有限元分析與應(yīng)用-習(xí)題課,2,線彈性力學(xué)靜力問題有限元法計(jì)算列式的推導(dǎo)是如何采用彈性力學(xué)問題基本方程？,答：(1)假設(shè)單元的位移場模式,(2)代入到幾何方程，得,(3)代入到物理方程，得,(5)疊加到總剛陣，得到結(jié)構(gòu)的平衡方程,3,2.圖示彈性力學(xué)平面問題，采用三角形常應(yīng)變元，,網(wǎng)格劃分如圖，試求：,(1)計(jì)算在你的結(jié)點(diǎn)編號(hào)下的系統(tǒng)剛度矩陣的半帶寬；,(2)根據(jù)圖中結(jié)構(gòu)的邊界約束狀態(tài)，指出那些結(jié)點(diǎn)自由度的,位移已知并且為何值。,解：,4,3.彈性力學(xué)有限元中，平面等參數(shù)單元中的“等參數(shù)”,概念是何意思？該單元在跨相鄰單元時(shí)，位移場連,續(xù)嗎？應(yīng)力場連續(xù)嗎？,5,4.回答下列問題：,6,4.回答下列問題：,7,5.對(duì)于平面、空間實(shí)體單元，位移有限元計(jì)算結(jié)果中，,位移和應(yīng)力解結(jié)果的精確度是相當(dāng)嗎？如果精度不相,當(dāng)，哪一個(gè)解較精確？,6.判斷（）1.對(duì)于高壓電線的鐵塔那樣的框架結(jié)構(gòu)的模型化處理使用梁單元。（）2.不能把梁單元、殼單元和實(shí)體單元混合在一起作成模型。（）3.四邊形的平面單元盡可能作成接近正方形形狀的單元。（）4.平面應(yīng)變單元也好，平面應(yīng)力單元也好，如果以單位厚度來作模型化處理的話會(huì)得到一樣的答案。,6.判斷（）5.一般應(yīng)力變化大的地方單元尺寸要?jiǎng)澋男〔藕?。（?.所謂全約束只要將位移自由度約束住，而不必約束轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。（）7.同一載荷作用下的結(jié)構(gòu)，所給材料的彈性模量越大則變形值越小。（）8.一維變帶寬存儲(chǔ)通常比二維等帶寬存儲(chǔ)更節(jié)省存儲(chǔ)量。,7.填空,1平面應(yīng)力問題與薄板彎曲問題的彈性體幾何形狀都是薄板，但前者受力特點(diǎn)是：，變形發(fā)生在板面內(nèi)；后者受力特點(diǎn)是：的力的作用，板將變成有彎有扭的曲面。2平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題都具有三個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量：，三個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量：，但對(duì)應(yīng)的彈性體幾何形狀前者為，后者為。3位移模式需反映，反映，滿足。4單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)有：，還可按節(jié)點(diǎn)分塊。5軸對(duì)稱問題單元形狀為：，由于軸對(duì)稱的特性，任意一點(diǎn)變形只發(fā)生在子午面上，因此可以作為問題處理。,平行于板面且沿厚度均布載荷作用,單元邊界上位移連續(xù),垂直于板面,x，y，xy,x，y，xy,薄板,長柱體,剛體位移,常應(yīng)變,對(duì)稱性,奇異性,二維,三角形或四邊形截面的空間環(huán)形單元,7.填空,平衡方程、物理方程、幾何方程,6等參數(shù)單元指的是：描述位移和描述坐標(biāo)采用相同的形函數(shù)形式。等參數(shù)單元優(yōu)點(diǎn)是：可以采用高階次位移模式，能夠模擬復(fù)雜幾何邊界，方便單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃Ч?jié)點(diǎn)載荷的積分運(yùn)算。,8一個(gè)空間塊體單元的節(jié)點(diǎn)有個(gè)節(jié)點(diǎn)位移：。,9變形體基本變量有;基本方程有。,10.實(shí)現(xiàn)有限元分析標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化的載體就是單元,6等參數(shù)單元指的是：。等參數(shù)單元優(yōu)點(diǎn)是：。,u，v，w,3,位移、應(yīng)變、應(yīng)力,10.實(shí)現(xiàn)有限元分析標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化的載體就是。,單元,8.