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考點三角恒等變換,考點清單,考向基礎1.兩角和與差的三角函數公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;(Sα+β)sin(α-β)=①sinαcosβ-cosαsinβ;(Sα-β)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;(Cα+β)cos(α-β)=②cosαcosβ+sinαsinβ;(Cα-β)tan(α+β)=;(Tα+β)tan(α-β)=.(Tα-β),cos2α=cos2α-sin2α=③2cos2α-1=④1-2sin2α;(C2α)tan2α=.(T2α)3.公式的變形與應用(1)兩角和與差的正切公式的變形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).(2)升冪公式1+cosα=2cos2;1-cosα=2sin2.,2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;(S2α),(4)其他常用變形sin2α==;cos2α==;1sinα=;tan==.,(3)降冪公式sin2α=;cos2α=.,(1)從等式一邊推導變形到另一邊,一般是化繁為簡.(2)等式兩邊同時變形成同一個式子.(3)將式子變形(如作差)后再證明.,5.三角恒等式的證明方法,4.輔助角公式asinα+bcosα=⑤sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=.,考向突破,考向一兩角和與差的三角函數公式的運用,例1已知α,β均為銳角,且sinα=,cos(α+β)=-,則β等于()A.B.C.D.,解析∵α為銳角且sinα=,∴cosα=.∵α,β均為銳角,∴0<α+β<π.又∵cos(α+β)=-,∴sin(α+β)=.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-+==.又∵β為銳角,∴β=.故選A.,答案A,考向二簡單的三角恒等變換,例2化簡(0<θ<π)=.,解析原式==cos=.∵00,∴原式=-cosθ.,答案-cosθ,方法1三角函數的化簡與求值問題1.三角函數式的化簡原則2.三角函數式化簡的方法化簡三角函數式的常見方法有弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪,方法技巧,與升冪等.,3.三角函數式求值的基本步驟(1)先化簡所求式子或所給條件;(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系;(3)將已知條件代入所求式子,然后求值.4.三角函數式求值的基本類型(1)給角求值:①化為特殊角的三角函數值;②化為正、負相消的項,消去求值;③變形分子、分母,使其出現公約數,然后約分求值.(2)給值求值:解題的關鍵在于“變角”,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把待求三角函數值的角用含已知角的式子表示,求解時要注意角的范圍的討論.,(3)給值求角:實質上可轉化為“給值求值”問題,先求所求角的某一三角函數值,再利用該三角函數值結合所求角的范圍求得角.,例1(1)已知3π<θ<4π,且+=,則θ=()A.或B.或C.或D.或(2)sin40(tan10-)=()A.-B.-1C.D.-,解析(1)∵3π0,sin<0,∴+=+=cos-sin=cos=,∴cos=,∴+=+2kπ,k∈Z或+=-+2kπ,k∈Z,即θ=-+4kπ,k∈Z或θ=-+4kπ,k∈Z.又∵3π<θ<4π,∴θ=或.故選D.(2)sin40(tan10-)====-=-=-1.故選B.,答案(1)D(2)B,方法2利用輔助角公式解決問題的方法利用asinx+bcosx=sin(x+φ)把形如y=asinx+bcosx+k的函數化為一個角的一種三角函數的一次式,從而可以求三角函數的單調區(qū)間、周期、值域和最值、圖象的對稱軸以及對稱中心等問題.同時要牢記30,45,60等特殊角的三角函數值,合理選用公式.,例2已知函數f(x)=sin2x+sinxcosx,當x=θ時,函數y=f(x)取得最小值,則=()A.-3B.3C.-D.解題導引,解析f(x)=sin2x+sinxcosx=sin2x-cos2x+=sin+,當x=θ時,函數y=f(x)取得最小值,即2θ-=-+2kπ,k∈Z,那么2θ=2kπ-,k∈Z,則===-.故選C.,答案C,