2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第一講 走進追問求根公式 形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法 求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過的全部代數(shù)運算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數(shù)、何時有實根等基本問題；它展示了數(shù)學(xué)的簡潔美降次轉(zhuǎn)化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉(zhuǎn)化為)一元二次方程相關(guān)的問題，直接求解可能給解題帶來許多不便，往往不是去解這個二次方程，而是對方程進行適當(dāng)?shù)淖冃蝸泶鷵Q，從而使問題易于解決解題時常用到變形降次、整體代入、構(gòu)造零值多項式等技巧與方法【例題求解】【例1】滿足的整數(shù)n有 個思路點撥 從指數(shù)運算律、1的特征人手，將問題轉(zhuǎn)化為解方程【例2】設(shè)、是二次方程的兩個根，那么的值等于（ ）A 一4 B8 C6 D0 思路點撥 求出、的值再代入計算，則計算繁難，解題的關(guān)鍵是利用根的定義及變形，使多項式降次，如，【例3】 解關(guān)于的方程思路點撥 因不知曉原方程的類型，故需分及兩種情況討論【例4】 設(shè)方程，求滿足該方程的所有根之和 思路點撥 通過討論，脫去絕對值符號，把絕對值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程求解【例5】 已知實數(shù)、互不相等，且， 試求的值 思路點撥 運用連等式，通過迭代把、用的代數(shù)式表示，由解方程求得的值 注： 一元二次方程常見的變形形式有： (1)把方程（）直接作零值多項式代換； (2)把方程（）變形為，代換后降次；(3)把方程（）變形為或，代換后使之轉(zhuǎn)化關(guān)系或整體地消去 解合字母系數(shù)方程時，在未指明方程類型時，應(yīng)分及兩種情況討論；解絕對值方程需脫去絕對值符號，并用到絕對值一些性質(zhì)，如學(xué)歷訓(xùn)練1已知、是實數(shù)，且，那么關(guān)于的方程的根為 2已知，那么代數(shù)式的值是 3若，則的值為 4若兩個方程和只有一個公共根，則( )A B C D 5當(dāng)分式有意義時，的取值范圍是( ) A B C D且 6方程的實根的個數(shù)是( ) A0 B1 C2 D37解下列關(guān)于的方程： (1)； (2)； (3)8已知，求代數(shù)式的值9是否存在某個實數(shù)m，使得方程和有且只有一個公共的實根?如果存在，求出這個實數(shù)m及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由 注： 解公共根問題的基本策略是：當(dāng)方程的根有簡單形式表示時，利用公共根相等求解，當(dāng)方程的根不便于求出時，可設(shè)出公共根，設(shè)而不求，通過消去二次項尋找解題突破口 10若，則 11已知、是有理數(shù)，方程有一個根是，則的值為 12已知是方程的一個正根。則代數(shù)式的值為 13對于方程，如果方程實根的個數(shù)恰為3個，則m值等于( )A1 n2 C D25 14自然數(shù)滿足，這樣的的個數(shù)是( ) A2 B1 C3 D415已知、都是負(fù)實數(shù)，且，那么的值是( )A B C D16已知，求的值17已知m、n是一元二次方程的兩個根，求的值18在一個面積為l的正方形中構(gòu)造一個如下的小正方形：將正方形的各邊等分，然后將每個頂點和它相對頂點最近的分點連結(jié)起來，如圖所示，若小正方形面積為，求的值19已知方程的兩根、也是方程的根，求、的值 20如圖，銳角ABC中，PQRS是ABC的內(nèi)接矩形，且SABC=S矩形PQRS，其中為不小于3的自然數(shù)求證：需為無理數(shù)參考答案