第一講 圓的周長與面積（一）【知識概述】 圓是由曲線圍成的平面圖形。在日常生活和學(xué)習(xí)中我們經(jīng)常會遇到與圓的周長和面積有關(guān)的問題。圓的周長除以它的直徑的商是一個固定不變的數(shù)，這個結(jié)果被稱為“圓周率”。圓周率是一個無限不循環(huán)的小數(shù)，用字母“”表示，圓的周長=圓周率x直徑，即C=d或C=2r。圓的面積等于圓周率與半徑平方的乘積，即S=。下圖圓的陰影部分是一個扇形，它的面積是一個圓的面積的四分之一，它的周長是圓周長的四分之一再加上兩條半徑的長?！纠}精學(xué)】例1：把4個啤酒瓶扎在一起（如圖所示）捆4圈至少用繩子多少厘米？ (接頭部分用去15厘米）思路點撥：用繩子捆4圈的長度就是指周長的4倍。這個圖形的周長可分為兩類：線段的長度和弧的長度。而這四條弧正好可以拼成一個圓，每條線段的長正好是圓的直徑的長。所以繩子捆1圈的長度就是圖中一個圓的周長加上4條直徑的長度之和。 【同步精煉】1、 計算下雨中陰影部分的周長。（單位：厘米）2、 一個街心花園如下圖的形狀,中間正方形的邊長是 20 米,四周為半圓 形,這個街心花園的周長是多少米?3、 在學(xué)校200米的跑道中,每條跑道寬1.2米.由于有彎道,為了公平,外道和內(nèi)道選手的起跑線不在同一地點.如：A點處是小明的起跑線,B是小強的起跑線,AB兩點的距離是?例2：如下圖，從點A到點B沿著大圓走和沿著中,小圓周走的路程相同嗎?思路點撥：從點A到點B有兩種走法：第一種是大圓的周長的一半；第二種是由A到C的中圓周長的一半與C到B的小圓周長的一半的和。設(shè)小圓的直徑為a，中原的直徑為b，則大圓的直徑為a+b。那么第一種走法的路程為C1=a2+b2；第二種走法的路程為C2=a2+b2，所以C1=C2. 【同步精煉】1、 下圖中，從A點到B點沿著大圓周走和沿著小圓周走，路程相同嗎？2、 已知AB=50cm，求圓中各圓的周長總和。3、 已知一個大圓中緊緊的排列著三個半徑不同的小圓（如圖），并且這四個圓的圓心恰好在同一條直線上。如果大圓的周長是30cm，那么三個小圓的周長之和是多少？例3：將半徑分別是3厘米和2厘米的兩個半圓按下圖形狀放置，求陰影部分的周長。思路點撥：陰影部分的周長為小半圓的弧長加上大半圓的弧長，再加上兩條線段的長。 兩個半圓的弧長是223.142+233.142=15.7（厘米） 兩條線段的長是3+（22-3）=4（厘米）這樣就求出陰影部分的周長了?！就骄珶挕?、 一個半圓的周長是20.56厘米，這個半圓的直徑是多少厘米？2、 以B與C為圓心的兩個半圓的直徑都是4分米，求陰影部分的周長。3、 下圖中圓的面積等于長方形的面積，已知圓的周長是36厘米，那么圖中的陰影部分的周長是多少厘米？例3：下圖是由正方形和半圓組成的圖形，其中P點為半圓的中點，Q點為正方形一邊上的中點，那么陰影部分的面積是多少？（單位：厘米）思路點撥：求陰影部分的面積最常用的方法叫做“排空法”。所謂排空法就是指用圖形外圍的面積減去空白部分的面積就是陰影部分的面積。此題中圖形外圍的面積應(yīng)該是正方形和半圓面積之和，比較好求。空白部分是個不規(guī)則的四邊形，我們可以用分割的方法把它分成幾塊基本圖形再求面積。連接BP，則圖中陰影部分面積可以用正方形與半圓面積的和減去三角形ABP與三角形BPQ的面積之和?！就骄珶挕?、 下圖小半圓的半徑為4厘米，求陰影部分的面積。2、 下圖中三角形的面積是12平方厘米，求陰影部分的面積。第二講 圓的周長與面積（二）【知識概述】 在上一講中，我們知道了求陰影部分面積常用的方法是“排空法”。除此之外，還經(jīng)常用到“二次求差法”、“平移旋轉(zhuǎn)法”。所謂“二次求差法”就是利用“排空法”求圖中陰影部分的面積，而空白部分的面積也要通過兩個圖形面積相減求得。