案】 有效，因為燃燒時第4分鐘含藥量開始高于3毫克，當?shù)降?6分鐘含藥量開始低于3毫克，這樣含藥量不低于3毫克的時間共有16-4=12分鐘，故有效第2課時 （一）創(chuàng)設(shè)情境，導入新課 公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發(fā)現(xiàn)了著名的“杠桿定律”：若兩物體與支點的距離反比于其重量，則杠桿平衡也可這樣描述：阻力阻力臂動力動力臂 為此，他留下一句名言：給我一個支點，我可以撬動地球！ （二）合作交流，解讀探究 問題：小偉想用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別是1200N和0.5m （1）動力F和動力臂L有怎樣的函數(shù)關(guān)系？當動力臂為1. 5m時，撬動石頭至少要多大的力？ （2）若想使動力F不超過第（1）題中所用力的一半，則動力臂至少要加長多少？ 【分析】 （1）由杠桿定律有FL=12000.5，即F=，當L=1.5時，F(xiàn)=400 （2）由（1）及題意，當F=400=200時，L=3（m）， 要加長3-1.5=1.5（m） 思考 你能由此題，利用反比例函數(shù)知識解釋：為什么使用撬棍時，動力臂越長越省力？ 聯(lián)想 物理課本上的電學知識告訴我們：用電器的輸出功率P（瓦）兩端的電壓U（伏）、用電器的電阻R（歐姆）有這樣的關(guān)系PR= u2 ，也可寫為P= （三）應(yīng)用遷移，鞏固提高 例1在某一電路中，電源電壓U保持不變，電流I（A）與電阻R（）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示 （1）寫出I與R之間的函數(shù)解析式；（2）結(jié)合圖象回答：當電路中的電流不超過12A時，電路中電阻R的取值范圍是什么？ 【分析】 由物理學知識我們知道：當電壓一定時，電流強度與電阻成反比例關(guān)系 解：（1）設(shè)，根據(jù)題目條件知， 當I=6時，R=6，所以， 所以K=36，所以I與R的關(guān)系式為：I= （2）電流不超過3A，即I=12，所以R3（） 注意 因為R>0，所以由12，可得R 例2某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（千帕）是氣球體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示（千帕是一種壓強單位） （1）寫出這個函數(shù)的解析式； （2）當氣球體積為0.8m3時，氣球內(nèi)的氣壓是多少千帕？（3）當氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕時，氣球?qū)⒈?，為了完全起見，氣球的體積應(yīng)不小于多少？ 【分析】 在此題中，求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵 解：設(shè)函數(shù)的解析式為P=，把點A（1.5，64）的坐標代入，得k=96，所以所求的解析式為P=； （2）V=0.8m3時，P=120（千帕）； （3）由題意P144（千帕），所以144，所以V=（m3）即氣體的體積應(yīng)不小于m3 備選例題 1（中考變式荊州）在某一電路中，電流I、電壓U、電阻R三者之間滿足關(guān)系I= （1）當哪個量一定時，另兩個量成反比例函數(shù)關(guān)系？（2）若I和R之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖，試猜想這一電路的電壓是_伏2（中考揚州）已知力F對一個物體作的功是15焦，則力F與此物體在力在方向上移動的距離S之間的函數(shù)關(guān)系式的圖象大致是（ ） 【答案】 1（1）當電壓U一定時，電流I與電阻R成反比例函數(shù)關(guān)系，（2）10；2B （四）總結(jié)反思，拓展升華 1把實際問題中的數(shù)量關(guān)系，通過分析、轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系 2利用構(gòu)建好的數(shù)學模型、函數(shù)的思想解決這類問題 3注意學科之間知識的滲透 （五）課堂跟蹤反饋 夯實基礎(chǔ) 1在一定的范圍內(nèi)，某種物品的需求量與供應(yīng)量成反比例現(xiàn)已知當需求量為500噸時，市場供應(yīng)量為10 000噸，試求當市場供應(yīng)量為16 000噸時的需求量是 312.5噸 2某電廠有5 000噸電煤 （1）這些電煤能夠使用的天數(shù)x（天）與該廠平均每天用煤噸數(shù)y（噸）之間的函數(shù)關(guān)系是 y= ； （2）若平均每天用煤200噸，這批電煤能用是 25 天； （3）若該電廠前10天每天用200噸，后因各地用電緊張，每天用煤300噸，這批電煤共可用是 20 天 提升能力 3一種電器的使用壽命n（月）與平均每天使用時間t（小時）成反比例，其關(guān)系如圖所示 （1）求使用壽命n（月）與平均每天使用時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式是 n= ；（2）當t=5小時時，電器的使用壽命是 96（月） 4某人用50N的恒定壓力用氣筒給車胎打氣 （1）打氣所產(chǎn)生的壓強P（帕）與受力面積S（米2）之間的函數(shù)關(guān)系是： P= （2）若受力面積是100cm2，則產(chǎn)生的壓強是 5 000P ； （3）你能根據(jù)這一知識解釋：為什么刀刃越鋒利，刀具就越好用嗎？為什么坦克的輪子上安裝又寬又長的履帶呢？ 【答案】 接觸面積越小，壓強越大，故刀具越好用，反之可解釋坦克裝履帶現(xiàn)象 開放探究 5一封閉電路中，當電壓是6V時，回答下列問題： （1）寫出電路中的電流I（A）與電阻R（）之間的函數(shù)關(guān)系式是 I= （2）畫出該函數(shù)的圖象 【答案】 略 （3）如果一個用電器的電阻是5，其最大允許通過的電流為1A，那么只把這個用電器接在這個封閉電路中，會不會燒壞？試通過計算說明理由 【答案】 可能燒壞 6如圖所示是某個函數(shù)圖象的一部分，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）這個函數(shù)圖象所反映的兩個變量之間是怎樣的函數(shù)關(guān)系？ 