第48講空間幾何體的表面積與體積,考試要求1.空間幾何體的表面積(A級(jí)要求)，體積(A級(jí)要求)；2.高考對(duì)本講內(nèi)容的考查以填空題為主.應(yīng)關(guān)注空間幾何體表面積、體積的計(jì)算問題.,1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”),(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()(3)圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.()(4)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.(),診斷自測(cè),解析如圖中的幾何體有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形，但不滿足“每相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊互相平行”，所以它不是棱柱，故(1)錯(cuò)；(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體是棱錐，故(2)錯(cuò).,答案(1)(2)(3)(4)(5),3.(2017天津卷)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_.,5.(2017全國卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為_.,6.將邊長為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得BDa，則三棱錐DABC的體積為_.,1.多面體的結(jié)構(gòu)特征,知識(shí)梳理,互相平行,全等,公共頂點(diǎn),平行于底面,相似,2.旋轉(zhuǎn)體的形成,任一邊,任一直角邊,垂直于底邊的腰,直徑,3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積,Sh,4R2,4.常用結(jié)論,考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】給出下列命題：,棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是_.,解析不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；正確，如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1ABC，四個(gè)面都是直角三角形；正確，由棱臺(tái)的概念可知.,答案,規(guī)律方法(1)解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷.(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用反例對(duì)概念類的命題進(jìn)行辨析.,【訓(xùn)練1】(1)以下命題：,以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).其中正確命題的個(gè)數(shù)為_.,(2)給出下列四個(gè)命題：有兩個(gè)側(cè)面是矩形的幾何體是直棱柱；側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體；底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正確的命題為_(填序號(hào)).,解析(1)命題錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題對(duì)；命題錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以，故正確的命題個(gè)數(shù)為1.,(2)對(duì)于，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形，故錯(cuò)；對(duì)于，對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖)，故錯(cuò)；對(duì)于，若底面不是矩形，則錯(cuò)；由線面垂直的判定，側(cè)棱垂直于底面，故正確.綜上，命題不正確.答案(1)1(2),考點(diǎn)二求空間幾何體的表面積,(2)(2018蘇州模擬)如圖，斜三棱柱ABCABC中，底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長為b，側(cè)棱AA與底面相鄰兩邊AB與AC都成45角，求此斜三棱柱的表面積.,(1)解析由題意知該六棱錐為正六棱錐，設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h.,(2)解如圖，過A作AD平面ABC于D，過D作DEAB于E，DFAC于F，,連接AE，AF，AD.則由AAEAAF，AAAA，又由題意知AEAB，AFAC，得RtAAERtAAF，AEAF，DEDF，AD平分BAC，又ABAC，BCAD，BCAA，而AABB，BCBB，四邊形BCCB是矩形，,規(guī)律方法(1)解決組合體問題關(guān)鍵是分清該幾何體是由哪些簡(jiǎn)單的幾何體組成的以及這些簡(jiǎn)單的幾何體的組合情況.(2)在求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一側(cè)面分別求解后再相加，對(duì)于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.,(1)求三棱臺(tái)的斜高；(2)求三棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積.解(1)設(shè)O1、O分別為正三棱臺(tái)ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，,在RtD1DE中，,(2)設(shè)c、c分別為上、下底的周長，h為斜高，,考點(diǎn)三空間幾何體的體積【例3】(1)(2015江蘇卷)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個(gè)若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_,(2)(2018鹽城模擬)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2cm，E為C1D1的中點(diǎn)，則三棱錐EA1BC的體積為_cm3.,規(guī)律方法空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用換底法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解,【訓(xùn)練3】如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為_.,解析如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，,考點(diǎn)四與球有關(guān)的問題【例4】(2018揚(yáng)州模擬)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為_.,解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.,規(guī)律方法空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，利用4R2a2b2c2求解.,【訓(xùn)練4】(1)已知棱長為4的正方體，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？,解(1)由題意可知，此正方體的體對(duì)角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內(nèi)切球的直徑.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r.,