有些不規(guī)律的組合圖形（或陰影部分）的面積計算，無法直接或較難直接求得，但是通過將這些圖形分割，或?qū)⑦@些圖形平移、旋轉(zhuǎn)后重新組成一個面積大小不變的新圖形，這時面積很容易求得。這種方法就是“平移旋轉(zhuǎn)法”。【例題精學(xué)】例1：在長方形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE的半徑AE=6厘米，扇形CBF的半徑CF=4厘米，求圖中陰影部分的面積。思路點撥：觀察圖形，不難看出圖中的陰影部分面積可以用扇形ABE的面積減去空白部分ABFD的面積，而空白部分ABFD的面積又可以用長方形ABCD的面積減去扇形BCF的面積，這就是“二次求差法”的利用?！就骄珶挕?、 如下圖，扇形AFB恰為一個圓的四分之一，BCDE是正方形，AFBG是正方形，則圖中陰影部分的面積是多少？（單位：厘米）2、 求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）3、 下圖正方形的邊長是4厘米，求陰影部分的面積。例2：如下圖，OA,OB分別是小半圓的直徑，且OA=OB=6厘米，BOA=90，陰影部分的面積是多少平方厘米？思路點撥：連接AB與CO(如右圖)，經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)：陰影部分a的面積與空白部分b的面積相等，陰影部分c的面積與空白面積d的面積相等。這樣a和c就可以移至b和d的位置。原圖的陰影部分的面積就可以轉(zhuǎn)化為三角形ABO的面積?！就骄珶挕?、 求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）2、 2、求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）3、 如下圖，半徑分別為2,3,4厘米的同心圓被八等分，求陰影部分的面積。例3：已知正方形的邊長為10厘米，以兩條邊長為直徑作兩個半圓（如下圖），求陰影部分的面積。思路點撥：有些學(xué)生面臨這道題時可能會想到“排空法”，即用正方形的面積減去空白部分的面積，但解題時就會發(fā)現(xiàn)求空白部分的面積是比較麻煩的。我們利用正方形的對稱性連接正方形的對角線，把其中一塊陰影部分分割成和兩個部分。（如下圖） 而可以逆時針旋轉(zhuǎn)90移至處，順時針旋轉(zhuǎn)90移至處。這樣，通過分割和旋轉(zhuǎn)的方法，可以把原圖中的陰影部分拼成一個三角形，再求這個三角形的面積就簡單多了。【同步精煉】1、求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）2、求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）3、求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）例4：下圖中兩塊陰影部分的面積相等，三角形ABC是直角三角形，BC是直徑，長40厘米，求AB的長度。思路點撥：由圖中兩塊陰影部分的面積相等可知：三角形ABC的面積=陰影部分面積（）+空白部分面積（）；半圓的面積=陰影部分面積（）+空白部分面積（）。這說明三角形ABC的面積等于半圓的面積。求出半圓的面積也就知道了三角形ABC的面積。再根據(jù)“高=三角形面積2底”就可以求出AB的長了。【同步精煉】1、 下圖中三角形ABC是直角三角形，陰影（）比陰影（）的面積小23平方米，BC的長度是多少米？2、 在下圖中，直角三角形ABC的直角邊AB是圓的直徑，且AB=20厘米，如果陰影（）比陰影（）的面積大7厘米，求BC的長。