第十七章勾股定理17.1勾股定理知能演練提升能力提升1.如圖,一個(gè)長為2.5 m的梯子,一端放在離墻角1.5 m處,另一端靠墻,則梯子頂端距離墻角()A.0.2 mB.0.4 mC.2 mD.4 m2.如圖,已知正方形的邊長為單位長度,以表示數(shù)1的點(diǎn)為圓心,正方形對(duì)角線長為半徑畫弧,交數(shù)軸于點(diǎn)A,則點(diǎn)A表示的數(shù)是()A.-12B.-13C.1-3D.1-23.如圖是一個(gè)臺(tái)階示意圖,每一層臺(tái)階的高都是20 cm,長都是50 cm,寬都是40 cm,一只螞蟻沿臺(tái)階從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B,其爬行的最短路線的長度是()A.100 cmB.120 cmC.130 cmD.150 cm4.在直線l上依次擺著幾個(gè)正方形(如圖),已知斜放的三個(gè)正方形的面積分別為1,2,3,正放的四個(gè)正方形的面積分別是S1,S2,S3,S4,則S1+S2+S3+S4等于()A.3B.4C.5D.65.如圖是輸油管道的一部分,延伸外圍的支路恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形,兩直角邊分別為6和8.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道,則O到三條支路的管道總長(計(jì)算時(shí)視管道為線,中心O為點(diǎn))是()A.2B.3C.6D.96.如圖,螺旋由一系列直角三角形組成,則第n個(gè)直角三角形的面積為()A.nB.nC.n2D.n27.如圖所示,在ABC中,B=90,AB=3,AC=5,將ABC折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,折痕為DE,則ABE的周長為.8.如圖,已知在RtABC中,ACB=90,AB=4,分別以AC,BC為直徑作半圓,面積分別記為S1,S2,則S1+S2的值等于.9.圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖,它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.在RtABC中,若直角邊AC=6,BC=5,將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍,得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”,則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(圖乙中的實(shí)線)是.10.如圖,一個(gè)長方體形的木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙),有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處.(1)請(qǐng)你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑;(2)當(dāng)AB=4,BC=4,CC1=5時(shí),求螞蟻爬過的最短路徑的長.11.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖).直角三角形的兩直角邊長分別為a,b(a<b),斜邊長為c.(1)請(qǐng)你運(yùn)用本圖驗(yàn)證勾股定理;(2)如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,那么試求(a+b)2的值.12.在一次緝私行動(dòng)中,警方獲得可靠消息:一輛走私車將路過一段水平且筆直的2號(hào)公路,但由于車上有威力巨大的爆炸裝置,在方圓120 m范圍內(nèi)有危險(xiǎn),緝私警察無法靠近.為保證我警員的安全,決定利用遠(yuǎn)程射擊的方法,警方選中一個(gè)距離2號(hào)公路120 m的高地作為隱蔽處,當(dāng)射程為200 m時(shí)開始射擊.若走私車與警方隱蔽處的距離為255 m時(shí),警方做好了射擊準(zhǔn)備.走私車又行駛了多少米后,警方可以對(duì)其進(jìn)行射擊?13.如圖,已知正方形ABCD的邊長為2,BPC是等邊三角形,求CDP與BPD的面積.創(chuàng)新應(yīng)用14.在ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,若C=90.如圖,根據(jù)勾股定理,得a2+b2=c2.若ABC不是直角三角形,如圖和,請(qǐng)你類比勾股定理,試猜想a2+b2與c2的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.參考答案能力提升1.C2.D數(shù)軸上正方形的對(duì)角線長為12+12=2,由題圖可知1和A之間的距離為2.所以點(diǎn)A表示的數(shù)是1-2.故選D.3.C把圖形伸展開,根據(jù)勾股定理,可得螞蟻爬行的最短路線的長度是1202+502=130(cm).4.B由勾股定理,得S1+S2=1,S3+S4=3,所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.5.C如圖,設(shè)點(diǎn)O到RtABC三邊的距離為h,由勾股定理,得BC2=62+82=100,BC=10,SABC=12ABAC=24.又SABC=12(AB+AC+BC)h=24,h=2,故O到三條支路的管道總長為23=6.6.D根據(jù)勾股定理,得OA1=2,OA2=3,則S1=1211=12,S2=1221=22,故Sn=12n1=n2.7.7由勾股定理,得BC=4,ABE的周長=AB+BC=3+4=7.8.2由勾股定理,易得S1與S2的和等于以斜邊AB為直徑的半圓面積.9.76外圍風(fēng)車的短邊長為6,所以長邊長為52+122=13.所以風(fēng)車的外圍周長是(6+13)4=76.10.解(1)如圖,把木柜的三個(gè)面展開,得兩個(gè)矩形ABC1D1和ACC1A1.螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有AC1或AC1.(2)螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C1,爬過的路徑的長是l1=42+(4+5)2=97.螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到C1,爬過的路徑的長是l2=(4+4)2+52=89.l1>l2,最短路徑的長是l2=89.11.解(1)大正方形的面積為c2,中間部分小正方形的面積為(b-a)2,四個(gè)直角三角形的面積和為412ab.由圖形關(guān)系,知大正方形面積=小正方形面積+四個(gè)直角三角形面積,即有c2=(b-a)2+412ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2.(2)由大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,得每個(gè)三角形的面積是3,即12ab=3,則ab=6.又c2=13,a2+b2=13.(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25.(a+b)2=25.12.分析根據(jù)題意畫出示意圖,如圖,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題,利用勾股定理分別求出BC,AC的長,進(jìn)而可求得走私車由點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B時(shí)的路程.解如圖,由于走私車所攜帶的爆炸裝置在方圓120m范圍內(nèi)有危險(xiǎn),為保證警察的安全,當(dāng)走私車行駛到C點(diǎn)之前就對(duì)其進(jìn)行射擊.ACD=90,DC=120m,BD=200m,AD=255m,BC=BD2-DC2=2002-1202=160(m),AC=AD2-DC2=2552-1202=225(m).AB=225-160=65(m).因此,走私車又行駛了65m后,警方可以對(duì)其進(jìn)行射擊.13.解作PEBC,PFDC,垂足分別為E,F,如圖.PBC是等邊三角形,BP=PC=BC=2,PCF=90-60=30,PF=12PC=1.SCDP=12CDPF=1221=1.在RtPBE中,BE=1,BP=2,PE=PB2-BE2=22-12=3,SPBC=12BCPE=1223=3.SBPD=SPBC+SPCD-SBCD=3+1-1222=3+1-2=3-1.創(chuàng)新應(yīng)用14.解若ABC是銳角三角形,則有a2+b2>c2;若ABC是鈍角三角形,C為鈍角,則有a2+b2<c2.當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí),如圖.證明過程如下:過點(diǎn)A作ADCB,垂足為D.設(shè)CD=x,則有DB=a-x.根據(jù)勾股定理,得b2-x2=c2-(a-x)2,即b2-x2=c2-a2+2ax-x2.a2+b2=c2+2ax.a>0,x>0,2ax>0.a2+b2>c2.當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí),如圖.證明過程如下:過點(diǎn)B作BDAC,交AC的延長線于點(diǎn)D.設(shè)CD=x,則BD2=a2-x2.根據(jù)勾股定理,得(b+x)2+a2-x2=c2,即b2+2bx+x2+a2-x2=c2.a2+b2+2bx=c2.b>0,x>0,2bx>0.a2+b2<c2.