2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十七講 動態(tài)幾何問題透視 春去秋來，花開花落，物轉(zhuǎn)星移，世間萬物每時每刻都處于運(yùn)動變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化中，事物的本質(zhì)特征只有在運(yùn)動中方能凸現(xiàn)出來 動態(tài)幾何問題，是指以幾何知識和圖形為背景，滲入運(yùn)動變化觀點的一類問題，常見的形式是：點在線段或弧線上運(yùn)動、圖形的翻折、平移、旋轉(zhuǎn)等，解這類問題的基本策略是： 1動中覓靜 這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系，動中覓靜就是在運(yùn)動變化中探索問題中的不變性 2動靜互化 “靜”只是“動”的瞬間，是運(yùn)動的一種特殊形式，動靜互化就是抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動”與“靜”的關(guān)系 3以動制動 以動制動就是建立圖形中兩個變量的函數(shù)關(guān)系，通過研究運(yùn)動函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀點來研究變動元素的關(guān)系注：幾何動態(tài)既是一類問題，也是一種觀點與思維方法，運(yùn)用幾何動態(tài)的觀點，可以把表面看來不同的定理統(tǒng)一起來，可以找到探求幾何中的最值、定值等問題的方法；更一般情況是，對于一個數(shù)學(xué)問題，努力去發(fā)掘更多結(jié)論，不同解法，通過弱化或強(qiáng)化條件來探討結(jié)論的狀況等，這就是常說的“動態(tài)思維” 【例題求解】【例1】 如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線上，按順時針方向在上轉(zhuǎn)動兩次，使它轉(zhuǎn)到ABC的位置，設(shè)BC=1，AC=，則頂點A運(yùn)動到點A的位置時，點A經(jīng)過的路線與直線所圍成的面積是 思路點撥 解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)動的圖形準(zhǔn)確分割RtABC的兩次轉(zhuǎn)動，頂點A所經(jīng)過 的路線是兩段圓弧，其中圓心角分別為120和90，半徑分別為2和，但該路線與直線所圍成的面積不只是兩個扇形面積之和【例2】如圖，在O中，P是直徑AB上一動點，在AB同側(cè)作AAAB，BBAB，且AA=AP，BB=BP，連結(jié)AB，當(dāng)點P從點A移到點B時，AB的中點的位置( ) A在平分AB的某直線上移動 B在垂直AB的某直線上移動 C在AmB上移動 D保持固定不移動 思路點撥 畫圖、操作、實驗，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律【例3】 如圖，菱形OABC的長為4厘米，AOC60，動點P從O出發(fā)，以每秒1厘米的速度沿OAB路線運(yùn)動，點P出發(fā)2秒后，動點Q從O出發(fā)，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿OAB路線運(yùn)動，過P、Q兩點分別作對角線AC的平行線設(shè)P點運(yùn)動的時間為秒，這兩條平行線在菱形上截出的圖形(圖中的陰影部分)的周長為厘米，請你回答下列問題： (1)當(dāng)=3時，的值是多少? (2)就下列各種情形： 02；24；46；68求與之間的函數(shù)關(guān)系式 (3)在給出的直角坐標(biāo)系中，用圖象表示(2)中的各種情形下與的關(guān)系 思路點撥 本例是一個動態(tài)幾何問題，又是一個“分段函數(shù)”問題，需運(yùn)用動態(tài)的觀點，將各段分別討論、畫圖、計算注：動與靜是對立的，又是統(tǒng)：一的，無論圖形運(yùn)動變化的哪一類問題，都真實地反映了現(xiàn)實世界中數(shù)與形的變與不變兩個方面，從辯證的角度去觀察、探索、研究此類問題，是一種重要的解題策略建立運(yùn)動函數(shù)關(guān)系就更一般地、整體-地把握了問題，許多相關(guān)問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值或自變量的值 【例4】 如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩點E、F，分別從點B、點A同時出發(fā)，點E沿線段BA以1m秒的速度向點A運(yùn)動，點F沿折線ADC以2cm秒的速度向點C運(yùn)動，設(shè)點E離開點B的時間為2 (秒) (1)當(dāng)為何值時，線段EF與BC平行? (2)設(shè)1<<2，當(dāng)為何值時，EF與半圓相切? (3)當(dāng)1<2時，設(shè)EF與AC相交于點P，問點E、F運(yùn)動時，點P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請給予證明，并求AP：PC的值 思路點撥 動中取靜，根據(jù)題意畫出不同位置的圖形，然后分別求解，這是解本例的基本策略，對于(1)、(2)，運(yùn)用相關(guān)幾何性質(zhì)建立關(guān)于的方程；對于(3)，點P的位置是否發(fā)生變化，只需看是否為一定值注：動態(tài)幾何問題常通過觀察、比較、分析、歸納等方法尋求圖形中某些結(jié)論不變或變化規(guī)律，而把特定的運(yùn)動狀態(tài)，通過代數(shù)化來定量刻畫描述也是解這類問題的重要思想【例5】 O1與O2相交于A、B兩點；如圖(1)，連結(jié)O2 O1并延長交O1于P點，連結(jié)PA、PB并分別延長交O2于C、D兩點，連結(jié)C O2并延長交O2于E點已知O2的半徑為R，設(shè)CAD= (1)求：CD的長(用含R、的式子表示)； (2)試判斷CD與PO1的位置關(guān)系，并說明理由； (3)設(shè)點P為O1上(O2外)的動點，連結(jié)PA、PB并分別延長交O2于C、D，請你探究CAD是否等于? CD與POl的位置關(guān)系如何?