2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第八講 由常量數(shù)學到變量數(shù)學 數(shù)學漫長的發(fā)展歷史大致歷經四個時期：以自然數(shù)、分數(shù)體系形成的萌芽期；以代數(shù)符號體系形成的常量數(shù)學時期；以函數(shù)概念產生的變量數(shù)學時期；以集合論為標志的現(xiàn)代數(shù)學時期 函數(shù)是數(shù)學中最重要的概念之一，它是變量數(shù)學的標志，“函數(shù)”是從量的側面去描述客觀世界的運動變化、相互聯(lián)系，從量的側面反映了客觀世界的動態(tài)和它們的相互制約性 函數(shù)的基本知識有：與平面直角坐標系相關的概念、函數(shù)概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)圖象概念及畫法 在坐標平面內，由點的坐標找點和由點求坐標是“數(shù)”與“形”相互轉換的最基本形式點的坐標是解決函數(shù)問題的基礎，函數(shù)解析式是解決函數(shù)問題的關鍵，所以，求點的坐標、探求函數(shù)解析式是研究函數(shù)的兩大重要課題【例題求解】【例1】 在平面直角坐標系內，已知點A(2，2)，B(2，-3)，點P在y軸上，且APB為直角三角形，則點P的個數(shù)為 思路點撥 先在直角坐標平面內描出A、B兩點，連結AB，因題設中未指明APB的哪個角是直角，故應分別就A、B、C為直角來討論，設點P(0，x)，運用幾何知識建立x的方程注： 點的坐標是數(shù)與形結合的橋梁，求點的坐標的基本方法有： (1)利用幾何計算求； (2)通過解析式求；(3)解由解析式聯(lián)立的方程組求【例2】 如圖，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽水槽中水面上升高度與注水時間之間的函數(shù)關系，大致是下列圖象中的( ) 思路點撥 向燒杯注水需要時間，并且水槽中水面上升高注： 實際生活中量與量之間的關系可以形象地通過圖象直觀地表現(xiàn)出來，如心電圖、，股市行情走勢圖等，圖象中包含著豐富的圖象信息，要善于從圖象的形狀、位置、發(fā)展變化趨勢等有關信息中獲得啟示【例3】 南方A市欲將一批容易變質的水果運往B市銷售，共有飛機、火車、汽車三種運輸方式，現(xiàn)只可選擇其中的一種，這三種運輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示：運輸工具途中速度(千米時) 途中費用(元千米)裝卸費用(元)裝卸時間(小時)飛機2001610002火車1004xx4汽車50810002 若這批水果在運輸(包括裝卸)過程中的損耗為200元/小時，記A、B兩市間的距離為x千米 (1)如果用Wl、W2、W3分別表示使用飛機、火車、汽車運輸時的總支出費用(包括損耗)，求出Wl、W2、W3與小x間的函數(shù)關系式 (2)應采用哪種運輸方式，才使運輸時的總支出費用最小? 思路點撥 每種運輸工具總支出費用途中所需費用(含裝卸費用)+損耗費用；總支出費用隨距離變化而變化，由WlW20，W2一W3=0，先確定自變量的特定值，通過討論選擇最佳運輸方式【例4】 已知在菱形ABCD中，BAD60，把它放在直角坐標系中，使AD邊在y軸上，點C的坐標為(2，8) (1)畫出符合題目條件的菱形與直角坐標系； (2)寫出A、B兩點的坐標；(3)設菱形ABCD的對角線交點為P問：在y軸上是否存在一點F，使得點P與點F關于菱形ABCD的某條邊所在的直線對稱，如果存在，寫出點F的坐標；如果不存在，請說明理由 思路點撥 (1)關鍵是探求點A是在y軸正半軸上、負半軸上還是坐標原點，只須判斷COy與CAD的大??；(2)利用解直角三角形求A，B兩點坐標；(3)設軸上存在點F(0，y)，則P與F只可能關于直線DC對稱注：建立函數(shù)關系式，實際上都是根據(jù)具體的實際問題和一些特殊的關系、數(shù)據(jù)而抽象、歸納建立函數(shù)的模型 【例5】 如圖，已知在RtABC中，B90，BC4cm，AB8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點，若P為AB邊上的一個動點，PQBC，且交AC于點Q，以PQ為一邊，在點A的右側作正方形PQMN，記PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y (1)當AP3cm時，求的值； (2)設AP=cm時，求y與x的函數(shù)關系式； (3)當y=2cm2，試確定點P的位置(xx年天津市中考題)思路點撥 對于(2)，由于點P的位置不同，y與x之間存在不同的函數(shù)關系，故需分類討論；對于(3)，由相應函數(shù)解析式求x值注：確定幾何元素間的函數(shù)關系式，首先是借助幾何知識與方法把相應線段用自變量表示，再代入相應的等量關系式，需要注意的是： (1)當圖形運動導致圖形之間位置發(fā)生變化，需要分類討論； (2)確定自變量的幾何意義，常用到運動變化、考慮極端情形、特殊情形等思想方法學力訓練1 如圖，在直角坐標系中，已知點A(4，0)、B(4，4)，OAB90，有直角三角形與RtABO全等且以AB為公共邊，請寫出這些直角三角形未知頂點的坐標 2在直角坐標系中有兩點A(4，0)，B(0，2)，如果點C在x軸上(C與A不重合)，當點C的坐標為 時，使得由點B、O、C組成的三角形與AOB相似(至少找出兩個滿足條件的點的坐標) 3根據(jù)指令S，A(S0，0<A<180)，機器人在平面上能完成下列動作：先原地逆時針旋轉角度A，再朝其面對的方向沿直線行走距離S現(xiàn)機器人在直角坐標系的坐標原點，且面對x軸的正方向，(1)若給機器人下了一個指令4，60，則機器人應移動到點 ；(2)請你給機器人下一個指令 ，使其移動到點(一5，5) 4如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸的夾角為60，且點A的坐標為(一2，0)，點B在x軸上方，設AB，那么點B的橫坐標為( ) A