空間向量的運算及應(yīng)用建議用時：45分鐘一、選擇題1已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，則x等于()A(0,3，6)B(0,6，20)C(0,6，6)D(6,6，6)B由bx2a，得x4a2b(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20)2若，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是()A相交B平行C在平面內(nèi)D平行或在平面內(nèi)D，共面則AB與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)3已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，則下列結(jié)論正確的是()Aac，bcBab，acCac，abD以上都不對Cc(4，6,2)2(2，3,1)2a，ac，又ab22(3)0140，ab.4.如圖所示，三棱錐OABC中，M，N分別是AB，OC的中點，設(shè)a，b，c，用a，b，c表示，則()A.(abc)B.(abc)C.(abc)D.(abc)B()()(abc)5A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足0，0，0，M為BC中點，則AMD是()A鈍角三角形B銳角三角形C直角三角形D不確定CM為BC中點，()，()0.AMAD，AMD為直角三角形二、填空題6在空間直角坐標(biāo)系中，A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，若A，B，C，D四點共面，則2xyz_.1A(1,1，2)，B(1,2，3)，C(1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，(0,1，1)，(2,2,2)，(x1，y1，z2)A，B，C，D四點共面，存在實數(shù)，使得，即(x1，y1，z2)(0,1，1)(2,2,2)，解得2xyz1.7在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點，則sin，的值為_如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體棱長為2，則易得(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.8已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)對于結(jié)論：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正確的是_0，0，ABAP，ADAP，則正確又與不平行，是平面ABCD的法向量，則正確(2,3,4)，(1,2，1)，與不平行，故錯誤三、解答題9已知空間中三點A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值解(1)c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1,2)或(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，故向量a與向量b的夾角的余弦值為.10.如圖，在棱長為a的正方體OABCO1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AEBFx，其中0xa，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)寫出點E，F(xiàn)的坐標(biāo)；(2)求證：A1FC1E；(3)若A1，E，F(xiàn)，C1四點共面，求證：.解(1)E(a，x,0)，F(xiàn)(ax，a,0)(2)證明：A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，A1FC1E.(3)證明：A1，E，F(xiàn)，C1四點共面，共面選與為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實數(shù)對(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.1在空間四邊形ABCD中，則的值為()A1B0C1D2B法一：(直接法)如圖，令a，b，c, 則()()()a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.法二：(特值法)在三棱錐ABCD中，不妨令其各棱長都相等，則正四面體的對棱互相垂直所以0，0，0.所以0.2.(2019四川名校聯(lián)考)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A相交B平行C垂直D不能確定B正方體棱長為a，A1MAN，().又是平面B1BCC1的法向量，且0，MN平面B1BCC1.故選B.3ABC的頂點分別為A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，則AC邊上的高BD等于_5設(shè)，D(x，y，z)，則(x1，y1，z2)(0,4，3)，x1，y41，z23，D(1,41,23)，(4,45，3)，0，4(45)3(3)0，解得，|5.4如圖所示，在平行四邊形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿對角線AC折起，使AB與CD成60角，求BD的長解AB與CD成60角，60或120.又ABACCD1，ACCD，ACAB，|，|2或.BD的長為2或.1已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，當(dāng)取最小值時，點Q的坐標(biāo)是_ (1,1,2) 由題意，設(shè)，則(，2)，即Q(，2)，則(1，2，12)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(12)(22)621266(1)2，當(dāng)1時取最小值，此時Q點坐標(biāo)為(1,1,2)2.如圖所示，四棱錐SABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，點P為側(cè)棱SD上的點(1)求證：ACSD；(2)若SD平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE平面PAC，若存在，求SEEC的值；若不存在，試說明理由解(1)證明：連接BD，設(shè)AC交BD于點O，則ACBD.連接SO，由題意知SO平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖底面邊長為a，則高SOa，于是S，D，B，C，則0.故OCSD.從而ACSD.(2)棱SC上存在一點E，使BE平面PAC.理由如下：由已知條件知是平面PAC的一個法向量，且，.設(shè)t，則t，而0t.即當(dāng)SEEC21時，BEDS.而BE平面PAC，故BE平面PAC.