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單元測試(三)　旋轉 (滿分：120分　考試時間：120分鐘) 一、選擇題(本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求) 1.下列運動屬于旋轉的是(D) A．滾動過程中的籃球 B．一個圖形沿某直線對折過程 C．氣球升空的運動 D．鐘表鐘擺的擺動 2．下面四個手機應用圖標中，屬于中心對稱圖形的是(B) 3．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90.將Rt△ABC繞點C按逆時針方向旋轉48得到Rt△A′B′C，點A在邊B′C上，則∠B′的大小為(A) A．42 B．48 C．52 D．58 4．如圖，在△ABC中，∠C＝90，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞點A逆時針旋轉，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，則B，D兩點間的距離為(C) A．2 B．3 C. D．2 5．點P(ac2，)在第二象限，點Q(a，b)關于原點對稱的點在(A) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如圖，已知△EFG與△E′F′G′均為等邊三角形，且E(，2)，E′(－，－2)，通過對圖形的觀察，下列說法正確的是(C) A．△EFG與△E′F′G′關于y軸對稱 B．△EFG與△E′F′G′關于x軸對稱 C．△EFG與△E′F′G′關于原點O對稱 D．以F，E′，F(xiàn)′，E為頂點的四邊形是軸對稱圖形 7．如圖，將等邊△ABC繞點C順時針旋轉120得到△EDC，連接AD，BD.則下列結論：①AC＝AD；②BD⊥AC；③四邊形ACED是菱形．其中正確的個數(shù)是(D) A．0 B．1 C．2 D．3 8．如圖，網格紙上正方形的邊長為1，圖中線段AB和點P繞著同一個點作相同的旋轉，分別得到線段A′B′和點P′，則點P′所在的單位正方形區(qū)域是(D) A．1區(qū) B．2區(qū) C．3區(qū) D．4區(qū) 　　　　 9．如圖，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝，∠AOB＝30，把△ABO繞點O旋轉150后得到△A1B1O，則點A1的坐標為(B) A．(－1，－) B．(－1，－)或(－2，0) C．(－，－1)或(0，－2) D．(－，－1) 10．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上．若CE＝3，且∠ECF＝45，則CF的長為(A) A．2 B．3 C. D. 二、填空題(本大題共5個小題，每小題3分，共15分) 11．在平面直角坐標系中，點M(3，－1)關于原點的對稱點的坐標是(－3，1)． 12．在方格紙上建立如圖所示的平面直角坐標系，將△ABO繞點O按順時針方向旋轉90，得△A′B′O，則點A的對應點A′的坐標為(2，3)． 　　　 13．△ABC是等邊三角形，點O是三條高的交點．若△ABC以點O為旋轉中心旋轉后能與原來的圖形重合，則△ABC旋轉的最小角度是120． 14．如圖1，教室里有一只倒地的裝垃圾的灰斗，BC與地面的夾角為50，∠C＝25，小賢同學將它扶起平放在地上(如圖2)，則灰斗柄AB繞點C轉動的角度為105． 15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠CAB＝30，BC＝1，將△ABC繞點B順時針轉動，并把各邊縮小為原來的，得到△DBE，點A，B，E在一直線上，P為邊DB上的動點，則AP＋CP的最小值為__3__． 三、解答題(本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(本大題共2個小題，每小題5分，共10分)在△ABC中，∠B＋∠ACB＝30，AB＝4，△ABC逆時針旋轉一定角度后與△ADE重合，且點C恰好成為AD中點，如圖． (1)指出旋轉中心，并求出旋轉角的度數(shù)； (2)求AE的長． 解：(1)在△ABC中，∵∠B＋∠ACB＝30，∴∠BAC＝150. 當△ABC逆時針旋轉一定角度后與△ADE重合， ∴旋轉中心為點A，∠BAD等于旋轉角，即旋轉角為150. (2)∵△ABC繞點A逆時針旋轉150后與△ADE重合， ∴AB＝AD＝4，AC＝AE， ∵點C為AD中點，∴AC＝AD＝2，∴AE＝2. 17．(本題6分)平面直角坐標系第二象限內的點P(x2＋2x，3)與另一點Q(x＋2，y)關于原點對稱，試求x＋2y的值． 解：根據題意，得(x2＋2x)＋(x＋2)＝0，y＝－3.∴x1＝－1，x2＝－2. ∵點P在第二象限，∴x2＋2x<0.∴x＝－1.∴x＋2y＝－7. 18．(本題10分)如圖，平面直角坐標系內，小正方形網格的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點的坐標分別為A(－1，3)，B(－4，0)，C(0，0)． (1)畫出將△ABC向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的△A1B1C1； (2)畫出將△ABC繞原點O順時針方向旋轉90得到的△A2B2O. 解：(1)如圖所示，△A1B1C1為所求作的三角形． (2)如圖所示，△A2B2O為所求作的三角形． 19．(本題9分)閱讀理解，并解答問題： 如圖所示的88網格都是由邊長為1的小正方形組成，圖1中的圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．趙爽通過對這種圖形切割、拼接，巧妙地利用面積關系證明了著名的勾股定理，它表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智，是我國數(shù)學史上的驕傲． 