3、 在下圖中，長方形的寬為1厘米，以B點喝C點為圓心，以寬為半徑的扇形相較于點G，形成兩個陰影部分。已知兩個陰影部分的面積相等，求長方形的長。第三講 分數(shù)混合運算【知識概述】 在進行分數(shù)計算時，不僅要熟練地掌握四則運算的法則和運算定律，而且還常常要根據(jù)算式中數(shù)的特點和算式結(jié)構(gòu)，運用一些運算技巧，靈活選擇計算方法，使一些較復(fù)雜的分數(shù)計算化難為易、化繁為簡。【例題精學(xué)】例1： (1) 17 (2) 28 思路點撥：觀察這兩道題中數(shù)的特點，第(1)中的比1少，把寫成1減的差與17相乘，在運用乘法分配律使計算簡便；同樣，第(2) 中的28與中的分母相差1，把28分成27加1的和與相乘，在運用乘法分配律使計算簡便。【同步精煉】1、19 2、 36 3、126 4、 8 例2： 19981998 思路點撥：這道題先把帶分數(shù)化成假分數(shù)：1998 ，先不要急著算出分子，觀察數(shù)的特點，再去除1998算出最后結(jié)果?！就骄珶挕?、 238238 2、 19991999例3： 思路點撥：仔細觀察分子、分母中各數(shù)的特點，我們就會發(fā)現(xiàn)，分子1999+20001998=1999+2000（19991）=1999+200019992000=200019991，這樣就把分子轉(zhuǎn)化成與分母完全相同的式子，結(jié)果為1. 【同步精煉】1、 2、 例3： +思路點撥：在這道題中，每個分數(shù)的分子都是1，分母是兩個連續(xù)自然數(shù)的積。 =1， =， =， =， =，= 把每個分數(shù)都寫成兩個分數(shù)的差，使部分分數(shù)相互抵消，使計算簡便?！就骄珶挕?、+ 3、1+2、+第四講 分數(shù)混合運算 稍復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題【知識概述】 有些稍微復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題中的兩個或兩個以上單位“1”的量，這時一般先用轉(zhuǎn)換法統(tǒng)一單位“1”，有時還要根據(jù)解題需要，把分率轉(zhuǎn)化成比，然后才能進行解答?！纠}精學(xué)】例1：甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，結(jié)果甲捐了另外三人總數(shù)的一半，乙捐了另外三人總數(shù)的，丙捐了另外三人總數(shù)的，丁捐了91元。甲、乙、丙、丁四人共捐了多少元？思路點撥：根據(jù)題意可知，甲、乙、丙、丁四人捐款的總數(shù)是一定的，把四人的總數(shù)看成單位“1”?！凹拙枇肆硗馊丝倲?shù)的一半”，則甲的捐款是四人捐款總數(shù)的，同理，乙的捐款是四人捐款總數(shù)的，而丙的捐款是四人捐款總數(shù)的。那么我們就可以求出丁捐的91元所對應(yīng)的分率，在求出四人的捐款總數(shù)。【同步精煉】1、甲、乙、丙、丁四個數(shù)，甲數(shù)是其他三個數(shù)之和的，乙數(shù)是其他三個數(shù)之和的，丙數(shù)是其他三個數(shù)之和的，已知丁數(shù)是260，則四個數(shù)的和是多少？甲數(shù)是多少？2、三個小朋友合買一枚價值24元的2012年奧運會紀念章，第一個孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的一半，第二個孩子付的錢是其他孩子付的總錢數(shù)的。問：第三個孩子付了多少元？