第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.1銳角三角函數(shù)第1課時正切知識要點基礎(chǔ)練知識點1正切的意義1.如圖,已知在RtABC中,C=90,AB=5,AC=2,則tan A的值為(B)A.2B.12C.55D.2552.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線OA經(jīng)過點A(3,4),則tan 的值是(D)A.35B.45C.34D.43【變式拓展】(義烏中考)如圖,點A(t,3)在第一象限,OA與x軸所夾的銳角為,tan =32,則t的值是(C)A.1B.1.5C.2D.3知識點2坡度(坡比)與坡角3.(麗水中考)如圖,河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為13(坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比),壩高BC=3 m,則坡面AB的長度是(B)A.9 mB.6 mC.63 mD.33 m4.甲坡面的坡度為13,乙坡面的坡度為14,則甲坡面比較陡.知識點3求直角三角形的邊長5.如圖,在ABC中,C=90,AC=2,tan A=3,則AB=210.6.如圖,在RtABC中,BAC=90,ADBC于點D,若tan B=23,求BDCD的值.解:由條件知B=CAD,tanCAD=tan B=23,又tan B=ADBD,tanCAD=CDAD,ADBDCDAD=CDBD=49,BDCD=94.綜合能力提升練7.如圖,在網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上,則ABC的正切值是(D)A.2B.255C.55D.128.如圖,延長RtABC的斜邊AB到點D,使BD=AB,連接CD,若tanBCD=13,則tan A=(A)A.32B.1C.13D.239.在RtABC中,C=90,則tan Atan B的值一定(D)A.小于1B.不小于1C.大于1D.等于110.(日照中考)如圖,在RtBAD中,延長斜邊BD到點C,使DC=12BD,連接AC,若tan B=53,則tanCAD的值為(D)A.33B.35C.13D.1511.如圖,在ABC中,ACB=90,CDAB于點D,若CDAC=23,則tan BCD的值是(A)A.255B.23C.21313D.21312.(廣州中考)如圖,在RtABC中,C=90,BC=15,tan A=158,則AB=17.13.如圖,在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中,點A,B,C,D都在這些小正方形的頂點上,AB,CD相交于點P,則APPB的值為3,tan APD的值為2.提示:取CD的中點E,連接BE,由正方形的性質(zhì)得BE=DE,由BDAC得BDPACP,所以APPB=PCDP=ACBD=3,所以DP=PE=12BE,所以tan APD=tan BPE=2.14.如圖,四邊形ABCD,A1B1BA,A5B5B4A4都是邊長為1的小正方形.已知ACB=a,A1CB1=a1,A5CB5=a5.求tan atan a1+tan a1tan a2+tan a2tan a3+tan a3tan a4+tan a4tan a5的值.解:根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,得tan a=ABBC=1,tan a1=A1B1CB1=12,tan a2=A2B2CB2=13,tan a5=A5B5CB5=16,則tan atan a1+tan a1tan a2+tan a2tan a3+tan a3tan a4+tan a4tan a5=112+1213+1314+1415+1516=1-12+12-13+13-14+14-15+15-16=1-16=56.15.(無錫中考)在如圖的正方形方格紙中,每個小的四邊形都是相同的正方形,點A,B,C,D都在格點處,AB與CD相交于點O,求tanBOD的值.解:平移AB到AB交CD于點O,連接BM,如圖所示.設(shè)每個小正方形的邊長為a,則OB2=(2a)2+(4a)2=20a2,OM2=a2+a2=2a2,BM2=(3a)2+(3a)2=18a2.OB2=OM2+BM2,OBM是直角三角形,此時OM=2a,BM=32a,tanBOD=tanBOM=BMOM=32a2a=3.拓展探究突破練16.如圖,在直角坐標(biāo)系中放入矩形紙片ABCO.將紙片翻折后,點B恰好落在x軸上,記為點B,折痕為CE,已知tanOBC=34,CE=510,求點E的坐標(biāo).