【答案】 反比例函數(shù) （2）請你根據(jù)所給出的圖象，舉出一個合乎情理且符合圖象所給出的情形的實際例子 【答案】 如：電壓一定時電流強度與電阻；路程一定時，速度與時間之間等 （3）寫出你所舉的例子中兩個變量的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍 【答案】 注意自變量的范圍在16之間 （4）說出圖象中A點在你所舉例子中的實際意義 【答案】 根據(jù)所舉的例子，當自變量為2時，函數(shù)值為3即可 資料鏈接數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點 在古希臘，人們十分重視幾何學的研究，開始是測量土地的需要幾何學這個名詞在希臘文中就是“量地”的意思，后來發(fā)展成一門獨立學科，被譽為“理智的財富”當時一個人如果不懂得幾何學，就不能認為是有學問的人哲學家柏拉圖甚至說：“上帝也常常以幾何學家自居”但是當時的希臘對代數(shù)學的研究卻很忽視然后我們中國，還有阿拉伯和印度則與此相反，代數(shù)學有了高度發(fā)展，幾何學卻不很重視以上兩種偏向都影響了數(shù)學的進步到了17世紀，法國杰出的數(shù)學家笛卡兒分析了它們各自的缺陷后說：“我想應(yīng)當去尋求另外一種包含這兩門科學的好處而沒有它們特點的方法”他真的找到了這種方法，就是代數(shù)學和幾何學的統(tǒng)一解析幾何學，把形和數(shù)聯(lián)系了起來笛卡兒發(fā)現(xiàn)，代數(shù)方法和幾何方法可以通過坐標系聯(lián)系起來他的基本思想是：平面上點的坐標觀念和把帶兩個變數(shù)的任意代數(shù)方法看成平面上的一條曲線的觀念 沒有坐標系就沒有解析幾何，而坐標系的原始概念在古代航海、測量以至下棋中就產(chǎn)生了另外，笛卡兒的坐標系統(tǒng)和方法當時并不是很完備的，后人又不斷予以發(fā)展，才形成了今天的解析幾何學當然必須承認，笛卡兒所開創(chuàng)的解析幾何方法，為解析幾何學的建立和發(fā)展作出了巨大貢獻 解析幾何方法建立后，它立即發(fā)揮了巨大的作用，主要是使變量進入了數(shù)學，引起了數(shù)學的深刻革命可以這樣說，沒有解析幾何方法，微分法和積分法的建立是不可想象的，而這三門學科的發(fā)展，最后改變了整個數(shù)學的面貌 恩格斯指出，數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，而它們也就立即產(chǎn)生 笛卡兒，毫無疑問是世界上最偉大的數(shù)學家之一課 題反比例函數(shù)課時序數(shù)3備課時間授課時間主備人教學目標1.綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識解決有關(guān)問題； 2.借助一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象解決某些簡單的實際問題教學重點1.進一步探求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，感受用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法；2.通過培養(yǎng)學生看圖（象）、識圖（象）、讀圖（象）能力、體會用“數(shù)、形”結(jié)合思想解答函數(shù)題教學難點教 學 過 程一、創(chuàng)設(shè)情境已知正比例函數(shù)yax和反比例函數(shù)的圖象相交于點(1,2)，求兩函數(shù)解析式分析 根據(jù)題意可作出圖象點(1,2)在正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上，把點(1,2)代入正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式中，求出a和b解 因為點(1,2)在正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上，把x1，y2分別代入yax和中，得2a，b2所以正比例函數(shù)解析式為y2x反比例函數(shù)解析式為二、探究歸納 綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識解題，一般先根據(jù)題意畫出圖象，借助圖象和題目中提供的信息解題 三、實踐應(yīng)用例1 已知直線yxb經(jīng)過點A(3,0)，并與雙曲線的交點為B(2，m)和C，求k、b的值解 點A(3,0)在直線yxb上，所以03b，b3一次函數(shù)的解析式為：yx3又因為點B(2，m)也在直線yx3上，所以m235，即B(2,5)而點B(2,5)又在反比例函數(shù)上，所以k2(5)10改筆欄例2 已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)yk2x1的圖象交于A(2,1)(1)分別求出這兩個函數(shù)的解析式；(2)試判斷A點關(guān)于坐標原點的對稱點與兩個函數(shù)圖象的關(guān)系分析 (1)因為點A在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，把A點的坐標代入這兩個解析式即可求出k1、k2的值(2)把點A關(guān)于坐標原點的對稱點A坐標代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式中，可知A是否在這兩個函數(shù)圖象上解 (1)因為點A(2,1)在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，所以k121212 k21，k21所以反比例函數(shù)的解析式為：；一次函數(shù)解析式為：yx1(2)點A(2,1)關(guān)于坐標原點的對稱點是A(2,1)把A點的橫坐標代入反比例函數(shù)解析式得，所以點A在反比例函數(shù)圖象上把A點的橫坐標代入一次函數(shù)解析式得，y213，所以點A不在一次函數(shù)圖象上四、交流反思1綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)求解兩種函數(shù)解析式，往往仍用待定系數(shù)法2觀察圖象，把圖象中提供、展現(xiàn)的信息轉(zhuǎn)化為與兩函數(shù)有關(guān)的知識來解題五、檢測反饋1.已知一次函數(shù)ykxb的圖象過點A(0,1)和點B(a,3a)(a0)，且點B在反比例函數(shù)的圖象上，求a及一次函數(shù)式 2.已知關(guān)于x的一次函數(shù)ymx3n和反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過點(1,2)，求這個一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式教后記