選擇,（1）等參變換是指單元坐標(biāo)變換和函數(shù)插值采用_的結(jié)點(diǎn)和_的插值函數(shù)。（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同,B,8.選擇,（2）有限元位移模式中，廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)應(yīng)與_相等。（A）單元結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)（B）單元結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)（C）場變量個(gè)數(shù),B,8.選擇,（3）如果出現(xiàn)在泛函中場函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，單元的完備性是指試探函數(shù)必須至少是_完全多項(xiàng)式。（A）m-1次（B）m次（C）2m-1次,B,8.選擇,（4）與高斯消去法相比，高斯約當(dāng)消去法將系數(shù)矩陣化成了_形式，因此，不用進(jìn)行回代計(jì)算。（A）上三角矩陣（B）下三角矩陣（C）對(duì)角矩陣,C,8.選擇,（5）對(duì)分析物體劃分好單元后，_會(huì)對(duì)剛度矩陣的半帶寬產(chǎn)生影響。（A）單元編號(hào)（B）單元組集次序（C）結(jié)點(diǎn)編號(hào),C,8.選擇,（6）n個(gè)積分點(diǎn)的高斯積分的精度可達(dá)到_階。（A）n-1（B）n（C）2n-1（D）2n,C,8.選擇,（7）引入位移邊界條件是為了消除有限元整體剛度矩陣的_。（A）對(duì)稱性（B）稀疏性（C）奇異性,C,8.選擇,（8）在加權(quán)余量法中，若簡單地利用近似解的試探函數(shù)序列作為權(quán)函數(shù)，這類方法稱為_。（A）配點(diǎn)法（B）子域法（C）伽遼金法,C,8.選擇,（9）采用位移元計(jì)算得到應(yīng)力近似解與精確解相比較，一般_。（A）近似解總小于精確解（B）近似解總大于精確解（C）近似解在精確解上下震蕩（D）沒有規(guī)律,C,8.選擇,（10）對(duì)稱荷載在對(duì)稱面上引起的_分量為零。（A）對(duì)稱應(yīng)力（B）反對(duì)稱應(yīng)力（C）對(duì)稱位移（D）反對(duì)稱位移,D,9.簡答,（1）簡述有限單元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點(diǎn)。,（a）對(duì)稱性；（b）奇異性；（c）主對(duì)角元恒正；（d）稀疏性；（e）非零元素帶狀分布,9.簡答,（2）簡述有限元法中選取單元位移函數(shù)（多項(xiàng)式）的一般原則。,一般原則有:(a)廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)應(yīng)該與結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)相等；(b)選取多項(xiàng)式時(shí)，常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)的一次項(xiàng)必須完備；(c)多項(xiàng)式的選取應(yīng)由低階到高階；(d)盡量選取完全多項(xiàng)式以提高單元的精度.,9.簡答,（3）有限元法分析的目的是什么？,有限元方法分析的目的：(a)對(duì)變形體中的位移、應(yīng)力、應(yīng)變進(jìn)行定義和表達(dá)，進(jìn)而建立平衡方程、幾何方程和物理方程。(b)針對(duì)具有任意復(fù)雜幾何形狀的變形體，完整得獲取在復(fù)雜外力作用下它內(nèi)部的準(zhǔn)確力學(xué)信息。(c)力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，對(duì)設(shè)計(jì)對(duì)象進(jìn)行強(qiáng)度(strength)、剛度（stiffness）評(píng)判，修改、優(yōu)化參數(shù)。,9.簡答,（4）有限單元法分析步驟.,(a)結(jié)構(gòu)的離散化(b)選擇位移模式(c)分析單元的力學(xué)特性(d)集合所有單元平衡方程，得到整體結(jié)構(gòu)的平衡方程(e)由平衡方程求解未知節(jié)點(diǎn)位移(f)單元應(yīng)變和應(yīng)力的計(jì)算,9.