2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十三講 圓與圓 圓與圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種情形，判定兩圓的位置關(guān)系有如下三種方法： 1通過兩圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定； 2通過兩圓的半徑與圓心距的大小量化確定； 3通過兩圓的公切線的條數(shù)確定 為了溝通兩圓，常常添加與兩圓都有聯(lián)系的一些線段，如公共弦、共切線、連心線，以及兩圓公共部分相關(guān)的角和線段，這是解圓與圓位置關(guān)系問題的常用輔助線 熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題求解】【例1】 如圖，Ol與半徑為4的O2內(nèi)切于點(diǎn)A，Ol經(jīng)過圓心O2，作O2的直徑BC交Ol于點(diǎn)D，EF為過點(diǎn)A的公切線，若O2D=，那么BAF= 度 思路點(diǎn)撥 直徑、公切線、O2的特殊位置等，隱含豐富的信息，而連O2Ol必過A點(diǎn)，先求出D O2A的度數(shù)注：(1)兩圓相切或相交時(shí)，公切線或公共弦是重要的類似于“橋梁”的輔助線，它可以使弦切角與圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角與外角得以溝通同時(shí)，又是生成圓冪定理的重要因素(2)涉及兩圓位置關(guān)系的計(jì)算題，常作半徑、連心線，結(jié)合切線性質(zhì)等構(gòu)造直角三角形，將分散的條件集中，通過解直角三角形求解 【例2】 如圖，Ol與O2外切于點(diǎn)A，兩圓的一條外公切線與O1相切于點(diǎn)B，若AB與兩圓的另一條外公切線平行，則Ol 與O2的半徑之比為( ) A2：5 B1：2 C1：3 D2：3 思路點(diǎn)撥 添加輔助線，要探求兩半徑之間的關(guān)系，必須求出COlO2 (或DO2Ol)的度數(shù)，為此需尋求CO1B、CO1A、BO1A的關(guān)系【例3】 如圖，已知Ol與O2相交于A、B兩點(diǎn)，P是Ol上一點(diǎn)，PB的延長線交O2于點(diǎn)C，PA交O2于點(diǎn)D，CD的延長線交Ol于點(diǎn)N (1)過點(diǎn)A作AECN交Oll于點(diǎn)E，求證：PA=PE； (2)連結(jié)PN，若PB=4，BC=2，求PN的長 思路點(diǎn)撥 (1)連AB，充分運(yùn)用與圓相關(guān)的角，證明PAE=PEA；(2)PBPC=PDPA，探尋PN、PD、PA對(duì)應(yīng)三角形的聯(lián)系【例4】 如圖，兩個(gè)同心圓的圓心是O，AB是大圓的直徑，大圓的弦與小圓相切于點(diǎn)D，連結(jié)OD并延長交大圓于點(diǎn)E，連結(jié)BE交AC于點(diǎn)F，已知AC=，大、小兩圓半徑差為2 (1)求大圓半徑長； (2)求線段BF的長； (3)求證：EC與過B、F、C三點(diǎn)的圓相切 思路點(diǎn)撥 (1)設(shè)大圓半徑為R，則小圓半徑為R-2，建立R的方程；(2)證明EBCECF；(3)過B、F、C三點(diǎn)的圓的圓心O，必在BF上，連OC，證明OCE=90注：本例以同心圓為背景，綜合了垂徑定理、直徑所對(duì)的圓周角為直角、切線的判定、勾股定理、相似三角形等豐富的知識(shí)作出圓中基本輔助線、運(yùn)用與圓相關(guān)的角是解本例的關(guān)鍵 【例5】 如圖，AOB是半徑為1的單位圓的四分之一，半圓O1的圓心O1在OA上，并與弧AB內(nèi)切于點(diǎn)A，半圓O2的圓心O2在OB上，并與弧AB內(nèi)切于點(diǎn)B，半圓O1與半圓O2相切，設(shè)兩半圓的半徑之和為，面積之和為 (1)試建立以為自變量的函數(shù)的解析式； (2)求函數(shù)的最小值 思路點(diǎn)撥 設(shè)兩圓半徑分別為R、r，對(duì)于(1)，通過變形把R2+r2用“=R+r”的代數(shù)式表示，作出基本輔助線；對(duì)于(2)，因=R+r，故是在約束條件下求的最小值，解題的關(guān)鍵是求出R+r的取值范圍注：如圖，半徑分別為r、R的Ol 、O2外切于C，AB，CM分別為兩圓的公切線，OlO2與AB交于P點(diǎn)，則： (1)AB=2； (2) ACB=Ol M O2=90；(3)PC2=PAPB； (4)sinP=； (5)設(shè)C到AB的距離為d，則 學(xué)力訓(xùn)練1已知：Ol和O2交于A、B兩點(diǎn)，且Ol經(jīng)過點(diǎn)O2，若AOlB=90，則A O2B的度數(shù)是 2矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分別以A、C為圓心的兩圓相切，點(diǎn)D在圓C內(nèi)，點(diǎn)B在圓C外，那么圓A的半徑r的取值范圍 3如圖；Ol 、O2相交于點(diǎn)A、B，現(xiàn)給出4個(gè)命題： (1)若AC是O2的切線且交Ol于點(diǎn)C，AD是Ol的切線且交O2于點(diǎn)D，則AB2=BCBD； (2)連結(jié)AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，則OlO2=25cm； (3)若CA是Ol的直徑，DA是O2 的一條非直徑的弦，且點(diǎn)D、B不重合，則C、B、D三點(diǎn)不在同一條直線上，(4)若過點(diǎn)A作Ol的切線交O2于點(diǎn)D，直線DB交Ol于點(diǎn)C，直線CA 交O2于點(diǎn)E，連結(jié)DE，則DE2=DBDC，則正確命題的序號(hào)是 (寫出所有正確命題的序號(hào)) 4如圖，半圓O的直徑AB=4，與半圓O內(nèi)切的動(dòng)圓Ol與AB切于點(diǎn)M，設(shè)Ol的半徑為，AM的長為，則與的函數(shù)關(guān)系是 ，自變量的取值范圍是 5如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起，則其最高點(diǎn)到地面的距離是( ) A2 B C D6如圖，已知Ol、O2相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)Ol在O2上，過A作Oll的切線AC交B Ol的延長線于點(diǎn)P，交O2于點(diǎn)C，BP交Ol于點(diǎn)D，若PD=1，PA=，則AC的長為( ) A