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2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練三 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理 考情解讀　1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對稱性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值，重點考查分析、處理問題的能力，是高考的必考點． 1．三角函數(shù)定義、同角關系與誘導公式 (1)定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x， tan α＝.各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)同角關系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. (3)誘導公式：在＋α，k∈Z的誘導公式中“奇變偶不變，符號看象限”． 2．三角函數(shù)的圖象及常用性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 單調(diào)性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上單調(diào)遞增 對稱性 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)； 對稱軸：x＝＋kπ(k∈Z) 對稱中心：(＋kπ，0)(k∈Z)； 對稱軸：x＝kπ(k∈Z) 對稱中心： (，0)(k∈Z) 3.三角函數(shù)的兩種常見變換 (1)y＝sin x y＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)． (2)y＝sin x y＝sin ωx y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)． 熱點一　三角函數(shù)的概念、誘導公式及同角三角函數(shù)的基本關系 例1　(1)點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q點的坐標為(　　) A．(－，) B．(－，－) C．(－，－) D．(－，) (2)已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊上一點P(－4,3)，則的值為________． 思維啟迪　(1)準確把握三角函數(shù)的定義．(2)利用三角函數(shù)定義和誘導公式． 答案　(1)A　(2)－ 解析　(1)設Q點的坐標為(x，y)， 則x＝cos＝－，y＝sin＝. ∴Q點的坐標為(－，)． (2)原式＝＝tan α. 根據(jù)三角函數(shù)的定義， 得tan α＝＝－， ∴原式＝－. 思維升華　(1)涉及與圓及角有關的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解．應用定義時，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關，與終邊上點的位置無關． (2)應用誘導公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號；利用同角三角函數(shù)的關系化簡過程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等． 　(1)如圖，以Ox為始邊作角α(0<α<π)，終邊與單位圓相交于點P，已知點P的坐標為，則＝________. (2)已知點P落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為(　　) A. B. C. D. 答案　(1)　(2)D 解析　(1)由三角函數(shù)定義， 得cos α＝－，sin α＝， ∴原式＝＝ ＝2cos2α＝22＝. (2)tan θ＝＝＝－1， 又sin >0，cos <0， 所以θ為第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝. 熱點二　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及解析式 例2　(1)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則將y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，得到的圖象解析式為(　　) A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x C．y＝sin(2x＋) D．y＝sin(2x－) (2)若函數(shù)y＝cos 2x＋sin 2x＋a在[0，]上有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為________． 思維啟迪　(1)先根據(jù)圖象確定函數(shù)f(x)的解析式，再將得到的f(x)中的“x”換成“x－”即可． (2)將零點個數(shù)轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖象的交點個數(shù)． 答案　(1)D　(2)(－2，－1] 解析　(1)由圖知，A＝1，＝－，故T＝π＝， 所以ω＝2，又函數(shù)圖象過點(，1)，代入解析式中， 得sin(＋φ)＝1，又|φ|<，故φ＝. 則f(x)＝sin(2x＋)向右平移后， 得到y(tǒng)＝sin[2(x－)＋)＝sin(2x－)，選D. (2)由題意可知y＝2sin(2x＋)＋a， 該函數(shù)在[0，]上有兩個不同的零點，即y＝－a，y＝2sin(2x＋)在[0，]上有兩個不同的交點． 結合函數(shù)的圖象可知1≤－a<2，所以－20，ω>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置． (2)在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向． 　(1)如圖，函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)與坐標軸的三個交點P、Q、R滿足P(2,0)，∠PQR＝，M為QR的中點，PM＝2，則A的值為(　　) A. B. C．8 D．16 (2)若將函數(shù)y＝tan(ωx＋)(ω>0)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)y＝tan(ωx＋)的圖象重合，則ω的最小正值為(　　) A. B. C. D. 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)由題意設Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)． 則M(，－)，由兩點間距離公式得， PM＝ ＝2，解得a＝8，由此得，＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝， 由P(2,0)得φ＝－，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)得， f(x)＝Asin(x－)， 從而f(0)＝Asin(－)＝－8， 得A＝. (2)y＝tan(ωx＋)的圖象向右平移，得到y(tǒng)＝tan(ωx＋－)的圖象，與y＝tan(ωx＋)重合，得－＝kπ＋，故ω＝－6k＋，k∈Z， ∴ω的最小正值為. 熱點三　三角函數(shù)的性質(zhì) 例3　設函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)當x∈[0，]時，f(x)的最大值為2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的對稱軸方程． 思維啟迪　先化簡函數(shù)解析式，然后研究函數(shù)性質(zhì)(可結合函數(shù)簡圖)． 