2019-2020年八年級數(shù)學(xué)下冊 18.1勾股定理第三課時教案 人教新課標(biāo)版三維目標(biāo) 一、知識與技能 能將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題 二、過程與方法 1經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型過程，并能用勾股定理來解決此問題，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識 2在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，發(fā)展學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新精神 3在解決實際問題的過程中，學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維過程和結(jié)果，形成反思的意識 三、情感態(tài)度與價值觀 1在用勾股定理探索實際問題的過程中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心 2在解決實際問題的過程中形成實事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨立思考的習(xí)慣 教學(xué)重點 將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型 教學(xué)難點 如何用解直角三角形的知識和勾股定理解決實際問題 教具準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 活動1 問題：欲登12米高的建筑物，為完全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長的梯子？ 設(shè)計意圖： 勾股定理是幾何中幾個最重要的定理之一，它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，它可以解決許多直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要依據(jù)之一，在生產(chǎn)生活實際中用途很大它不僅在數(shù)學(xué)中，而且在其他自然科學(xué)中也被廣泛的應(yīng)用 此活動讓學(xué)生體驗勾股定理在生活中的一個簡單應(yīng)用 師生行為： 學(xué)生分小組討論，建立直角三角形的數(shù)學(xué)模型 教師深入小組活動中，傾聽學(xué)生的想法 此活動，教師應(yīng)重點關(guān)注： 學(xué)生能否將簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型； 學(xué)生能否利用勾股定理解決實際問題并給予解釋； 學(xué)生參加數(shù)學(xué)活動是否積極主動 生：根據(jù)題意，（如圖）AC是建筑物，則AC=12m，BC=5m，AB是梯子的長度所以在RtABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13m所以至少需13m長的梯子 師：很好！ 由勾股定理可知，已知兩直角邊的長a，b，就可以求出斜邊c的長由勾股定理可得a2=c2-b2或b2=c2-a2，由此可知已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊，也就是說，在直角三角形中，已知兩邊就可求出第三邊的長 二、講授新課 活動2問題：一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？ 設(shè)計意圖： 進(jìn)一步體會勾股定理在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用，提高解決實際問題的能力 師生行為： 學(xué)生分組討論、交流，教師深入學(xué)生的數(shù)學(xué)活動中，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決問題的途徑 教師在此活動中應(yīng)重點關(guān)注： 學(xué)生能否獨立思考，發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑比較AC與寬2.2m的大小即可； 學(xué)生遇到困難，能否有克服的勇氣和堅強的毅力 生：從題意可以看出，木板橫著進(jìn)，豎著進(jìn)，都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過 生：在長方形ABCD中，對角線AC是斜著能通過的最大長度，求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板是否通過 師生共析： 解：在RtABC中，根據(jù)勾股定理AC2=AB2+BC2=12+22=52 因此AC2.236 因為AC>木板的寬，所以木板可以從門框內(nèi)通過 活動3問題：如圖，一個3m長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？ 設(shè)計意圖： 進(jìn)一步熟悉如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和應(yīng)用能力 師生行為： 學(xué)生獨立思考后，在小組內(nèi)交流合作 教師深入到學(xué)生的數(shù)學(xué)活動中，傾聽他們是如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的 教師在此活動中應(yīng)重點關(guān)注： 學(xué)生克服困難的勇氣和堅強的意志力； 學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識 生：梯子底端B隨著梯子頂端A沿墻下滑而外移到D，即BD的長度就是梯子外移的距離 觀察圖形，可以看到BD=OD-OB，求BD可以先求出OB，OD 師：OB，OD如何求呢？ 