第二十八章銳角三角函數(shù)28.1銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)(第1課時(shí))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解認(rèn)識正弦概念;2.在直角三角形中求出某個(gè)銳角的正弦值.學(xué)習(xí)過程一、自主探究得到概念1.為了綠化荒山,某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管,在山坡上修建一座揚(yáng)水站,對坡面的綠地進(jìn)行噴灌.現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30,為使出水口的高度為35 m,那么需要準(zhǔn)備多長的水管?這個(gè)問題可以歸結(jié)為:如圖,在RtABC中,C=90,A=30,BC=35 m,求AB的長.思考:(1)如果使出水口的高度為50 m,那么需要準(zhǔn)備多長的水管?如果使出水口的高度為a m,那么需要準(zhǔn)備多長的水管?答:(2)在一個(gè)直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30,那么不管三角形的大小如何,這角的對邊與斜邊的比值都等于.(3)直角三角形中,45角的對邊與斜邊的比值是.(4)在直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí),不管三角形的大小如何,A的對邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值?答:(5)推理與證明:觀察圖中的RtAB1C1、RtAB2C2和RtAB3C3,它們之間有什么關(guān)系?你能得到(4)中的結(jié)論嗎?解:2.結(jié)論:在RtABC中,銳角A的對邊與斜邊的比是一個(gè),也即是對于銳角A的每一個(gè)確定的值,其對邊與斜邊的是唯一確定的. 3.認(rèn)識正弦如圖,在RtABC中,A,B,C所對的邊分別記為a,b,c,C=90,我們把銳角A的的比叫做A的正弦,記作sin A.sin A=A的對邊斜邊=ac.4.追問:(1)B的正弦怎么表示?答:(2)在RtABC中,若a=1,c=3,則sin A=sin B=.二、合作探究完成例題1.如圖,在RtABC中,C=90,求sin A和sin B的值.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理,先求出AC的長,再運(yùn)用正弦的定義計(jì)算即可.解:2.在ABC中,C=90,AC=5,sin A=23,求AB的長.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正弦的定義可以得到BC與AB的比值,因而可以設(shè)BC=2x,則AB=3x,根據(jù)勾股定理即可求得x的值,進(jìn)而得到AB的長度.解:三、課堂小結(jié)系統(tǒng)知識1.什么是正弦?答:2.根據(jù)你對正弦概念的理解,完成下列填空:(1)正弦是一個(gè),沒有單位.(2)正弦值只與的大小有關(guān),與三角形的大小無關(guān).(3)sin A是一個(gè)符號,不能寫成sin A.(4)當(dāng)用字母表示角時(shí),角的符號“”不能省略,如sinABC.(5)sin2A表示,不能寫成sin A2.四、當(dāng)堂訓(xùn)練提升能力1.把ABC三邊的長度都擴(kuò)大為原來的3倍,則銳角A的正弦函數(shù)值()A.不變B.縮小為原來的三分之一C.擴(kuò)大為原來的3倍D.不能確定2.如圖,在RtABC中,C=90,AB=5,BC=3,則sin A的值是()A.43B.34C.35D.453.如圖所示,已知P點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,b),則sin 等于()A.abB.baC.aa2+b2D.ba2+b24.如圖,在RtABC中,C=90,AB=2BC,則sin B的值為.第4題圖第5題圖5.在RtABC中,已知C=90,sin A=35且AB=15,則BC=.6.如圖,在O中,過直徑AB延長線上的點(diǎn)C作O的一條切線,切點(diǎn)為D.若AC=7,AB=4,求sin C的值.解:評價(jià)作業(yè)(滿分100分)1.(8分)在RtABC中,C=90,AB=2,AC=1,則sin B的值為()A.12B.22C.32D.22.(8分)三角形在正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長均為1)中的位置如圖所示,則sin 的值是()A.34B.43C.35D.453.(8分)在ABC中,C=90,AB=15,sin A=13,則BC等于()A.45B.5C.15D.1454.(8分)如圖所示,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足為D,若AC=5,BC=2,則sinACD的值為()A.53B.255C.52D.235.(8分)在RtABC中,C=90,AC=5,AB=8,則sin A=. 6.(8分)在RtABC中,C=90,BC=4,sin A=23,則AB=. 7.(12分)如圖所示,AB是O的直徑,點(diǎn)C,D在O上,且AB=5,BC=3,則sinBAC=,sinADC=,sinABC=. 8.(10分)在RtABC中,C=90,AC=1 cm,BC=2 cm,求sin A和sin B的值.9.(10分)如圖所示,菱形ABCD的周長為40 cm,DEAB,垂足為E,sin A=35.(1)求BE的長;(2)求菱形ABCD的面積.10.(20分)如圖所示,在ABC中,C=90,AC=BC,BD為AC邊上的中線,求sinABD的值.參考答案學(xué)習(xí)過程一、1.自主探究得到概念思考:(1)答:100 m2a m.(2)12.(3)22.(4)答:是一個(gè)固定值.(5)解:RtAB1C1,RtAB2C2和RtAB3C3中,A是它們的公共角,RtAB1C1RtAB2C2RtAB3C3,B1C1AB1=B2C2AB2=B3C3AB3.2.固定值比值.3.對邊與斜邊4.追問:(1)答:sin B=B的對邊斜邊=bc.(2)13223.二、合作探究完成例題1.解:如圖(2)所示,在RtABC中,由勾股定理得AC=AB2-BC2=132-52=12.因此sin A=BCAB=513,sin B=ACAB=1213.2.解:在直角ABC中,sin A=BCAB=23,設(shè)BC=2x,則AB=3x,根據(jù)勾股定理可以得到:(3x)2-(2x)2=25,即5x2=25,解得:x=5,則AB=3x=35.三、課堂小結(jié)系統(tǒng)知識1.答:在RtABC中,C=90,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦,記作sin A,即sin A=A的對邊斜邊=ac.2.(1)比值(2)角(3)整體(4)三個(gè)(5)(sin A)2四、當(dāng)堂訓(xùn)練提升能力1.A2.C3.D4.325.9 6.解:連接OD,CD是O的切線,ODC=90,AC=7,AB=4,半徑OA=2,則OC=AC-AO=7-2=5,sin C=ODOC=25.評價(jià)作業(yè)1.A2.C3.B4.A5.3986.67.3545458.解:由勾股定理可得AB=12+22=5(cm),所以sin A=BCAB=25=255,sin B=ACAB=15=55.9.解:(1)菱形ABCD的周長為40 cm,AD=AB=10 cm.又DEAB,sinA=35,DEAD=35,即DE10=35,解得DE=6,在直角ADE中,由勾股定理得到:AE=AD2-DE2=102-62=8,則BE=AB-AE=10-8=2,即BE=2 cm.(2)由(1)知DE=6,則菱形ABCD的面積=ABDE=106=60(cm2).10.解:如圖所示,作DEAB于E.設(shè)BC=AC=2x,BD為AC邊上的中線,CD=AD=12AC=x.在RtBCD中,根據(jù)勾股定理,得BD=5x.C=90,AC=BC,A=CBA=45,又DEAB,A=EDA=45,AE=DE=22x,在RtBDE中,sinABD=DEBD=22x5x=1010.