解　(1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝sin(2x＋)＋1＋a， 則f(x)的最小正周期T＝＝π， 且當2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)時f(x)單調(diào)遞增，即kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以[kπ－，kπ＋](k∈Z)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． (2)當x∈[0，]時?≤2x＋≤， 當2x＋＝，即x＝時sin(2x＋)＝1. 所以f(x)max＝＋1＋a＝2?a＝1－. 由2x＋＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)， 故y＝f(x)的對稱軸方程為x＝＋，k∈Z. 思維升華　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)及應用的求解思路 第一步：先借助三角恒等變換及相應三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式； 第二步：把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復合函數(shù)性質(zhì)求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題． 　已知函數(shù)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期為π. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象；若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10個零點，求b的最小值． 解　(1)由題意得：f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－ ＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin(2ωx－)， 由周期為π，得ω＝1，得f(x)＝2sin(2x－)， 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 整理得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ－，kπ＋]，k∈Z. (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝2sin 2x＋1的圖象， 所以g(x)＝2sin 2x＋1， 令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)， 所以在[0，π]上恰好有兩個零點， 若y＝g(x)在[0，b]上有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可，即b的最小值為4π＋＝. 1．求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的單調(diào)區(qū)間 (1)將ω化為正． (2)將ωx＋φ看成一個整體，由三角函數(shù)的單調(diào)性求解． 2．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的圖象求解析式 (1)A＝， B＝. (2)由函數(shù)的周期T求ω，ω＝. (3)利用與“五點法”中相對應的特殊點求φ. 3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點． 4．求三角函數(shù)式最值的方法 (1)將三角函數(shù)式化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，進而結合三角函數(shù)的性質(zhì)求解． (2)將三角函數(shù)式化為關于sin x，cos x的二次函數(shù)的形式，進而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解． 5．特別提醒 進行三角函數(shù)的圖象變換時，要注意無論進行什么樣的變換都是變換變量本身． 真題感悟 1．(xx遼寧)將函數(shù)y＝3sin(2x＋)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)(　　) A．在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增 C．在區(qū)間[－，]上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間[－，]上單調(diào)遞增 答案　B 解析　y＝3sin(2x＋)的圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)＝3sin[2(x－)＋]＝3sin(2x－π)． 令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，則y＝3sin(2x－π)的增區(qū)間為[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z. 令k＝0得其中一個增區(qū)間為[，π]，故B正確． 畫出y＝3sin(2x－π)在[－，]上的簡圖，如圖， 可知y＝3sin(2x－π)在[－，]上不具有單調(diào)性， 故C，D錯誤． 2．(xx北京)設函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為________． 答案　π 解析　∵f(x)在上具有單調(diào)性， ∴≥－， ∴T≥. ∵f＝f， ∴f(x)的一條對稱軸為x＝＝. 又∵f＝－f， ∴f(x)的一個對稱中心的橫坐標為＝. ∴T＝－＝，∴T＝π. 押題精練 1．函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分圖象如圖，其中M(m,0)，N(n,2)，P(π，0)，且mn<0，則f(x)在下列哪個區(qū)間中是單調(diào)的(　　) A．(0，) B．(，) C．(，) D．(，π) 答案　B 解析　∵mn<0，所以當左右移動圖象，當圖象過原點時，即M點在原點時，此時T＝π，則ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x)，在(，)上為減函數(shù)，(0，)上為增函數(shù)；當圖象的最高點在y軸上時，即N點在y軸上，T＝π，ω＝，∴f(x)＝2sin(x)，在(0，)上是減函數(shù)，(，π)上為增函數(shù)．所以f(x)在(，)上是單調(diào)的． 2．已知函數(shù)f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，直線x＝x1，x＝x2是y＝f(x)圖象的任意兩條對稱軸，且|x1－x2|的最小值為. (1)求f(x)的表達式； (2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若關于x的方程g(x)＋k＝0在區(qū)間[0，]上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍． 解　(1)f(x)＝sin 2ωx＋－ ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin(2ωx＋)， 由題意知，最小正周期T＝2＝， T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin. (2)將f(x)的圖象向右平移個單位長度后，得到y(tǒng)＝sin(4x－)的圖象， 再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變， 得到y(tǒng)＝sin(2x－)的圖象． 所以g(x)＝sin(2x－)． 