3、 學(xué)校有數(shù)學(xué)、氣象、航模三個興趣小組，其中數(shù)學(xué)小組的人數(shù)是其他兩組人數(shù)的，氣象小組的人數(shù)是其他兩組人數(shù)的，航模小組比數(shù)學(xué)小組少3人。三個小組共有多少人？例2：乙隊原有的人數(shù)是甲隊的?，F(xiàn)在甲隊派30人到乙隊，則乙隊人數(shù)是甲隊的。原來兩隊一共有多少人？思路點撥：當“甲隊派30人到乙隊” 后，甲、乙兩隊的人數(shù)都發(fā)生了變化，但是兩隊的總?cè)藬?shù)沒有變化，因此我們把甲、乙兩隊的總?cè)藬?shù)看成單位“1” ?！耙谊犜械娜藬?shù)是甲隊的” ，則乙隊占總?cè)藬?shù)的，后來乙隊占總?cè)藬?shù)的，求出30人所對應(yīng)的分率，再求出原來的總?cè)藬?shù)。【同步精煉】1、甲、乙兩個糧庫，甲糧庫庫存的噸數(shù)是乙糧庫的?，F(xiàn)在從乙糧庫調(diào)6噸糧食到甲糧庫，則甲糧庫存糧的噸數(shù)是乙糧庫的。原來兩個糧庫各存糧多少噸？2、甲、乙兩人共有郵票若干枚，其中甲占，若乙給甲12枚，則乙余下的枚數(shù)占總數(shù)的。兩人共有郵票多少枚？3、六（一）班在一次聚會中，請假人數(shù)是出席人數(shù)的，中途又有一人離開，這樣請假人數(shù)是出席人數(shù)的。六（一）班共有多少人？例3：一堆糖果，其中奶糖占，再放入16塊水果糖后，奶糖就只占。這一堆糖果原來一共有多少塊？思路點撥：解答這道題時，應(yīng)該抓住奶糖不變這個條件。因為在總塊數(shù)發(fā)生變化的情況下，有變化的是水果糖的塊數(shù)，而奶糖的塊數(shù)沒有變，所以應(yīng)該把奶糖的塊數(shù)看成單位“1”，通過水果糖塊數(shù)的變化，求出奶糖的塊數(shù)，最后求出糖的總塊數(shù)?！就骄珶挕?、 袋里有若干個球，其中紅球占，后來又往袋里放了6個紅球，這時紅球占總數(shù)的。原來袋里有多少個球？2、 某科技發(fā)明興趣小組中女生占，后來又轉(zhuǎn)來了15名女生，這樣女生占總?cè)藬?shù)的。這個興趣小組男生有多少人？3、 科技活動小組中，女生人數(shù)占，后來又轉(zhuǎn)來了4名女生，這時女生人數(shù)占小組人數(shù)的。這個科技活動小組男生有多少人？現(xiàn)在共有多少人？例4：兩個筑路隊合修一條公路，甲隊修的相當于乙隊修的。甲隊比乙隊多修了10千米，兩隊共修了多少千米？思路點撥：因為甲隊修的路=乙隊修的路，所以甲隊修的路 ：乙隊修的路=：=5：4，甲隊修了5份，乙隊修了4份，總共9份?！凹钻牨纫谊牰嘈蘖?0千米”，甲隊比乙隊多修了1份，那么1份就是10千米，一共9份，就是90千米。【同步精煉】1、 兩袋大米，第二袋比第一袋重15千克，已知第一袋大米的恰好與第二袋大米的相等。兩袋大米各重多少千克？2、 桃樹棵數(shù)的和梨樹棵數(shù)的相等。兩種果樹各有多少棵？3、 兩根繩子共長27米，如果從第一根繩子上剪下，從第二根繩子上剪下3米，那么兩根繩子剩下的部分一樣長。兩根繩子原來各長多少米？第五講 觀察物體【知識概述】1、 物體的三視圖：將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對著物體看過去，將所見物體的輪廓用正投影法繪制出來，該圖形稱為視圖。一個物體有六個視圖：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖（正視圖）能反映物體的前面形狀，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖能反映物體的上面形狀，還有其他三個視圖不是很常用。