2.矩形的判定1.如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC和BD相交于點(diǎn)O,則下面條件能判定平行四邊形ABCD是矩形的是(A)(A)AC=BD(B)ACBD(C)AO=CO(D)AB=AD2.已知平行四邊形ABCD,AC,BD是它的兩條對角線,那么下列條件中,能判斷這個平行四邊形為矩形的是(C)(A)BAC=DCA(B)BAC=DAC(C)BAC=ABD(D)BAC=ADB3.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,1=2.若AC=13,BC=12,則四邊形ABCD的面積是(D)(A)20 (B)30 (C)50 (D)604.在四邊形ABCD中,AC和BD的交點(diǎn)為O,不能判斷四邊形ABCD為矩形的是(C)(A)AB=CD,AD=BC,AC=BD(B)AO=CO,BO=DO,A=90(C)A=C,B+C=180(D)ABCD,AB=CD,A=905.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,添加一個條件:ABC=90(或AC=BD等),可使它成為矩形.6.如圖,在ABC中,AB=AC,將ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180得到FEC,連結(jié)AE,BF.當(dāng)ACB為60時,四邊形ABFE為矩形.7.如圖,在兩條平行直線a和b上用直角曲尺畫兩條直線,則構(gòu)成的四邊形ABCD為矩形.8.學(xué)完矩形的判定后,小明和小麗想實(shí)際應(yīng)用一下(檢驗教室的門是否為矩形).根據(jù)小明和小麗的對話,你認(rèn)為小明和小麗誰正確:小明:“我用直尺量這個門的兩條對角線,發(fā)現(xiàn)它們的長度相等,所以這個四邊形門就是矩形.”小麗:“我用角尺量這個門的任意三個角,發(fā)現(xiàn)它們都是直角.所以這個四邊形門就是矩形.”解:小明的不一定是矩形,只根據(jù)對角線相等不能判定四邊形為矩形;因為對角線相等的平行四邊形是矩形,所以小明的說法錯誤;小麗的一定是矩形,因為有三個角是直角的四邊形是矩形.所以小麗的說法正確.9.(xx北京門頭溝期末)已知,如圖,在ABCD中,過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上,DF=BE,連結(jié)AF和BF.(1)求證:四邊形BFDE是矩形;(2)如果CF=3,BF=4,DF=5,求證:AF平分DAB.證明:(1)因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以DFBE.因為DF=BE,所以四邊形BFDE是平行四邊形.因為DEAB,所以DEB=90.所以四邊形BFDE是矩形.(2)因為四邊形BFDE是矩形,所以BFD=BFC=90.所以BC=32+42=5,所以AD=BC=5.因為DF=5,所以AD=DF.所以DAF=DFA.因為ABCD,所以DFA=FAB.所以DAF=FAB.所以AF平分DAB.10.如圖,在ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個動點(diǎn),過點(diǎn)O作直線EFBC分別交ACB,外角ACD的平分線于點(diǎn)E,F.(1)若CE=8,CF=6,求OC的長;(2)連結(jié)AE,AF.問:當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時,四邊形AECF是矩形?并說明理由.解:(1)因為EF交ACB的平分線于點(diǎn)E,交ACB的外角平分線于點(diǎn)F,所以O(shè)CE=BCE,OCF=DCF,因為EFBC,所以O(shè)EC=BCE,OFC=DCF,所以O(shè)EC=OCE,OFC=OCF,所以O(shè)E=OC,OF=OC,所以O(shè)E=OF.因為OCE+BCE+OCF+DCF=180,所以ECF=90,在RtCEF中,由勾股定理得EF=CE2+CF2=82+62=10,所以O(shè)C=OE=12EF=5.(2)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到AC中點(diǎn)時,四邊形AECF是矩形.理由:連結(jié)AE,AF,如圖所示,當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時,AO=CO,因為EO=FO,所以四邊形AECF是平行四邊形,因為ECF=90,所以平行四邊形AECF是矩形.11.(拓展探究)(xx青島)已知,如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)E,點(diǎn)G為AD的中點(diǎn),連結(jié)CG,CG的延長線交BA的延長線于點(diǎn)F,連結(jié)FD.(1)求證:AB=AF;(2)若AG=AB,BCD=120,判斷四邊形ACDF的形狀,并證明你的結(jié)論.(1)證明:因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以BFCD,AB=CD,所以AFG=DCG.因為GA=GD,AGF=CGD,所以AGFDGC.所以AF=CD.所以AB=AF.(2)解:四邊形ACDF是矩形.證明如下:因為AF=CD,AFCD,所以四邊形ACDF是平行四邊形.所以AG=DG,FG=CG.因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以BAD=BCD=120.所以FAG=60.因為AB=AF,AG=AB,所以AG=AF.所以AFG是等邊三角形.所以AG=GF.所以AG=DG=FG=CG.所以AD=CF.所以四邊形ACDF是矩形.12.(方程思想)如圖,在直角梯形ABCD中,B=90,ADBC,AB=14 cm,AD=18 cm,BC=21 cm,點(diǎn)E由點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D勻速運(yùn)動,速度為1 cm/s,點(diǎn)F由點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動,速度為2 cm/s,如果動點(diǎn)E,F同時從A,C兩點(diǎn)出發(fā),連結(jié)EF,若設(shè)運(yùn)動的時間為t s,解答下列問題:(1)當(dāng)t何值時,梯形AEFB的面積是91 cm2?(2)當(dāng)t何值時,四邊形AEFB是矩形?解:(1)根據(jù)題意,得AE=t cm,CF=2t cm,則BF=(21-2t)cm.因為S梯形AEFB=91,所以12(t+21-2t)14=91.所以t=8.所以當(dāng)t=8時,梯形AEFB的面積是91 cm2.(2)根據(jù)題意,得AE=t cm,CF=2t cm,則BF=(21-2t)cm.因為AEBF,B=90,所以當(dāng)AE=BF時,四邊形AEFB是矩形.所以t=21-2t.所以t=7.所以當(dāng)t=7時,四邊形AEFB是矩形.