簡答,（5）簡述有限單元法的收斂性準(zhǔn)則。,完備性要求如果在能量泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則有限元解收斂性條件之一是單元位移函數(shù)至少是m階完全多項(xiàng)式。(b)協(xié)調(diào)性要求如果在能量泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則位移函數(shù)在單元邊界界面上必須具有直到m-1解的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即Cm-1連續(xù)性。,9.簡答,（6）考慮下列三種改善應(yīng)力結(jié)果的方法（a）總體應(yīng)力磨平、（b）單元應(yīng)力磨平和（c）分片應(yīng)力磨平，請(qǐng)分別將它們按計(jì)算精度（高>低）和計(jì)算速度（快>慢）進(jìn)行排序。,計(jì)算精度（a）>（c）>（b）計(jì)算速度（b）>（c）>（a）,9.簡答,（a）總體應(yīng)力磨平,10.計(jì)算,如圖1所示等腰直角三角形單元，其厚度為t，彈性模量為E=1，泊松比v=0；單元的邊長a=1及結(jié)點(diǎn)編號(hào)見下圖所示。試求：(1)形函數(shù)矩陣N；(2)應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S；(3)單元?jiǎng)偠染仃嘖e。,10.計(jì)算,解：,10.計(jì)算,解：,10.計(jì)算,解：,設(shè)圖1所示的各點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)1（a，0），點(diǎn)2（a，a），點(diǎn)3（0，0）于是，可得單元的面積為,，及,（1）形函數(shù)N為,10.計(jì)算,解：,（1）形函數(shù)N為,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,10.計(jì)算,解：,（1）形函數(shù)N為,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,10.計(jì)算,解：,（1）形函數(shù)N為,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,10.計(jì)算,解：,（1）形函數(shù)N為,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,10.計(jì)算,解：,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,（1）形函數(shù)N為,（3）單元?jiǎng)偠染仃嘖e,10.計(jì)算,解：,（3）單元?jiǎng)偠染仃嘖e,11.計(jì)算,11.計(jì)算,11.計(jì)算,解：,3,（1）根據(jù)對(duì)稱性，計(jì)算模型如右圖所示。,（2）每個(gè)單元的合理局部編號(hào)，如右圖所示。所謂“合理”即使半帶寬B最?。?12.一些概念及術(shù)語理解,（1）什么是平面應(yīng)力問題？什么是平面應(yīng)變問題？,答：平面應(yīng)力問題是指薄板受平行于板面且沿厚度均布載荷作用，只有xy面上三個(gè)應(yīng)力分量x，y，xy非零。平面應(yīng)變問題是指長柱體受平行于橫截面且沿長度均布載荷作用，只有xy面上三個(gè)應(yīng)變分量x，y，xy非零。,12.一些概念及術(shù)語理解,（2）單元剖分時(shí)應(yīng)注意哪些問題？,答：規(guī)模適當(dāng)、單元形狀盡量接近正多邊形、不同材料部分劃分在不同單元、不同厚度或不同截面劃分在不同單元、集中力作用點(diǎn)及分布載荷密度變化處設(shè)置節(jié)點(diǎn)、應(yīng)力集中區(qū)域單元?jiǎng)澐置芏纫蟆⑹杳苓^渡要平緩、希望了解某處位移此處設(shè)置節(jié)點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)置節(jié)點(diǎn)。,12.一些概念及術(shù)語理解,（3）什么是位移模式？位移模式應(yīng)滿足哪些條件？,答：位移模式是在單元范圍內(nèi)的位移函數(shù)，是坐標(biāo)的函數(shù)。位移模式通常應(yīng)滿足a）反映剛體位移；b）反映常變形；c）單元邊界上位移連續(xù)，三個(gè)條件。,12.