三視圖就是主視圖（正視圖）、俯視圖、左視圖（側(cè)視圖）的總稱。2、 觀察位置由低到高的變化，所觀察到物體的畫面也發(fā)生相應(yīng)的變化。觀察物體的時候，站的越高，看到的物體完整。3、 觀察位置由遠到近變化，所觀察景物的范圍也相應(yīng)變化。觀察物體的時候，距離越近，觀察到的景物越大，觀察景物范圍越小；距離越遠，觀察到的景物越小，觀察景物范圍越大。4、 識別和判斷拍攝地點與照片中的對應(yīng)關(guān)系：可以假設(shè)自己在拍攝地點處，根據(jù)圖中景物特點，聯(lián)系自己的生活經(jīng)驗，想想究竟能看到什么，再下結(jié)論。判斷照片拍攝的先后順序時可以假設(shè)自己隨著拍攝者的行走路線游覽，想象自己先看到哪些景物，從而判斷出照片拍攝的先后順序?！纠}精學(xué)】例1：從正面看是（ ），從上面看是（ ），從側(cè)面看是（ ）。在下面中選擇。 思路點撥： 假想自己站在每個方位看一看。從正面看到的應(yīng)該是C答案所示圖形，從上面看到的應(yīng)該是E所示圖形，從側(cè)面看（一般指左側(cè)面）看到的應(yīng)該是A所示圖形?！就骄珶挕?、 用六個同樣大小的正方體分別擺成下面的樣子。從（ ）面和（ ）面看，這三個物體的形狀完全相同；從（ ）面看，這三個物體的形狀不同。2、 (1)從側(cè)面看到的是的圖形的物體有（ ）(2)從上面看到的是的的圖形的物體有（ ）從上面看到的是的的圖形的物體有（ ）從上面看到的是的的圖形的物體有（ ）(3)從左面看到的是的的圖形的物體有（ ）3、連一連。例2：一個立體圖形從上面看到的是，從側(cè)面看到的是，從正面看到的是，搭這個立體圖形至少要用幾個？思路點撥：從上面看到的是，說明至少要用4個，并且擺一擺，從正面看到的是，說明有兩層，在第二層上至少要放一個，為方便表述，把第一層的四個小正方體編號，那么第二層的這個小正方體要擺在1號或者3號上；從側(cè)面（左側(cè)面）看到的是，也說明了要擺兩層，第二層上至少擺一個，要擺在1號或者2號上，綜合起來看，這個立體圖形一共由5個組成，第一層擺4個，第二層擺1個，放在1號上，可以表示成?！就骄珶挕?、一個立體圖形從正面看是，從上面看是，從側(cè)面看是，搭這個立體圖形至少要用幾個？2、一個立體圖形從正面看是，從上面看是，從側(cè)面看是，搭這個立體圖形至少要用幾個？3.有一個立體圖形，從正面、左面、上面看到的形狀分別如下：例3： 小明在草地上連續(xù)拍攝了正在行駛的一輛汽車的一組照片。上面三幅圖照片按照拍攝時間的先后順序排列是： 思路點撥： 判斷照片先后順序時，可以假設(shè)自己隨著拍攝者的行走路線，想象自己先看到哪些景物，再看到哪些景物，從而判斷出照片拍攝的先后順序。那么，圖中應(yīng)該先看到的是汽車的正面，然后汽車從身邊經(jīng)過，最后看到的是汽車的尾部。所以上面三幅站片按照拍攝時間的先后順序排列是312.【同步精煉】1、 觀察下面三張照片，然后回答問題。 這三張照片按照從遠到近的排列順序是（ ），其中（ ）號照片應(yīng)該是在樹下拍到的。2、 小雨沿著臺階向一座建筑物走上去，在下面的兩幅圖中，哪幅是在A處看到的，哪幅是在B處看到的？例4：數(shù)一數(shù)，下圖是由多少個小正方體組成的？思路點撥：可以一層一層地數(shù)，在數(shù)每一層時，應(yīng)先數(shù)每排有幾個，有幾排，最后再相加。圖中第一層有三排，第一排1個，第2,3排都是3個，第一層一共7個；第二層有2排，第一排1個，第二排3個。第二層一共4個；第三層有一排，一共2個，所以三層一共有13個小正方體?！就骄珶挕康诹v 百分數(shù)（利息和稅收）【知識概述】同學(xué)們【例題精學(xué)】例1：