生：根據(jù)勾股定理，在RtOAB中，AB=3m，OA=2.5m，所以O(shè)B2=AB2-OA2=32-2.52=2.752 OB1.658m（精確到0.001m） 在RtOCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，所以O(shè)D2=CD2-OC2=32-22=5 OD2.336m（精確到0.001） BD=OD-OB=2.236-1.6580.58m（精確到0.01m），所以梯子頂端沿墻下滑0.5m，梯子底端外移0.58m 活動4 問題：“執(zhí)竿進(jìn)屋”：笨人持竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭有個鄰居聰明者，教他斜竿對兩角笨伯依言試一試，不多不少剛抵足借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服 當(dāng)代數(shù)學(xué)教育家清華大學(xué)教授 許莼舫著作古算題味 設(shè)計意圖： 通過古代算題的研究，揭發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力 師生行為： 學(xué)生先獨立思考，讀懂題意，后小組交流、討論、合作完成本活動 教師深入到學(xué)生的數(shù)學(xué)活動中去，傾聽學(xué)生理解題意，尋找解題思路的過程 本活動教師應(yīng)重點關(guān)注： 學(xué)生能否積極主動地參與； 學(xué)生能否運用勾股定理，借助方程（或方程組）解決問題 生：解：設(shè)竿長為x尺，門框的寬度為（x-4）尺，高度為（x-2）尺，根據(jù)題意和勾股定理，得 x2=（x-4）2+（x-2）2 化簡，得x2-12x+20=0， （x-10）（x-2）=0， x1=10，x2=2（不合題意，舍去） 所以竿長為10尺 三、鞏固提高 活動5 練習(xí)：1有一個邊長為50dm的正方形洞口，想用一個圓蓋蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長（結(jié)果保留整數(shù)）2如下圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上一點，測得CB=60m，AC=20m，你能求出A、B兩點間的距離嗎？ 設(shè)計意圖： 進(jìn)一步提高學(xué)生應(yīng)用勾股定理解決問題的能力提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 師生行為： 由學(xué)生在黑板上板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上完成，教師可巡視學(xué)生完成的情況，對程度較差的學(xué)生給予及時的輔導(dǎo) 在本活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注： 學(xué)生能否獨立完成任務(wù)； 學(xué)生解答的過程是否嚴(yán)格規(guī)范 生：1解：設(shè)圓的直徑為xdm，根據(jù)勾股定理，得502+502=x2， 解得x71所以圓的直徑改為71dm 2解：如右圖，在RtABC中，AC=20m，BC=60m，根據(jù)勾股定理，得 AB2=BC2-AC2=602-202=3 200，AB=40 所以A，B兩點間的距離為40m 四、課時小結(jié) 活動6 問題：談?wù)勀氵@節(jié)課的收獲有哪些？會用勾股定理解決簡單應(yīng)用題；學(xué)會構(gòu)造直角三角形 設(shè)計意圖： 通過本節(jié)，讓學(xué)生利用勾股定理，完成了將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型的全過程 師生行為： 學(xué)生思考總結(jié) 教師完善，得出結(jié)論： 本節(jié)是從實際問題出發(fā)，轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，并用勾股定理完成解決 在活動6中，教師應(yīng)重點關(guān)注： （1）學(xué)生能否從實際問題出發(fā)，將實際問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的問題，并用勾股定理完成解決，體驗勾股定理的重要性； （2）完成是否積極主動地參與小結(jié) 板書設(shè)計 181 勾股定理（三） 活動與探究 一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B點，那么沿哪條路爬最近？你能幫它找出來嗎？（這個長方體的長為15厘米，寬為10厘米，高為20厘米，點B離點C5厘米） 過程：要求螞蟻爬行的最短路徑，需將空間圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形，即將A和B所在的相鄰的兩個面展示，利用“兩點之間，線段最短”，就可求得結(jié)果：根據(jù)題意，最短路徑有下列三種情況（如下圖所示） 由圖（1）求得AB2=AB12+BB12=152+202=625； 由圖（2）求得AB2=BC12+C1A2=252+102=725； 由圖（3）求得AB2=AC2+BC2=302+52=925 比較上面結(jié)果，可知最短路徑應(yīng)為AB=25厘米 備課資料 一、雅典涼席畢達(dá)哥拉斯平日生活簡樸，他的一張雅典涼席（草編的帶有綠方格的席子）已伴隨他十幾個春秋了，夏天又快到了，他的妻子將草席破損處剪去后，剩下一個不方不正的殘片（如下圖） “換一張新的吧！”畢氏的妻子嘟噥著，“實在不能用了” 正在一旁演算題目的畢氏放下手中的筆，看了看那塊被妻子剪裁后的草席道：“把它裁裁拼拼還能用一夏天”說完他想了一陣，便用手在席子上比劃著說：“這樣裁成3塊（如上圖中粗線所示部分），便可將它們拼成一個正方形” 畢氏說完，妻子看了看又想了一陣說：“你這裁法拼起來太麻煩，還有別的更好的裁法嗎？”畢氏又想了一陣，還是把殘草席裁成了3塊（圖（1），用它們拼成了一個正方形涼席（圖（2），并且花紋也沒有被打亂，妻子看后很滿意 你能試試將按第一種裁法得到的3個圖形拼成一個正方形嗎？ 二、考慮練習(xí)1某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達(dá)點B 200米，結(jié)果他在水中實際游了520米，求該河流的寬度2如下圖，要修一個育苗棚，棚寬a=2m，b=1.5m，長d=16m，求覆蓋在頂上的塑料薄膜需多少平方米？ 答案：1約480m 240m2