命題與證明一、選擇題1.下列說法正確的是（ ） A.真命題的逆命題是真命題B.原命題是假命題，則它的逆命題也是假命題C.定理一定有逆定理D.命題一定有逆命題【答案】D 【解析】 ：A、真命題的逆命題可能是真命題，也可能是假命題，故A不符合題意；B、原命題是假命題，則它的逆命題可能是假命題，也可能是真命題，故B不符合題意；C、逆定理一定是真命題，定理不一定有逆定理，故C不符合題意；D、任意一個命題都有逆命題；故D符合題意；故答案為：D【分析】根據把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題，用邏輯方法判斷為正確的命題叫定理，任何命題都有逆命題，對各選項逐一判斷即可。2.下列命題為真命題的是（ ）。 A.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例B.相似三角形面積之比等于相似比C.對角線互相垂直的四邊形是菱形D.順次連結矩形各邊的中點所得的四邊形是正方形【答案】A 【解析】 ：A.根據平行線分線段成比例定理即可判斷正確，A符合題意；B.相似三角形面積之比等于相似比的平方，故錯誤，B不符合題意；C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯誤，C不符合題意；D.順次連結矩形各邊的中點所得的四邊形是正菱形，故錯誤，D不符合題意；故答案為:A.【分析】A.根據平行線分線段成比例定理即可判斷對錯；B.根據相似三角形的性質即可判斷對錯；C.根據菱形的判定即可判斷對錯；D.根據矩形的性質和三角形中位線定理即可判斷對錯；3.用反證法證明時，假設結論“點在圓外”不成立，那么點與圓的位置關系只能是（ ） A.點在圓內B.點在圓上C.點在圓心上D.點在圓上或圓內【答案】D 【解析】 ：點與圓的位置關系只有三種：點在圓內、點在圓上、點在圓外，如果點不在圓外，那么點就有可能在圓上或圓內故答案為D【分析】運用反證法證明，第一步就要假設結論不成立，即結論的反面，要考慮到反面所有的情況。4.下列語句中，是命題的是（ ）若 1=60 ， 2=60 ，則 1= 2；同位角相等嗎；畫線段AB=CD；一個數能被2整除，則它也能被4整除；直角都相等 A.B.C.D.【答案】A 【解析】 ：若 1=60 ， 2=60 ，則 1= 2；它是命題；同位角相等嗎，不是命題；畫線段AB=CD，不是命題；一個數能被2整除，則它也能被4整除，是命題；直角都相等是命題；故事命題的有：故答案為：A【分析】根據命題是判斷一件事情的語句，構成命題必須有已知條件和結論，逐一判斷即可求解。5.某屆世界杯的小組比賽規(guī)則：四個球隊進行單循環(huán)比賽（每兩隊賽一場），勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某小組比賽結束后，甲、乙，丙、丁四隊分別獲得第一，二，三，四名，各隊的總得分恰好是四個連續(xù)奇數，則與乙打平的球隊是（ ） A.甲B.甲與丁C.丙D.丙與丁【答案】B 【解析】 ：小組賽一共需要比賽場，由分析可知甲是最高分，且可能是9或7分，當甲是9分時，乙、丙、丁分別是7分、5分、3分，因為比賽一場最高得分3分，所以4個隊的總分最多是63=18分，而9+7+5+3>18，故不符合；當甲是7分時，乙、丙、丁分別是5分、3分、1分，7+5+3+1<18，符合題意，因為每人要參加3場比賽，所以甲是2勝一平，乙是1勝2平，丁是1平2負，則甲勝丁1次，勝丙1次，與乙打平1次，因為丙是3分，所以丙只能是1勝2負，乙另外一次打平是與丁，則與乙打平的是甲、丁故答案是B?！痉治觥啃枰评沓黾?、乙、丙、丁四人的分數：每個人都要比賽3場，要是3場全勝得最高9分，根據已知“甲、乙，丙、丁四隊分別獲得第一，二，三，四名”和“各隊的總得分恰好是四個連續(xù)奇數”，可推理出四人的分數各是多少，再根據勝、平、負一場的分數去討論打平的場數。6.甲、乙、丙、丁4人進行乒乓球單循環(huán)比賽（每兩個人都要比賽一場），結果甲勝了丁，并且甲、乙、丙勝的場數相同，則丁勝的場數是（ ） A.3B.2C.1D.0【答案】D 【解析】 ：四個人共有6場比賽，由于甲、乙、丙三人勝的場數相同，所以只有兩種可能性：甲勝1場或甲勝2場；若甲只勝一場，這時乙、丙各勝一場，說明丁勝三場，這與甲勝丁矛盾，所以甲只能是勝兩場，即：甲、乙、丙各勝2場，此時丁三場全敗，也就是勝0場答：甲、乙、丙各勝2場，此時丁三場全敗，丁勝0場故答案為：D【分析】分類討論：甲、乙、丙、丁4人進行乒乓球單循環(huán)比賽，故四個人共有6場比賽，由于甲、乙、丙三人勝的場數相同，所以只有兩種可能性：若甲只勝一場，這時乙、丙各勝一場，說明丁勝三場，這與甲勝丁矛盾；甲勝兩場，則乙、丙各勝2場，此時丁三場全敗，也就是勝0場綜上所述即可得出答案。