問題： 請用“趙爽弦圖”中的四個直角三角形通過你所學過的圖形變化，在圖2，圖3的方格紙中設計另外兩個不同的圖案，每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形互不重疊．畫圖要求： (1)圖2中所設計的圖案(不含方格紙)必須是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形； (2)圖3中所設計的圖案(不含方格紙)必須既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形． 解：(1)如圖(答案不唯一)． (2)如圖(答案不唯一)． 20．(本題8分)如圖，△BAD是由△BEC在平面內繞點B旋轉60而得，且AB⊥BC，BE＝CE，連接DE. (1)求證：△BDE≌△BCE； (2)試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由． 解：(1)證明：∵△BAD是由△BEC在平面內繞點B旋轉60而得， ∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60. ∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90.∴∠DBE＝∠CBE＝30. 在△BDE和△BCE中， ∴△BDE≌△BCE(SAS)． (2)四邊形ABED為菱形．理由如下： 由(1)得△BDE≌△BCE， ∵△BAD是由△BEC旋轉而得， ∴△BAD≌△BEC.∴BA＝BE，AD＝EC＝ED. 又∵BE＝CE，∴BA＝BE＝AD＝ED. ∴四邊形ABED為菱形． 21．(本題8分)如圖，正方形ABCD的邊長為6，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF＝45，將△DAE繞點D逆時針旋轉90，得到△DCM. (1)求證：EF＝FM； (2)當AE＝2時，求EF的長． 解：(1)證明：∵△DAE逆時針旋轉90得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180. ∴F、C、M三點共線． ∴DE＝DM，∠EDM＝90. ∴∠EDF＋∠FDM＝90. ∵∠EDF＝45，∴∠FDM＝∠EDF＝45. 在△DEF和△DMF中， ∴△DEF≌△DMF(SAS)． ∴EF＝MF. (2)設EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，且AB＝BC＝6，則EB＝AB－AE＝6－2＝4， ∴BM＝BC＋CM＝6＋2＝8. ∴BF＝BM－MF＝BM－EF＝8－x. 在Rt△EBF中，由勾股定理，得EB2＋BF2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5， 則EF＝5. 22．(本題12分)問題情境： 兩張矩形紙片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE，AD＞AB. 操作發(fā)現(xiàn)： (1)如圖1，點D在GC上，連接AC、CF、EG、AG，則AC和CF有何數(shù)量關系和位置關系？并說明理由． 實踐探究： (2)如圖2，將圖1中的紙片CEFG以點C為旋轉中心逆時針旋轉，當點D落在GE上時停止旋轉，則AG和GF在同一條直線上嗎？請判斷，并說明理由． 解：(1)AC＝CF，AC⊥CF.理由如下： ∵矩形紙片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE， ∴BC＝EF，∠B＝∠CEF＝90. 在△ABC和△CEF中， ∴△ABC≌△CEF(SAS)． ∴AC＝CF，∠ACB＝∠CFE. ∵∠CFE＋∠ECF＝90，∴∠ACB＋∠ECF＝90. ∴∠ACF＝∠BCD＋∠ECG－(∠ACB＋∠ECF)＝90＋90－90＝90， ∴AC⊥CF. (2)AG和GF在同一條直線上．理由如下： ∵矩形紙片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE， ∴AD＝GC，CD＝CE，∠ADC＝∠GCE＝90. 在△ACD和△GEC中， ∴△ACD≌△GEC(SAS)． ∴∠ACD＝∠GEC，DC＝EC，AC＝GE.∴∠CDE＝∠DEC.∴∠ACD＝∠CDE. ∴GE∥AC. ∴四邊形ACEG是平行四邊形，∴AG∥CE. 又∵矩形CEFG中，GF∥CE， ∴AG和GF在同一條直線上． 23．(本題12分)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0＜α＜60)，將線段BC繞點B逆時針旋轉60得到線段BD. (1)如圖1，直接寫出∠ABD的大小(用含α的式子表示)； (2)如圖2，∠BCE＝150，∠ABE＝60，判斷△ABE的形狀并加以證明； (3)在(2)的條件下，連接DE，若∠DEC＝45，求α的值． 解：(1)30－α. (2)△ABE為等邊三角形． 證明：連接AD，CD，ED. ∵線段BC繞點B逆時針旋轉60得到線段BD， ∴BC＝BD，∠DBC＝60. ∵∠ABE＝60，∴∠ABD＝60－∠DBE＝∠EBC＝30－α.　　　 圖1 　　圖2 ∵BD＝CD，∠DBC＝60，∴△BCD為等邊三角形，∴BD＝CD. 又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α. ∵∠BCE＝150，∴∠BEC＝180－(30－α)－150＝α.∴∠BAD＝∠BEC. 在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC(AAS)．∴AB＝EB. 又∵∠ABE＝60，∴△ABE為等邊三角形． (3)∵∠BCD＝60，∠BCE＝150，∴∠DCE＝150－60＝90. ∵∠DEC＝45，∴△DCE為等腰直角三角形．∴CD＝CE＝BC. ∵∠BCE＝150，∴∠EBC＝＝15. ∴∠EBC＝30－α＝15， ∴α＝30.