一些概念及術(shù)語理解,（4）什么是節(jié)點(diǎn)力？什么是節(jié)點(diǎn)載荷？,答：節(jié)點(diǎn)力是單元給節(jié)點(diǎn)的力或節(jié)點(diǎn)給單元的力，等于單元的彈性力；節(jié)點(diǎn)載荷是外界作用在彈性體節(jié)點(diǎn)上的力。,12.一些概念及術(shù)語理解,（5）什么是單元分析？說說單元分析的大致過程。,答：單元分析就是尋求單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。單元分析的大致過程：設(shè)定位移模式即用節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)單元內(nèi)任意一點(diǎn)位移、建立應(yīng)變與位移之間的幾何方程、建立應(yīng)力與應(yīng)變之間的物理關(guān)系、由虛功原理建立節(jié)點(diǎn)力與單元內(nèi)任意一點(diǎn)應(yīng)力之間的平衡關(guān)系，從而得到單元?jiǎng)偠确匠獭?12.一些概念及術(shù)語理解,（6）單元?jiǎng)偠染仃囉心男┨攸c(diǎn)？說說它們的物理意義。,答：單元?jiǎng)偠染仃嚲哂袑?duì)稱性、奇異性，可按節(jié)點(diǎn)分塊。對(duì)稱性反映了功的互等關(guān)系，奇異性說明單元在無約束情況下可以發(fā)生剛體位移，由于每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有相同的自由度，因此單元?jiǎng)偠染仃嚳砂垂?jié)點(diǎn)分成若干相似的子塊。,功互等定理對(duì)于線彈性體，作用在同一構(gòu)件上第一組力在第二組力引起的位移上所做的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所做的功，,12.一些概念及術(shù)語理解,（7）如何引入約束條件？,答：引入約束條件：a）對(duì)角元改1法，將剛度矩陣中有位移約束的自由度對(duì)應(yīng)的行和列對(duì)角元改為1，其它元素改為0，載荷向量中對(duì)應(yīng)元素置為已知位移值，其它載荷元素減去已知位移值與該行對(duì)應(yīng)列剛度系數(shù)之積。b）乘大數(shù)法，將剛度矩陣中有位移約束的自由度對(duì)應(yīng)的行和列對(duì)角元乘以一個(gè)非常大的數(shù)，載荷向量中對(duì)應(yīng)元素改為該大數(shù)乘以對(duì)角元?jiǎng)偠认禂?shù)再乘以已知位移值。c）降階法，將整體方程組中有位移約束的自由度對(duì)應(yīng)的行和列刪除，得到一組降階的修正方程，一般適用于手工計(jì)算。,12.一些概念及術(shù)語理解,（8）平面問題中對(duì)稱邊界條件是什么？,答：平面問題中對(duì)稱邊界條件：對(duì)稱軸上節(jié)點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸方向的位移為零。用有限元程序計(jì)算分析一結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度須提供哪些數(shù)據(jù)？a）總體信息：問題類型，單元類型，單位制等；b）幾何信息：節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，單元節(jié)點(diǎn)組成，板厚度，梁截面等；c）材料信息：彈性模量，泊松比，密度等；d）載荷信息：集中力，集中力矩，分布面力，分布體力等；e）約束信息：對(duì)稱約束，反對(duì)稱約束，固定約束等。,12.一些概念及術(shù)語理解,（9）有限元分析的大致步驟是什么？,答：首先進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散化，將無限個(gè)自由度的彈性體用有限個(gè)自由度的離散結(jié)構(gòu)模擬，再進(jìn)行單元分析，即找出單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，最后進(jìn)行整體分析，即組集總剛、引入約束、形成整體載荷向量、方程組求解。解出節(jié)點(diǎn)位移，再求單元應(yīng)力等。,12.一些概念及術(shù)語理解,（10）什么是軸對(duì)稱問題？什么是空間問題？它們的節(jié)點(diǎn)有哪幾個(gè)自由度？,答：軸對(duì)稱問題是指幾何結(jié)構(gòu)、所受載荷和約束都關(guān)于同一軸對(duì)稱的情況，可作為二維問題處理?？