2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 文考點直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.(xx遼寧,20,12分)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當(dāng)該三角形面積最小時,切點為P(如圖).(1)求點P的坐標(biāo);(2)焦點在x軸上的橢圓C過點P,且與直線l:y=x+交于A,B兩點.若PAB的面積為2,求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析(1)設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則切線斜率為-,切線方程為y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4.此時,兩個坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S=,由+=42x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=時x0y0有最大值,即S有最小值,因此點P的坐標(biāo)為(,).(2)設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),點A(x1,y1),B(x2,y2).由點P在C上知+=1,并由得b2x2+4x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此由y1=x1+,y2=x2+,得|AB|=|x1-x2|=.由點P到直線l的距離為及SPAB=|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,從而所求C的方程為+=1.2.(xx陜西,20,13分)已知橢圓+=1(a>b>0)經(jīng)過點(0,),離心率為,左,右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0).(1)求橢圓的方程;(2)若直線l:y=-x+m與橢圓交于A,B兩點,與以F1F2為直徑的圓交于C,D兩點,且滿足=,求直線l的方程.解析(1)由題設(shè)知解得a=2,b=,c=1,橢圓的方程為+=1.(2)由(1)知,以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1,圓心到直線l的距離d=,由d<1得|m|<.(*)|CD|=2=2=.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-mx+m2-3=0,由根與系數(shù)關(guān)系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.|AB|=.由=得=1,解得m=,滿足(*).直線l的方程為y=-x+或y=-x-.3.(xx湖北,22,14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點M到點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)斜率為k的直線l過定點P(-2,1).求直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應(yīng)取值范圍.解析(1)設(shè)點M(x,y),依題意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化簡整理得y2=2(|x|+x).故點M的軌跡C的方程為y2=(2)在點M的軌跡C中,記C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),依題意,可設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+2).由方程組可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(i)當(dāng)k=0時,y=1.把y=1代入軌跡C的方程,得x=.故此時直線l:y=1與軌跡C恰好有一個公共點.(ii)當(dāng)k0時,方程的判別式為=-16(2k2+k-1).設(shè)直線l與x軸的交點為(x0,0),則由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.若由解得k<-1或k>,即當(dāng)k(-,-1)時,直線l與C1沒有公共點,與C2有一個公共點,故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點.若或由解得k或-k<0,即當(dāng)k時,直線l與C1只有一個公共點,與C2有一個公共點.當(dāng)k時,直線l與C1有兩個公共點,與C2沒有公共點.故當(dāng)k時,直線l與軌跡C恰好有兩個公共點.若由解得-1<k<-或0<k<,即當(dāng)k時,直線l與C1有兩個公共點,與C2有一個公共點,故此時直線l與軌跡C恰好有三個公共點.綜合(i)(ii)可知,當(dāng)k(-,-1)0時,直線l與軌跡C恰好有一個公共點;當(dāng)k時,直線l與軌跡C恰好有兩個公共點;當(dāng)k時,直線l與軌跡C恰好有三個公共點.4.(xx山東,21,14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,直線y=x被橢圓C截得的線段長為.(1)求橢圓C的方程;(2)過原點的直線與橢圓C交于A,B兩點(A,B不是橢圓C的頂點).點D在橢圓C上,且ADAB,直線BD與x軸、y軸分別交于M,N兩點.(i)設(shè)直線BD,AM的斜率分別為k1,k2.證明存在常數(shù)使得k1=k2,并求出的值;(ii)求OMN面積的最大值.解析(1)由題意知=,可得a2=4b2,橢圓C的方程可簡化為x2+4y2=a2.將y=x代入可得x=,因此=,可得a=2.因此b=1,所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)(i)設(shè)A(x1,y1)(x1y10),D(x2,y2),則B(-x1,-y1),因為直線AB的斜率kAB=,又ABAD,所以直線AD的斜率k=-.設(shè)直線AD的方程為y=kx+m,由題意知k0,m0.由可得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0.所以x1+x2=-,因此y1+y2=k(x1+x2)+2m=.由題意知x1-x2,所以k1=-=.所以直線BD的方程為y+y1=(x+x1).令y=0,得x=3x1,即M(3x1,0).可得k2=-.所以k1=-k2,即=-.因此存在常數(shù)=-使得結(jié)論成立.(ii)直線BD的方程為y+y1=(x+x1),令x=0,得y=-y1,即N.由(i)知M(3x1,0),可得OMN的面積S=3|x1|y1|=|x1|y1|.因為|x1|y1|+=1,當(dāng)且僅當(dāng)=|y1|=時等號成立,此時S取得最大值,所以O(shè)MN面積的最大值為.5.(xx大綱全國,22,12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l與C相交于M、N兩點,且A、M、B、N四點在同一圓上,求l的方程.解析(1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由題設(shè)得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程為y2=4x.(5分)(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中點為D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率為-m,所以l的方程為x=-y+2m2+3.將上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4).則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中點為E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四點在同一圓上等價于|AE|=|BE|=|MN|,從而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+=,化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)