2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 15.2.2《完全平方公式》課堂教學(xué)實(shí)錄 新人教版 【情境導(dǎo)入】 師：同學(xué)們好！ 生：老師好！ 師：我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)了平方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2，根據(jù)乘方的定義，我們知道：a2=aa，那么（a+b）2 應(yīng)該寫成什么樣的形式呢？（a+b）2的運(yùn)算結(jié)果有什么規(guī)律？計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______； （m+2）2=_______； （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________； （m-2）2=_______； 〖評(píng)析〗學(xué)生探究，分組討論，交流問題并發(fā)表見解．小組交流然后匯總． 生： （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2）=m2-4m+4 師：你回答的很好！仔細(xì)觀察每個(gè)式子．結(jié)果有幾項(xiàng)？ 生：老師，三項(xiàng)． 師：你說(shuō)的很對(duì)，這三項(xiàng)有規(guī)律嗎？ 生：有，其中兩項(xiàng)是括號(hào)里面兩個(gè)單項(xiàng)式的完全平方和． 師：很棒，還有一項(xiàng)呢？好，你來(lái)說(shuō)說(shuō)看． 生：還有一項(xiàng)恰好是兩個(gè)單項(xiàng)式的乘積的二倍，2p=2p1，4m=2m2． 師：對(duì)，我們結(jié)果的三項(xiàng)是有規(guī)律可尋的，其中兩項(xiàng)是括號(hào)里面兩個(gè)單項(xiàng)式的完全平方和，還有一項(xiàng)恰好是兩個(gè)單項(xiàng)式的乘積的二倍。 生：老師，我還發(fā)現(xiàn) (1)與 (2)比較只有一次項(xiàng)有符號(hào)之差。 師：很好，仔細(xì)觀察， 如果是兩個(gè)單項(xiàng)式之和的話，平方后兩個(gè)單項(xiàng)式的乘積的二倍結(jié)果就是正，如果是兩個(gè)單項(xiàng)式之差的話，平方后兩個(gè)單項(xiàng)式的乘積的二倍結(jié)果就是負(fù)． 師：（頷首微笑）同學(xué)們觀察得真仔細(xì)! 〖評(píng)析〗提醒同學(xué)，在我們的學(xué)習(xí)中，蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)問題，有許多的數(shù)字問題還在等著我們，我們應(yīng)當(dāng)主動(dòng)去尋找問題，并用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決一個(gè)一個(gè)的問題。 【探索新知】 師：一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，因需要將其邊長(zhǎng)增加b米，形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種。四塊面積分別為多少呢? 生：分別是a2，b2，ab，ab． 師：（皺眉）同學(xué)們，整體看，大正方形的邊長(zhǎng)是多少呢？面積呢？ 生：（自信地）邊長(zhǎng)是a＋b，面積是（a＋b）2． 師：部分看,四塊面積的和S是多少呢? 生：（自信地）a2+b2+ab+ab= a2+ 2ab + b2． 師：（征求其他同學(xué)意見）大家覺得他說(shuō)的對(duì)不對(duì)呀？ 生：（鼓掌同意）真好！ 師：（試探）通過以上探索你發(fā)現(xiàn)了什么？ 生：S=（a+b）2=a2+2ab+b2 師：（面對(duì)站立的同學(xué)）你是如何確認(rèn)的？ 生： 大正方形的面積不管整體算還是分開算都是一樣的. 師：你回答的很棒! 師：如果將該正方形田地的邊長(zhǎng)縮減b米，則其邊長(zhǎng)又為多少？面積呢？ 〖評(píng)析〗教師引導(dǎo),小組合作探討, 教師深入到小組，重點(diǎn)關(guān)注：①學(xué)生能否發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題；②學(xué)生對(duì)于數(shù)對(duì)的初步認(rèn)識(shí)；③學(xué)生在活動(dòng)中發(fā)表個(gè)人見解的勇氣；④學(xué)生能否找到解決問題的方法。 