2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第五講 一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，在各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，一元二次方程的整數(shù)解問(wèn)題一直是個(gè)熱點(diǎn)，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識(shí)相結(jié)合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強(qiáng)，備受關(guān)注，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問(wèn)題的基本策略有： 從求根入手，求出根的有理表達(dá)式，利用整除求解； 從判別式手，運(yùn)用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設(shè)=)，通過(guò)窮舉，逼近求解； 從韋達(dá)定理入手，從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù)，得到關(guān)于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解； 從變更主元入人，當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時(shí)，可考慮以參數(shù)為主元求解注：一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題，既涉及方程的解法、判別式、韋達(dá)定理等與方程相關(guān)的知識(shí)，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識(shí)密切相關(guān)【例題求解】【例1】若關(guān)于的方程的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)是的值有 個(gè)思路點(diǎn)撥 用因式分解法可得到根的簡(jiǎn)單表達(dá)式，因方程的類(lèi)型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準(zhǔn)確注：系數(shù)含參數(shù)的方程問(wèn)題，在沒(méi)有指明是二次方程時(shí)，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問(wèn)題的題設(shè)條件，看是否要分類(lèi)討論【例2】 已知、為質(zhì)數(shù)且是方程的根，那么的值是( ) A B C D 思路點(diǎn)撥 由韋達(dá)定理、的關(guān)系式，結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出、的值 【例3】 試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根 思路點(diǎn)撥 由于方程的類(lèi)型未確定，所以應(yīng)分類(lèi)討論當(dāng)時(shí)，由根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于r的兩個(gè)等式，消去r，利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根【例4】 當(dāng)為整數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由 思路點(diǎn)撥 整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù)設(shè)=(為整數(shù))解不定方程，討論的存在性注：一元二次方程 (a0)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而=為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件【例5】 若關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根，求非負(fù)整數(shù)的值思路點(diǎn)撥 因根的表示式復(fù)雜，從韋達(dá)定理得出的的兩個(gè)關(guān)系式中消去也較困難，又因的次數(shù)低于的次數(shù)，故可將原方程變形為關(guān)于的一次方程 學(xué)歷訓(xùn)練1已知關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有 2已知方程有兩個(gè)質(zhì)數(shù)解，則m 3給出四個(gè)命題：整系數(shù)方程(a0)中，若為一個(gè)完全平方數(shù)，則方程必有有理根；整系數(shù)方程(a0)中，若方程有有理數(shù)根，則為完全平方數(shù)；無(wú)理數(shù)系數(shù)方程(a0)的根只能是無(wú)理數(shù)；若、均為奇數(shù)，則方程沒(méi)有有理數(shù)根，其中真命題是 4已知關(guān)于的一元二次方程 (為整數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則= 5設(shè)rn為整數(shù)，且4<m<40，方程有兩個(gè)整數(shù)根，求m的值及方程的根6已知方程 (a0)至少有一個(gè)整數(shù)根，求的值7求使關(guān)于的方程的根都是整數(shù)的值 8當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程的兩根均為質(zhì)數(shù)，試解此方程9設(shè)關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)，試求滿(mǎn)足條件的所有實(shí)數(shù)的值 10試求所有這樣的正整數(shù)，使得方程至少有一個(gè)整數(shù)解 11已知為質(zhì)數(shù)，使二次方程的兩根都是整數(shù)，求出的所有可能值 12已知方程及分別各有兩個(gè)整數(shù)根、及、，且 >0， >0(1)求證：<0,<0，<0,< 0；(2)求證：；(3)求、所有可能的值13如果直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，且是方程的根(為整數(shù))，這樣的直角三角形是否存在?若存在，求出滿(mǎn)足條件的所有三角形的三邊長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 參考答案