并說明理由 思路點撥 對于(1)、(2)，作出圓中常見輔助線；對于(3)，P點雖為OOl上的一個動點，但O1、O2一些量(如半徑、AB)都是定值或定弧，運(yùn)用圓的性質(zhì)，把角與孤聯(lián)系起來 學(xué)力訓(xùn)練1如圖， ABC中，C=90，AB=12cm，ABC=60，將ABC以點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到AB延長線上的D處，則AC邊掃過的圖形的面積是 cm (=3.14159，最后結(jié)果保留三個有效數(shù)字) 2如圖，在Rt ABC中，C=90，A=60，AC= cm，將ABC繞點B旋轉(zhuǎn)至ABC的位置，且使A、B、C三點在同一條直線上，則點A經(jīng)過的最短路線的長度是 cm 3一塊等邊三角形的木板，邊長為l，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾，那么B點從開始至結(jié)束走過的路徑長度為( ) A B C4 D 4把ABC沿AB邊平移到ABC的位置，它們的重疊部分的面積是ABC的面積的一半，若AB=，則此三角形移動的距離AA是( ) A B C1 D 5如圖，正三角形ABC的邊長為6厘米，O的半徑為r厘米，當(dāng)圓心O從點A出發(fā)，沿著線路ABBCCA運(yùn)動，回到點A時，O隨著點O的運(yùn)動而移動 (1)若r=厘米，求O首次與BC邊相切時AO的長； (2)在O移動過程中，從切點的個數(shù)來考慮，相切有幾種不同的情況?寫出不同的情況下，r的取值范圍及相應(yīng)的切點個數(shù)； (3)設(shè)O在整個移動過程中，在ABC內(nèi)部，O未經(jīng)過的部分的面積為S，在S>0時，求關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍 6已知：如圖，O韻直徑為10，弦AC=8，點B在圓周上運(yùn)動(與A、C兩點不重合)，連結(jié)BC、BA，過點C作CDAB于D設(shè)CB的長為，CD的長為 (1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)以BC為直徑的圓與AC相切時，求的值； (2)在點B運(yùn)動的過程中，以CD為直徑的圓與O有幾種位置關(guān)系，并求出不同位置時 的取值范圍； (3)在點B運(yùn)動的過程中，如果過B作BEAC于E，那么以BE為直徑的圓與O能內(nèi)切嗎?若不能，說明理由；若能，求出BE的長 7如圖，已知A為POQ的邊OQ上一點，以A為頂點的MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點，且MAN=POQ=(為銳角)當(dāng)MAN以點A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從與AO重合的位置開始，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)(MAN保持不變)時，M、N兩點在射線OP上同時以不同的速度向右平移移動設(shè)OM=，ON= (>0)，AOM的面積為S，若cos、OA是方程的兩個根 (1)當(dāng)MAN旋轉(zhuǎn)30(即OAM=30)時，求點N移動的距離； (2)求證：AN2=ONMN； (3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍； (4)試寫出S隨變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定S的取值范圍 8已知：如圖，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=3cm，C60，BDCD (1)求BC、AD的長度； (2)若點P從點B開始沿BC邊向點C以2cms的速度運(yùn)動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以1cms的速度運(yùn)動，當(dāng)P、Q分別從B、C同時出發(fā)時，寫出五邊形ABPQD的面積S與運(yùn)動時間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍(不包含點P在B、C兩點的情況)； (3)在(2)的前提下，是否存在某一時刻，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由 9已知：如圖，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BFnAE(n是正整數(shù))的關(guān)系，分別在兩鄰邊長、的矩形ABCD各邊上運(yùn)動 設(shè)AE=，四邊形EFGH的面積為S (1)當(dāng)n=l、2時，如圖、，觀察運(yùn)動情況，寫出四邊形EFGH各頂點運(yùn)動到何位置，使? (2)當(dāng)n=3時，如圖，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量的取值范圍)，探索S隨增大而變化的規(guī)律；猜想四邊形EFGH各頂點運(yùn)動到何位置，使； (3)當(dāng)n=k (k1)時，你所得到的規(guī)律和猜想是否成立?請說明理由 10如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點E從O點出發(fā)，以1個單位秒的速度沿軸正方向運(yùn)動，點F從O點出發(fā)，以2個單位秒的速度沿軸正方向運(yùn)動，B(4，2)，以BE為直徑作O1 (1)若點E、F同時出發(fā)，設(shè)線段EF與線段OB交于點G，試判斷點G與O1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)在(1)的條件下，連結(jié)FB，幾秒時FB與O1相切? (3)如圖2，若E點提前2秒出發(fā)，點F再出發(fā)，當(dāng)點F出發(fā)后，E點在A點左側(cè)時，設(shè)BA軸于A點，連結(jié)AF交O1于點P，試問PAFA的值是否會發(fā)生變化?若不變，請說明理由，并求其值；若變化，請求其值的變化范圍 參考答案