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2019年高考數學新一輪復習 詳細分類題庫 考點17 正弦定理和余弦定理（文、理）（含詳解，13高考題） 一、選擇題 1.（xx北京高考文科Ｔ5）在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,則sinB=( ) A. B. C. D.1 【解題指南】已知兩邊及一邊的對角利用正弦定理求解。 【解析】選B。由正弦定理得。 2.（xx新課標全國Ⅱ高考文科Ｔ4）的內角的對邊分別為，已知，，，則的面積為（ ） A. B. C. D. 【解題指南】利用正弦定理和三角形的面積公式可得 【解析】選B.因為,所以.由正弦定理得，解得。所以三角形的面積為. 因為， 所以，選B. 3.（xx新課標Ⅰ高考文科Ｔ10）已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為，，，，，c=6，則（ ） A.10 B.9 C.8 D.5 【解題指南】由，利用倍角公式求出的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得的值. 【解析】選D.因為，所以，解得， 方法一:因為△ABC為銳角三角形，所以,. 由正弦定理得，. ，.又， 所以， .由正弦定理得, ，解得. 方法二:由余弦定理，，則，解得 4.（xx陜西高考文科Ｔ9）【備注：（xx陜西高考理科Ｔ7）與之題干相同】 設△ABC的內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, 若, 則△ABC的形狀為 ( ) A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不確定 【解題指南】在含有邊角關系式的三角函數恒等變形中,利用正弦定理將邊的關系式化為角的正弦式或利用余弦定理將余弦式化為邊的關系式,這是判斷三角形形狀的兩個轉化方向. 【解析】選A.因為bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A, sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形. 5.（xx安徽高考文科Ｔ9）【備注：（xx安徽高考理科Ｔ12）與之題干相同】 設△ABC的內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若b+c=2a,則3sinA=5sinB,則角C=　(　　) A. B. C. D. 【解題指南】 根據正弦定理、余弦定理進行解三角形計算。 【解析】選B.由題設條件可得，由余弦定理得 ，所以。 6. （xx山東高考文科Ｔ7）的內角的對邊分別是，若，，，則（ ） A. B. 2 C. D.1　 【解析】選B.由,則，由正弦定理知,即,所以cosA=，所以A=，，所以，所以，c=2. 7.（xx湖南高考理科Ｔ3）在銳角中，角所對的邊長分別為.若（ ） A． B． C． D． 【解題指南】本題先利用正弦定理化簡條件等式，注意條件“銳角三角形” . 【解析】選D.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以銳角A=. 8. （xx天津高考理科Ｔ6）在△ABC中, 則 = (　　) A. B. C. D. 【解題指南】先由余弦定理求AC邊長，然后根據正弦定理求值. 【解析】選C. 在△ABC中，由余弦定理得， 所以由正弦定理得即所以. 9. （xx湖南高考文科Ｔ5）在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b. 若2asinB=b，則角A等于（ ） A. B. C. D. 【解題指南】本題先利用正弦定理化簡條件等式，注意條件“銳角三角形” . 【解析】選A.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以銳角A=. 二、填空題 10.(xx浙江高考理科T16)在△ABC中,∠C=90,M是BC的中點.若,則sin∠BAC=　　　　. 【解題指南】分別在Rt△ABC和△ABM中應用勾股定理和正弦定理. 【解析】設AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM中由正弦定理得 ①, 因為, 又,,所以. 又由①得,兩邊平方化簡得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0, 所以. 【答案】 11.（xx上海高考理科T4）已知△ABC的內角A,B,C所對應邊分別為a,b,c,若3a2+2ab+3b2-3c2=0,則角C的大小是　　　　(結果用反三角函數值表示). 【解析】3a2+2ab+3b2-3c2=0?c2=a2+b2+ab,故． 【答案】 12.（xx上海高考文科T5）已知ABC的內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，則角C的大小是 . 【解析】 【答案】 三、解答題 13. （xx大綱版全國卷高考文科Ｔ18）與（xx大綱版全國卷高考理科Ｔ18）相同 設的內角，，的對邊分別為， （I）求; （II）若,求. 【解題指南】（I）由條件確定求應采用余弦定理. （II）應用三角恒等變換求出及的值，列出方程組確定的值. 【解析】（I）因為.所以. 由余弦定理得，因此. （II）由（I）知，所以 . 故或，因此或 14. （xx新課標Ⅰ高考理科Ｔ17）如圖，在中，，，，為內一點，. （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，求. 【解析】由已知得，， 所以. 在，由余弦定理得 ,故. （Ⅱ）設，由已知得， 在中，由正弦定理得，化簡得，所以，即. 15. （xx天津高考文科Ｔ16）在△ABC中, 內角A, B, C所對的邊分別是a, b, c. 已知, a = 3, . (Ⅰ) 求b的值; (Ⅱ) 求的值. 【解題指南】(Ⅰ)根據正弦定理及, a = 3求出a,c的值，再由余弦定理求b的值； (Ⅱ)根據同角三角函數的基本關系式及二倍角公式求出，，再由兩角差的正弦公式求值. 【解析】(Ⅰ) 在△ABC中，由正弦定理得，即，又由，可得，,又 a = 3，故c=1，由且可得 (Ⅱ)由，得，進而得到 所以 16.(xx浙江高考文科T18)與(xx浙江高考理科T18)相同 在銳角△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2asinB=b. (1)求角A的大小. (2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面積. 【解題指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)根據余弦定理,借助三角形的面積公式求解. 【解析】(1)由2asinB=b及正弦定理,得sinA=, 因為A是銳角,所以. (2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以, 由三角形面積公式S=bcsinA,得△ABC的面積為. 17.（xx江西高考理科Ｔ16）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知. (1)求角B的大??； (2)若，求b的取值范圍. 【解題指南】(1)借助三角形內角和為，結合三角恒等變換將條件中的等式轉化為只含B的方程，求出B的三角函數值，進而可求出角B.（2）根據（1）求出的B與，由余弦定理可得b2關于a的函數，注意到可知，進而可求出b的范圍. 【解析】（1）由已知得，即.因為，所以,又,所以,又，所以. （2）由余弦定理，有，因為，,所以，又因為，所以，即. 18. （xx江西高考文科Ｔ17）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. （1）求證：a，b，c成等差數列； （2）若C=，求的值. 【解題指南】（1）先利用二倍角公式把角2B化為角B，再進行角化邊的處理；（2）借助第（1）問的結果結合余弦定理進行求解. 【解析】(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因為sinB,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可知a+c=2b，即a，b，c成等差數列. (2) 由C=，c=2b-a及余弦定理得，即有，所以. 19.（xx北京高考理科Ｔ15）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A. (I)求cosA的值， (II)求c的值 【解題指南】（1）由條件可以看出，已知兩角關系求角，可以利用正弦定理解決問題；（2）由已知兩邊和角求第三邊，所以應用余弦定理求解。 【解析】（1）由正弦定理得，所以，， 即. （2）由余弦定理得，所以， 即，解得或（舍）。 20.(xx新課標全國Ⅱ高考理科T17)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B. (2)若b=2,求△ABC面積的最大值. 【解題指南】(1)將a=bcosC+csinB“邊化角”,化簡求得B. (2)利用角B、邊b將△ABC面積表示出來,借助均值不等式求最大值. 【解析】(1)因為a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因為sinC≠0, 所以tanB=1,解得B= (2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos,即4=a2+c2-ac,由不等式得a2+c2≥2ac,當且僅當a=c時,取等號,所以4≥(2-)ac,解得ac≤4+2,所以△ABC的面積為acsin≤(4+2)=+1.所以△ABC面積的最大值為+1.