B C D 5一天，小軍和爸爸去登山，已知山腳到山頂?shù)穆烦虨?00米，小軍先走了一段路程，爸爸才開始出發(fā)圖中兩條線段分別表示小軍和爸爸離開山腳登山的路程(米)與登山所用的時間(分鐘的關系)(從爸爸開始登山時計時)，根據(jù)圖象，下列說法錯誤的是( ) A爸爸登山時，小軍已走了50米 B爸爸走了5分鐘，小軍仍在爸爸的前面 C小軍比爸爸晚到山頂 D爸爸前10分鐘登山的速度比小軍慢，10分鐘之后登山的速度比小軍快6若函數(shù)的自變量的取值范圍為一切實數(shù)，則的取值范圍是( ) Am<l Bm=1 C m>l Dm17如圖，在直角坐標系中，已知點A(4，0)、點B(0，3)，若有一個直角三角形與RtABO全等，且它們有一條公共邊，請寫出這個直角三角形未知頂點的坐標(不必寫出計算過程)8如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設矩形地面，請觀察下列圖形并解答有關問題：（1）設鋪設地面所用瓷磚的總塊數(shù)為，請寫出與(表示第個圖形)的函數(shù)關系式；(2)按上述鋪設方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時的值；(3)若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題(2)中，共需花多少元錢購買瓷磚? (4)是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等情形?請通過計算說明為什么?9如圖，在平面直角坐標系中有一個正方形ABCD，它的4個頂點為A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，則該正方形內及邊界上共有 個整點(即縱橫坐標都是整數(shù)的點)10如圖，已知邊長為l的正方形OABC在直角坐標系中，A、B兩點在第一象限內，OA與軸的夾角為30，那么點B的坐標是 11如圖，一個粒子在第一象限運動，在第一分鐘內它從原點運動到(1，0)，而后它接著按圖所示在與軸、軸平行的方向上來回運動，且每分鐘移動1個單位長度，那么在1989分鐘后這個粒子所處位置為 12在直角坐標系中，已知A(1，1)，在軸上確定點P，使AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有( ) A1個 B2個 C 3個 D4個 13已知點P的坐標是(l，)，這里、是有理數(shù)，PA、PB分別是點P到軸和軸的垂線段，且矩形OAPB的面積為，則P點可能出現(xiàn)的象限有（ ） A1個 B2個 C3個 D4個 14甲、乙二人同時從A地出發(fā)，沿同一條道路去B地，途中都使用兩種不同的速度Vl與V2(Vi<V2)，甲用一半的路程使用速度Vl、另一半的路程使用速度V2；關于甲乙二人從A地到達B地的路程與時間的函數(shù)圖象及關系，有圖中4個不同的圖示分析其中橫軸表示時間，縱軸表示路程，其中正確的圖示分析為( ) A圖(1) B圖(1)或圖(2) C圖(3) D圖(4) 15依法納稅是每個公民應盡的義務中華人民共和國個人所得稅法規(guī)定，公民每月工資、薪金收入不超過800元，不需交稅；超過800元的部分為全月應納稅所得額，都應交稅，且根據(jù)超過部分的多少按不同的稅率交稅，詳細的稅率如下表：級別全月應納稅所得額稅率()1不超過500元部分52超過500元至xx元部分103超過xx元至5000元部分15(1)某公民xx年10月的總收人為1350元，問他應交稅款多少元?(2)設表示每月收入(單位：元)，表示應交稅款(單位：元)，當1300<x2800時，請寫出關于的函數(shù)關系式；(3)某企業(yè)高級職員xx年11月應交稅款55元，問該月他的總收入是多少元? 16如圖，在ABC中，C90，AC3，BC4，點D是AB上任意一點(A、B兩點除外)，過D作AB垂線與ABC的直角邊相交于E，設AD=，ADE的面積為，當點D在AB上移動時，求關于之間的函數(shù)關系式17現(xiàn)計劃把甲種貨物1240噸和乙種貨物880噸用一列貨車運往某地，已知這列貨車掛有A、B兩種不同規(guī)格的貨車廂共40節(jié)，使用A型車廂每節(jié)費用6000元，使用月型車廂每節(jié)費用為8000元(1)設運送這批貨物的總費用為萬元，這列貨車掛A型車廂節(jié)，試寫出與之間的函數(shù)關系式； (2)如果每節(jié)A型車廂最多可裝甲種貨物35噸和乙種貨物15噸，每節(jié)月型B車廂最多可裝甲種貨物25噸和乙種貨物35噸，裝貨時按此要求安排A、B兩種車廂的節(jié)數(shù)，那么共有哪幾種安排車廂的方案? (3)在上述方案中，哪個方案運費最高?最少運費為多少元? 18如圖，梯形OABC中，O為直角坐標系的原點，A、B、C的坐標分別為(14，0)，(14，3)，(4，3)點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位；點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點中有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動 (1)設從出發(fā)起運動了秒，如果點Q的速度為每秒2個單位，試分別寫出這時點Q在OC上或在CB上時的坐標(用含的代數(shù)式表示)；(2)設從出發(fā)起運動了秒，如果點P與點Q所經過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半，試用含的代數(shù)式表示這時點Q所經過的路程和它的速度；試問：這時直線PQ是否可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分?如有可能，求出相應的的值和P、Q的坐標；如不可能，請說明理由 參考答案