解:在RtBOC中,根據(jù)tanOBC=OCOB=34,設(shè)OC=3x,則OB=4x,由勾股定理得BC=OC2+OB2=5x,根據(jù)矩形的性質(zhì)可知OA=BC=BC=5x,AB=x,由折疊的性質(zhì)可證BOCEAB,OBAE=OCAB=BCBE,即4xAE=3xx=5xBE,AE=43x,BE=53x,在RtBCE中,由勾股定理得BC2+BE2=CE2,即(5x)2+53x2=(510)2,解得x=3,OA=5x=15,AE=43x=4,點E的坐標(biāo)為(15,4).第2課時正弦、余弦知識要點基礎(chǔ)練知識點1正弦的定義1.在下列網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,點A,B,O都在格點上,則A的正弦值是(C)A.13B.12C.55D.1010【變式拓展】在正方形網(wǎng)格中,ABC的位置如圖所示,則sin A的值為(D)A.13B.14C.255D.10102.如圖,在ABC中,C=90,BC=4 cm,AB的垂直平分線MN交AC于點D,且CDDA=35,則sin A的值是(B)A.45B.55C.255D.353.在ABC中,已知AB=AC=1,BC=2,則sin B=22.知識點2余弦的定義4.(連云港中考)在RtABC中,C=90,若sin A=513,則cos A的值是(D)A.512B.813C.23D.12135.在RtABC中,C=90,cos B=45,則ACBCAB=345.知識點3正弦、余弦的簡單應(yīng)用6.設(shè)為銳角,且滿足sin =3cos ,則sin cos 等于(D)A.16B.15C.29D.3107.如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O是原點,點A的坐標(biāo)是(10,0),點B在第一象限內(nèi),BO=5,sinBOA=35.(1)求點B的坐標(biāo);(2)求cosBAO的值.解:過點B作BCx軸于點C.(1)由sinBOA=35得BCOB=35,BC=3,由勾股定理可得OC=4,點B的坐標(biāo)是(4,3).(2)OC=4,AC=6,由勾股定理可得AB=35,cosBAO=ACAB=635=255.綜合能力提升練8.如圖,在RtABC中,C=90,AM是BC邊上的中線,sin CAM=35,則tan B的值為(B)A.32B.23C.56D.439.如圖,在RtABC中,ACB=90,BC=3,AC=15,AB的垂直平分線ED交BC的延長線于點D,垂足為E,連接AD,則sin CAD=(A)A.14B.13C.154D.151510.如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,E是BC的中點,連接AE,將ABE沿AE折疊,點B落在點F處,連接FC,則sinECF=(D)A.34B.43C.35D.4511.(宜昌中考)ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示(每個小正方形的邊長為1),ADBC于點D,下列四個選項中,錯誤的是(C)A.sin =cos B.tan C=2C.sin =cos D.tan =112.(杭州中考)在RtABC中,C=90,AB=2BC,下列結(jié)論:sin A=32;cos B=12;tan A=33;tan B=3,其中正確的是.(只需填上正確結(jié)論的序號)13.如圖,在ABC中,AB=9,BC=6,ABC的面積等于9,求sin B.解:過點C作CDAB于點D,則由條件知12ABCD=9,AB=9,CD=2,sin B=CDBC=26=13.14.如圖,在ABC中,AD是BC邊上的高,E為AC的中點,BC=14,AD=12,sin B=45,求:(1)線段DC的長;(2)tanEDC的值.解:(1)在RtABD中,sin B=ADAB=12AB=45,AB=15.BD=AB2-AD2=152-122=9,CD=BC-BD=14-9=5.(2)在RtACD中,E為AC的中點,ED=EC,EDC=C,tanEDC=tan C=ADDC=125.15.如圖,在正方形ABCD中,M是AD的中點,BE=3AE,試求sin ECM的值.解:設(shè)AE=x,則BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,EC=(3x)2+(4x)2=5x,EM=x2+(2x)2=5x,CM=(2x)2+(4x)2=25x,EM2+CM2=EC2,CEM是直角三角形,sin ECM=EMEC=55.拓展探究突破練16.如圖,在ABC中,AD是BC邊上的高,tan B=cosDAC.(1)求證:AC=BD;(2)若sin C=1213,BC=12,求AD的長.解:(1)AD是BC邊上的高,ABD和ACD都是直角三角形,tan B=cosDAC,ADBD=ADAC,AC=BD.(2)sin C=ADAC=1213,設(shè)AD=12k,AC=13k,則BD=13k,由勾股定理可求得CD=AC2-AD2=5k,BC=18k=12,解得k=23,AD=12k=8.