臻g問題指結(jié)構(gòu)幾何形狀不屬于桿、板、殼、軸對(duì)稱等特殊情況的一般塊體，由空間塊單元模擬。軸對(duì)稱問題節(jié)點(diǎn)兩個(gè)自由度：徑向、軸向位移，空間問題節(jié)點(diǎn)三個(gè)自由度：x、y、z三方向平移。,12.一些概念及術(shù)語理解,（11）軸對(duì)稱單元與平面單元有哪些區(qū)別？,答：軸對(duì)稱單元是三角形或四邊形截面的空間的環(huán)形單元，平面單元是三角形或四邊形平面單元；軸對(duì)稱單元內(nèi)任意一點(diǎn)有四個(gè)應(yīng)變分量，平面單元內(nèi)任意一點(diǎn)非零獨(dú)立應(yīng)變分量有三個(gè)。,12.一些概念及術(shù)語理解,（12）已知幾何矩陣B和彈性矩陣D，推導(dǎo)軸對(duì)稱單元的剛度矩陣。,12.一些概念及術(shù)語理解,（13）能給出解析式的解就是精確解，只能以數(shù)值方式求得解都是近似解。這種說法對(duì)不對(duì)？為什么？,答：不一定應(yīng)用解析法時(shí)，往往有很多假設(shè)條件，將很多工況理想化，所以計(jì)算結(jié)果與實(shí)際狀況往往有出入，其誤差大小與理想化條件有關(guān)，所以解析式的解也不一定是精確解。,12.一些概念及術(shù)語理解,（14）解析解的精度一定高于數(shù)值解的說法對(duì)不對(duì)？為什么？,答：不對(duì)，原因如題13，若理想化掉的情況和分析的對(duì)象相關(guān)性較大，也就是說對(duì)分析影響很大，那么在理想化后的工況下得到的結(jié)果與實(shí)際工況相差很大，此時(shí)精度還不如數(shù)值解的精度高。,12.一些概念及術(shù)語理解,（15）有限元方程求解前為什么要進(jìn)行約束處理？,答：為了消除剛體位移，使方程具有唯一解。,（16）單元節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件指的是什么？,答：各點(diǎn)位移必須單值連續(xù),12.一些概念及術(shù)語理解,（17）選擇單元位移插值函數(shù)是否要包含剛體位移？,答：位移插值函數(shù)的收斂性（完備性）要求：位移插值函數(shù)必須包含常應(yīng)變狀態(tài)位移插值函數(shù)必須包含剛體位移,（18）形函數(shù)有什么重要性質(zhì)？,答:1)相關(guān)節(jié)點(diǎn)處的值為1，不相關(guān)節(jié)點(diǎn)處的值為0(正交性）2)形函數(shù)之和恒等于1（正規(guī)性）,12.一些概念及術(shù)語理解,（19）有限元應(yīng)用中根據(jù)什么構(gòu)造形函數(shù)？,答：形函數(shù)的性質(zhì),（20）三角形平面單元是常應(yīng)變單元，所以單元內(nèi)部各點(diǎn)的位移是相同的對(duì)嗎？為什么？,答:不對(duì)，應(yīng)變是位移的導(dǎo)數(shù)。,12.一些概念及術(shù)語理解,（21）幾何矩陣B表示的是什么關(guān)系？,答：B不是常矩陣，各元素均為r、s的函數(shù)。在單元內(nèi)不同點(diǎn)上B元素的值也不同，要計(jì)算那個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力，在單元分析是就要同時(shí)給出該點(diǎn)處的B.要計(jì)算多個(gè)點(diǎn)，就要給出多個(gè)B。,（22）單元的協(xié)調(diào)性指的是什么、滿足什么條件的單元是協(xié)調(diào)單元？,答:單元的協(xié)調(diào)性（連續(xù)性），指相鄰單元公共邊界處位移的連續(xù)性條件。滿足連續(xù)性條件的，稱為協(xié)調(diào)單元，反之稱為不協(xié)調(diào)單元。,12.一些概念及術(shù)語理解,（23）單元?jiǎng)偠染仃囉惺裁刺攸c(diǎn)？,答：單元?jiǎng)偠染仃嚲哂姓ㄐ?、奇異性和?duì)稱性三個(gè)重要特性。,（24）單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x是什么？,答:其正定性的物理意義是位移與載荷方向一致；奇異性是說單元含有剛體位移；對(duì)稱性是說單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣，程序設(shè)計(jì)時(shí)可充分使用。,