生： （自信地）整體看，正方形邊長(zhǎng)是a－b，面積是（a－b）2．另外，正方形邊長(zhǎng)也可以表示為a2－2ab+b2 師：所以正方形的面積S=（a－b）2=a2－2ab+b2． 師：觀察得到的式子， （a+b）2等于什么？ 生：（a+b）2=a2+2ab+b2 師：你能不能用多項(xiàng)式乘法法則說(shuō)明理由呢？ 生：（a+b）2＝（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2 師：很好，它是一個(gè)完全平方的形式,我們把它叫做完全平方和公式． 師：（a-b）2等于什么？ 生：（a－b）2=a2－2ab+b2． 師：很好！完全正確。某位同學(xué)寫出了如下的算式：（a–b）2=[a+（–b）]2 她是怎么想的？你能繼續(xù)做下去嗎？ 生：[a+（–b）]2利用完全平方和公式可以得到a2＋（－2ab）+（－b）2=a2－2ab+b2． 師：你說(shuō)的很好！我們就可以得到（a－b）2=a2－2ab+b2． 師：它也是一個(gè)完全平方的形式,我們把它叫做完全平方差公式． 師：我們把這兩個(gè)公式都叫做完全平方公式． 〖評(píng)析〗在活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：①學(xué)生對(duì)于“約定”的認(rèn)識(shí)；②學(xué)生對(duì)有序數(shù)對(duì)的理解和應(yīng)用；③學(xué)生能否主動(dòng)與同學(xué)合作。 師：同學(xué)們認(rèn)為這兩個(gè)公式有何相同點(diǎn)與不同點(diǎn)呢？ 生：老師，相同點(diǎn)是公式的結(jié)果是三項(xiàng)式，其中前后兩項(xiàng)都是兩數(shù)的平方．中間一項(xiàng)都是兩數(shù)積的兩倍． 生：老師，不同點(diǎn)是當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)取“+”號(hào)，兩數(shù)異號(hào)時(shí)取“—”號(hào)． 師：同學(xué)們能用自己的語(yǔ)言敘述這兩個(gè)公式嗎？ 生：兩數(shù)和的平方,等于它們的平方和,加上它們的乘積的2倍. 生：兩數(shù)差的平方,等于它們的平方和,減去它們的乘積的2倍. 師：（減慢語(yǔ)速）也就是兩數(shù)和(或差)的平方,等于它們的平方和,加(或減)它們的積的2倍. 師：同學(xué)們公式中的a、b可以是任意數(shù)或代數(shù)式嗎？ 生：老師，可以． 師：我們一起來(lái)齊讀完全平方公式． 生： （a+b）2=a2+2ab+b2　　?。╝-b）2=a2-2ab+b2 師：真不錯(cuò)。我們可以總結(jié)為：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，和是加來(lái)差是減．同學(xué)們熟練運(yùn)用完全平方公式是本節(jié)課的重點(diǎn)． 〖評(píng)析〗課堂上學(xué)生暢所欲言，教室里第二次沸騰起來(lái)。這時(shí)應(yīng)多表?yè)P(yáng)孩子善于觀察善于積累，并鼓勵(lì)他們說(shuō)出完全平方公式的特點(diǎn)． 師：同學(xué)們，根據(jù)我們剛才所學(xué)知識(shí)把你們課前所做的課前延伸部分檢查一下． 學(xué)生檢查自己的課前延伸練習(xí)。 師：好，誰(shuí)來(lái)把答案說(shuō)說(shuō)看。 生：我第一題的答案是：m2+2mn+n2 ． 生：我第二題的答案是：m2-2mn+n2． 生：我第三題的答案是：a2+4ab+4b2． 生：我第四題的答案是：a2－4ab+4b2． 師：你們做得很對(duì)．剛才的問題都可以不用多項(xiàng)式的乘法而直接運(yùn)用完全平方公式來(lái)解決． 〖評(píng)析〗在學(xué)生對(duì)“完全平方公式”有一定理解后檢查自己課前延伸的練習(xí)情況，讓學(xué)生自查自糾，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生；另外，學(xué)生在檢查的同時(shí)既加強(qiáng)了對(duì)公式的理解又消除了預(yù)習(xí)時(shí)的一些模糊認(rèn)識(shí)。 【鞏固新知】 師：現(xiàn)在我們?cè)僖黄鸺由顚?duì)完全平方公式的理解。請(qǐng)同學(xué)說(shuō)說(shuō)課內(nèi)探究的第一大題．（同時(shí)教師也用幻燈片展示） 生：（脫口而出）第1題錯(cuò)，（a+b）2應(yīng)該等于a2+2ab+b2． 生：（脫口而出）第2題錯(cuò)，（a-b）2應(yīng)該等于a2-2ab+b2． 