2.4.3導數(shù)與函數(shù)的零點及參數(shù)范圍,解題策略一,解題策略二,判斷、證明或討論函數(shù)零點個數(shù)解題策略一應用單調性、零點存在性定理、數(shù)形結合判斷例1設函數(shù)f(x)=e2x-alnx.(1)討論f(x)的導函數(shù)f(x)零點的個數(shù);(2)證明當a>0時,f(x)2a+aln.難點突破(1)討論f(x)零點的個數(shù)要依據(jù)f(x)的單調性,應用零點存在性定理進行判斷.,解題策略一,解題策略二,解題策略一,解題策略二,解題心得研究函數(shù)零點或方程根的情況,可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等,并借助函數(shù)的大致圖象判斷函數(shù)零點或方程根的情況.,解題策略一,解題策略二,對點訓練1已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.(1)求a;(2)證明當k0.當x0時,g(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)單調遞增,g(-1)=k-10時,令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)單調遞減,在(2,+)單調遞增,所以g(x)>h(x)h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+)沒有實根.綜上,g(x)=0在R有唯一實根,即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.,解題策略一,解題策略二,解題策略二分類討論法例2已知函數(shù)f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(1)當a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,設函數(shù)h(x)=minf(x),g(x)(x>0),討論h(x)零點的個數(shù).難點突破(1)設切點(x0,0),依題意f(x0)=0,f(x0)=0,得關于a,x0的方程組解之.(2)為確定出h(x)對自變量x>0分類討論;確定出h(x)后對參數(shù)a分類討論h(x)零點的個數(shù),h(x)零點的個數(shù)的確定要依據(jù)h(x)的單調性和零點存在性定理.,解題策略一,解題策略二,解題策略一,解題策略二,解題策略一,解題策略二,解題策略一,解題策略二,解題心得1.如果函數(shù)中沒有參數(shù),一階導數(shù)求出函數(shù)的極值點,判斷極值點大于0小于0的情況,進而判斷函數(shù)零點的個數(shù).2.如果函數(shù)中含有參數(shù),往往一階導數(shù)的正負不好判斷,這時先對參數(shù)進行分類,再判斷導數(shù)的符號,如果分類也不好判斷,那么需要對一階導函數(shù)進行求導,在判斷二階導數(shù)的正負時,也可能需要分類.,解題策略一,解題策略二,對點訓練2已知函數(shù)f(x)=alnx+-(a+1)x,aR.(1)當a=-1時,求函數(shù)f(x)的最小值;(2)當a1時,討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù).,解題策略一,解題策略二,解題策略一,解題策略二,當00,f(x)為增函數(shù);x(a,1)時,f(x)0,f(x)為增函數(shù).所以f(x)在x=a處取極大值,f(x)在x=1處取極小值.,當0<a<1時,f(a)<0,即在x(0,1)時,f(x)0,a1).(1)當a>1時,求證:函數(shù)f(x)在(0,+)內單調遞增;(2)若函數(shù)y=|f(x)-t|-1有三個零點,求t的值.難點突破(1)先求f(x)的導函數(shù)f(x),再證明f(x)>0.(2)由題意當a>0,a1時,f(x)=0有唯一解x=0,y=|f(x)-t|-1有三個零點f(x)=t1有三個根,從而t-1=(f(x)min=f(0)=1,解得t即可.,解題策略一,解題策略二,(1)證明f(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.由于a>1,故當x(0,+)時,lna>0,ax-1>0,所以f(x)>0,故函數(shù)f(x)在(0,+)上單調遞增.(2)解當a>0,a1時,f(x)=2x+(ax-1)lna,f(x)=2+ax(lna)2>0,f(x)在R上單調遞增,因為f(0)=0,故f(x)=0有唯一解x=0.所以x,f(x),f(x)的變化情況如表所示:,又函數(shù)y=|f(x)-t|-1有三個零點,所以方程f(x)=t1有三個根,而t+1>t-1,所以t-1=f(x)min=f(0)=1,解得t=2.,解題策略一,解題策略二,解題心得在已知函數(shù)y=f(x)有幾個零點求f(x)中參數(shù)t的值或范圍問題,經(jīng)常從f(x)中分離出參數(shù)t=g(x),然后用求導的方法求出g(x)的最值,再根據(jù)題意求出參數(shù)t的值或范圍.,解題策略一,解題策略二,對點訓練3(2018廣東珠海質檢)函數(shù)f(x)=axex+lnx+x(aR).(1)若a0,試討論函數(shù)f(x)的單調性;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.,解題策略一,解題策略二,解題策略一,解題策略二,解題策略一,解題策略二,解題策略二分類討論法,解題策略一,解題策略二,解題策略一,解題策略二,解題策略一,解題策略二,解題策略一,解題策略二,解題心得在已知函數(shù)零點個數(shù)的情況下,求參數(shù)的范圍問題,通常采用分類討論法,依據(jù)題目中的函數(shù)解析式的構成,將參數(shù)分類,在參數(shù)的小范圍內研究函數(shù)零點的個數(shù)是否符合題意,將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起,即為所求參數(shù)范圍.,解題策略一,解題策略二,對點訓練4已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)討論f(x)的單調性;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.,解(1)f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).()設a0,則當x(-,1)時,f(x)0.所以f(x)在(-,1)單調遞減,在(1,+)單調遞增.,解題策略一,解題策略二,()設a-,則ln(-2a)0;當x(ln(-2a),1)時,f(x)1,故當x(-,1)(ln(-2a),+)時,f(x)>0;當x(1,ln(-2a)時,f(x)0,h(x)在(0,+)遞增;a+1>0即a>-1時,x(0,1+a)時,h(x)0,h(x)在(0,1+a)遞減,在(1+a,+)遞增,綜上,a>-1時,h(x)在(0,1+a)遞減,在(1+a,+)遞增,a-1時,h(x)在(0,+)遞增.,