令2x－＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤. g(x)＋k＝0在區(qū)間[0，]上有且只有一個實數(shù)解， 即函數(shù)g(t)＝sin t與y＝－k在區(qū)間[－，]上有且只有一個交點．如圖， 由正弦函數(shù)的圖象可知－≤－k<或－k＝1. ∴－0且|φ|<)在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減，且函數(shù)值從1減小到－1，那么此函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　依題意知＝－，∴T＝π＝，∴ω＝2，將點(，1)代入y＝sin(2x＋φ)得sin(＋φ)＝1，又|φ|<，φ＝，故y＝sin(2x＋)，與y軸交點縱坐標為. 4．若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點與最低點，且＝0，則Aω等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由題中圖象知＝－， 所以T＝π，所以ω＝2. 則M，N 由＝0，得＝A2， 所以A＝，所以Aω＝. 5．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|<π，若f(x)≤|f()|對x∈R恒成立，且f()f() C．f(x)是奇函數(shù) D．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ－，kπ＋](k∈Z) 答案　D 解析　由f(x)≤|f()|恒成立知x＝是函數(shù)的對稱軸，即2＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又f()0，得φ＝，即f(x)＝sin(2x＋)， 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ－，kπ＋](k∈Z)． 6．已知A，B，C，D，E是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<)一個周期內(nèi)的圖象上的五個點，如圖所示，A(－，0)，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，則ω，φ的值為(　　) A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ 答案　A 解析　因為A，B，C，D，E是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<)一個周期內(nèi)的圖象上的五個點，A(－，0)，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，所以T＝4(＋)＝π，所以ω＝2， 因為A(－，0)，所以f(－)＝sin(－＋φ)＝0,0<φ<，φ＝. 二、填空題 7．(xx安徽)若將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)的圖象向右平移φ個單位，所得圖象關于y軸對稱，則φ的最小正值是________． 答案　 解析　∵函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)的圖象向右平移φ個單位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋－2φ)， 又∵g(x)是偶函數(shù)，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)． ∴φ＝－－(k∈Z)． 當k＝－1時，φ取得最小正值. 8．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，若x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝________. 答案　 解析　觀察圖象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2， f(x)＝sin(2x＋φ)． 將(－，0)代入上式得sin(－＋φ)＝0，由已知得φ＝，故f(x)＝sin(2x＋)． 函數(shù)圖象的對稱軸為x＝＝. 又x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)， ∴f(x1＋x2)＝f(2)＝f()＝sin(2＋)＝. 9．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心完全相同，若x∈[0，]，則f(x)的取值范圍是________． 答案　[－，3] 解析　由兩三角函數(shù)圖象的對稱中心完全相同，可知兩函數(shù)的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－)，那么當x∈[0，]時，－≤2x－≤， 所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈[－，3]． 10．給出命題：①函數(shù)y＝2sin(－x)－cos(＋x)(x∈R)的最小值等于－1；②函數(shù)y＝ sin πxcos πx是最小正周期為2的奇函數(shù)；③函數(shù)y＝sin(x＋)在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增的； ④若sin 2α<0，cos α－sin α<0，則α一定為第二象限角．則真命題的序號是________． 答案?、佗? 解析　對于①，函數(shù)y＝2sin(－x)－cos(＋x) ＝sin(－x)，所以其最小值為－1； 對于②，函數(shù)y＝sin πxcos πx＝sin 2πx是奇函數(shù)，但其最小正周期為1； 對于③，函數(shù)y＝sin(x＋)在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減； 對于④，由?cos α<0，sin α>0，所以α一定為第二象限角． 三、解答題 11．已知函數(shù)f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝時取得最大值4. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的解析式； (3)若f(α＋)＝，求sin α. 解　(1)f(x)的最小正周期T＝. (2)由函數(shù)的最大值為4，可得A＝4. 所以f(x)＝4sin(3x＋φ)． 當x＝時，4sin(3＋φ)＝4， 所以sin(＋φ)＝1， 所以φ＝2kπ＋，k∈Z， 因為0<φ<π，所以φ＝. 所以f(x)的解析式是f(x)＝4sin(3x＋)． (3)因為f(α＋)＝， 故sin(2α＋＋)＝. 所以cos 2α＝，即1－2sin2α＝， 故sin2α＝.所以sin α＝. 12．已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x，x∈R.求： (1)函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－，]上的值域． 解　(1)由二倍角的正、余弦公式及其變形，得 f(x)＝＋sin 2x＋ ＝2＋sin 2x＋cos 2x ＝2＋2(sin 2x＋cos 2x) ＝2sin(2x＋)＋2. ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π， ∵－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z時f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)， ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋]，k∈Z. (2)由題意得－≤x≤， ∴2x＋∈[－，]， ∴sin(2x＋)∈[－，1]， 即1≤2sin(2x＋)＋2≤4， ∴f(x)區(qū)間[－，]上的值域為[1,4]．