生：第3題錯(cuò)，(a+2b)2應(yīng)該等于a2+4ab+4b2． 師：大家把學(xué)案中課內(nèi)探究的第二大題的第一題試試看。（同時(shí)教師也用幻燈片展示） 學(xué)生練習(xí)，請(qǐng)四個(gè)學(xué)生板書，教師巡視。 師：相信大家一定做好了，我們來(lái)一起看看。 師：（4m+n）2中，哪部分相當(dāng)于a,哪部分相當(dāng)于b？ 生：（脫口而出）4m相當(dāng)于a， n相當(dāng)于b．（4m+n）2＝16m2+8mn+n2 師：你回答的很好，我們運(yùn)用的是完全平方和公式，好，我們?cè)倏聪乱活}。 生：（還沒舉手就搶著答）（y-）2中，y相當(dāng)于a， 相當(dāng)于b． 師：你講得很不錯(cuò)，本題我們運(yùn)用完全平方和公式還是完全平方差公式呢？ 生：完全平方差公式． 師：你的結(jié)果是多少呀？ 生：（y-）2＝y(tǒng)2-y+ 師：不錯(cuò)，同學(xué)們?cè)谶\(yùn)用公式是，首先要注意運(yùn)用的是和還是差，其次，要注意哪部分相當(dāng)于a,哪部分相當(dāng)于b，好，我們?cè)倏聪乱活}。 生：（-a-b）2中-a相當(dāng)于a，b相當(dāng)于b．（-a-b）2 ＝a2+2ab+b2． 師：大家仔細(xì)觀察，（a+b）2和（-a-b）2的結(jié)果一樣嗎？ 生：老師，（a+b）2＝（-a-b）2 師：你觀察的很仔細(xì)．一起看最后一題． 生：（b-a）2中，b相當(dāng)于a，a相當(dāng)于b．運(yùn)用完全平方差公式． （b-a）2＝a2-2ab+b2． 師：你的思路很清晰！同學(xué)們！ 有沒有什么發(fā)現(xiàn)呀？ 生：老師，（b-a）2和（a-b）2的結(jié)果相同． 〖評(píng)析〗教師在評(píng)講問題時(shí)有詳有略，主次分明，不光關(guān)注了學(xué)生解決問題的結(jié)果，更主要的是關(guān)注了學(xué)生的思維過程。 師：好，我們?cè)賮?lái)看小組合作探究題第二大題的第二小題，大家先獨(dú)立思考一下。 學(xué)生獨(dú)立思考。 師：好！同學(xué)們?cè)賹⒆约旱囊娊馀c同伴們交流一下。 生：（討論、交流） …… 〖評(píng)析〗教師將獨(dú)立思考和小組合作交流有機(jī)結(jié)合，這樣保證了人人參與活動(dòng)，通過組內(nèi)交流又使每個(gè)學(xué)生的思維得到碰撞，情感得到交流，極大地達(dá)到了教學(xué)效果。 師：最后，談?wù)劚竟?jié)課你有哪些收獲？ 生：完全平方公式是兩數(shù)和與兩數(shù)差的平方公式的統(tǒng)稱． 生：公式中的a、b可以是任意數(shù)或代數(shù)式． 生：公式的結(jié)果是三項(xiàng)式． 生：當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)取“+”號(hào)，兩數(shù)異號(hào)時(shí)取“—”號(hào) 生：將完全平方公式在圖形中表現(xiàn)出來(lái)，激發(fā)了我們學(xué)數(shù)學(xué)的興趣和靈感。 …… 師：同學(xué)們談得好極了，收獲真不小。在我們的現(xiàn)實(shí)生活中，蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)問題，有許多的數(shù)字問題，圖形問題，數(shù)與形之間的問題還在等著我們，我們可要主動(dòng)去尋找問題，并用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決一個(gè)一個(gè)的問題。 【課堂測(cè)試】 師：好！接下來(lái)我們一起做4道題。 學(xué)生練習(xí)。教師批改。教師有重點(diǎn)講評(píng)。 〖評(píng)析〗當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂反饋的實(shí)施不但使學(xué)生對(duì)所學(xué)的新知識(shí)得到及時(shí)鞏固和提升，同時(shí)又使得還存在模糊認(rèn)識(shí)的學(xué)生得到進(jìn)一步澄清，這就讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的第一時(shí)間得到最清晰的認(rèn)識(shí)，這正是高效的價(jià)值所在。教師在講評(píng)時(shí)抓住學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)和模糊點(diǎn)講解，這也是高效的教學(xué)手段。 【課后提升】 請(qǐng)大家記好今天的作業(yè)：