B C D7如圖，Ol和O2外切于A，PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線，B、C是切點(diǎn)PB=AB；PBA=PAB；PABOlAB；PBPC=OlAO2A上述結(jié)論，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ) A1 B2 C3 D4 8兩圓的半徑分別是和r (R>r)，圓心距為d，若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則兩圓的位置關(guān)系是( ) A一定內(nèi)切 B一定外切 C相交 D內(nèi)切或外切9如圖，Ol和O2內(nèi)切于點(diǎn)P，過點(diǎn)P的直線交Ol于點(diǎn)D，交O2于點(diǎn)E，DA與O2相切，切點(diǎn)為C（1）求證：PC平分APD； (2)求證：PDPA=PC2+ACDC； (3)若PE=3，PA=6，求PC的長10如圖，已知Ol和O2外切于A，BC是Ol和O2的公切線，切點(diǎn)為B、C，連結(jié)BA并延長交Ol于D，過D點(diǎn)作CB的平行線交O2于E、F，求證：(1)CD是Ol的直徑；(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論 11如圖，已知A是Ol、O2的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)M是 OlO2的中點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線BC垂直于MA，分別交Ol、O2于B、C (1)求證：AB=AC； (2)若Ol A切O2于點(diǎn)A，弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2，求證：dl+d2=O1O2； (3)在(2)的條件下，若dld2=1，設(shè)Ol、O2的半徑分別為R、r，求證：R2+r2= R2r212已知半徑分別為1和2的兩個(gè)圓外切于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到兩圓外公切線的距離為 13如圖，7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r，則捆扎這7根筷子一周的繩子的長度為 14如圖，Ol和O2內(nèi)切于點(diǎn)P，O2的弦AB經(jīng)過Ol的圓心Ol，交Ol于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，則Ol與O2的直徑之比為( ) A2：7 B2：5 C2：3 D 1：3 15如圖，Ol與O2相交，P是Ol上的一點(diǎn)，過P點(diǎn)作兩圓的切線，則切線的條數(shù)可能是( )A1，2 B1，3 C1，2，3 D1，2，3，4 16如圖，相等兩圓交于A、B兩點(diǎn)，過B任作一直線交兩圓于M、N，過M、N各引所在圓的切線相交于C，則四邊形AMCN有下面關(guān)系成立( ) A有內(nèi)切圓無外接圓 B有外接圓無內(nèi)切圓 C既有內(nèi)切圓，也有外接圓 D以上情況都不對(duì) 17已知：如圖，O與相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在O上，O的弦AC切P于點(diǎn)A，CP及其延長線交P P于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)E作EFCE交CB的延長線于F（1）求證：BC是P的切線； (2)若CD=2，CB=，求EF的長； (3)若k=PE：CE，是否存在實(shí)數(shù)k，使PBD恰好是等邊三角形?若存在，求出是的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 18如圖，A和B是外離兩圓，A的半徑長為2，B的半徑長為1，AB=4，P為連接兩圓圓心的線段AB上的一點(diǎn)，PC切A于點(diǎn)C，PD切B于點(diǎn)D (1)若PC=PD，求PB的長； (2)試問線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使PC2+PD2=4？，如果存在，問這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)?并求出PB的值；如果不存在，說明理由； (3)當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動(dòng)到某處，使PCPD時(shí)，就有APCPBD 請(qǐng)問：除上述情況外，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到何處(說明PB的長為多少，或PC、PD具有何種關(guān)系)時(shí)，這兩個(gè)三角形仍相似；并判斷此時(shí)直線CP與OB的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論 19如圖，D、E是ABC邊BC上的兩點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長線上一點(diǎn)，DAE=CAF (1)判斷ABD的外接圓與AEC的外接圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若ABD的外接圓半徑是AEC的外接圓半徑的2倍，BC=6，AB=4，求BE的長 20問題：要將一塊直徑為2cm的半圓形鐵皮加工成一個(gè)圓柱的兩個(gè)底面和一個(gè)圓錐的底面 操作：方案一：在圖甲中，設(shè)計(jì)一個(gè)使圓錐底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求，畫示意圖) 方案二；在圖乙中，設(shè)計(jì)一個(gè)使圓柱兩個(gè)底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求：畫示意圖)； ， 探究：(1)求方案一中圓錐底面的半徑； (2)求方案二中圓錐底面及圓柱底面的半徑； (3)設(shè)方案二中半圓圓心為O，圓柱兩個(gè)底面的圓心為O1、O2，圓錐底面的圓心為O3，試判斷以O(shè)1、O2、O3、O為頂點(diǎn)的四邊形是什么樣的特殊四邊形，并加以證明 參考答案