7.否定“自然數a、b、c中恰有一個偶數”時的正確反設為( ) A.a、b、c都是奇數B.a、b、c或都是奇數或至少有兩個偶數C.a、b、c都是偶數D.a、b、c中至少有兩個偶數【答案】B 【解析】 a，b，c三個數的奇、偶性有以下幾種情況：全是奇數；有兩個奇數，一個偶數；有一個奇數，兩個偶數；三個偶數因為要否定，所以假設應為“全是奇數或至少有兩個偶數”故答案為：B.【分析】因為a，b，c三個數的奇、偶性有以下幾種情況：全是奇數；有兩個奇數，一個偶數；有一個奇數，兩個偶數；三個偶數。根據命題的否定形式可知“自然數a、b、c中恰有一個偶數”時的正確反設為“a、b、c或都是奇數或至少有兩個偶數”。8.對于命題“已知：ab，bc，求證：ac”如果用反證法，應先假設（ ） A.a不平行bB.b不平行cC.acD.a不平行c【答案】D 【解析】 ：對于命題“已知：ab，bc，求證：ac”如果用反證法應先假設a不平行c故答案為：D【分析】根據反證法的第一步就是假設結論的反面，即可得出答案。9.下列命題是真命題的是（ ） A.如果a+b=0，那么a=b=0B.的平方根是4C.有公共頂點的兩個角是對頂角D.等腰三角形兩底角相等【答案】D 【解析】 A、如果a+b=0，那么a=b=0，或a=b，錯誤，為假命題；B、 =4的平方根是2，錯誤，為假命題；C、有公共頂點且相等的兩個角是對頂角，錯誤，為假命題；D、等腰三角形兩底角相等，正確，為真命題；故答案為：D【分析】A根據等式的性質判斷；B根據算術平方根和平方根判斷；C根據對頂角的定義判斷；D根據等腰三角形的性質判斷.10.有下列命題：若x2=x，則x=1；若a2=b2 ， 則a=b；線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；相等的弧所對的圓周角相等；其中原命題與逆命題都是真命題的個數是（ ） A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】B 【解析】 ：若x2=x，則x=1或x=0，所以錯誤；若a2=b2 ， 則a=b，所以錯誤；線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，所以正確；相等的弧所對的圓周角相等，所以正確四個命題的逆命題都是真命題故答案為：B【分析】（1）根據一元二次方程的根的判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根可知，方程漏掉了一個根；（2）根據平方根的意義可得a=b；（3）線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；線段的垂直平分線的判定：到線段兩端點距離相等的點在這個角的平分線上；（4）根據圓周角定理和圓周角和弧之間的關系可知：相等的弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。11.下列命題是假命題的是（ ） A.對頂角相等B.兩直線平行，同旁內角相等C.平行于同一條直線的兩直線平行D.同位角相等，兩直線平行【答案】B 【解析】 ：A對頂角相等是真命題，故本選項正確，A不符合題意；B兩直線平行，同旁內角互補，故本選項錯誤，B符合題意；C平行于同一條直線的兩條直線平行是真命題，故本選項正確，C不符合題意；D同位角相等，兩直線平行是真命題，故本選項正確，D不符合題意故答案為：B【分析】本題是讓選假命題，也就是在題設的條件下得到錯誤的結論. 兩直線平行同旁內角互補而不是相等.12.下列語句中，不是命題的是（ ） A.生活在水里的動物是魚B.若直線ab，b c，則acC.作已知線段的垂直平分線D.對頂角相等【答案】A 【解析】 ：根據命題的定義判斷：A、是判斷一件事情的句子，A不符合題意；B、是判斷一件事情的句子，B不符合題意；C、是作圖語句，C符合題意；D、是判斷一件事情的句子，D不符合題意。故答案為：C。【分析】命題：一般地，判斷某一件事情的句子叫做命題。命題分真命題和假命題。二、填空題 13. 命題：“如果m是整數，那么它是有理數”，則它的逆命題為：_ 【答案】“如果m是有理數，那么它是整數” 【解析】 ：命題：“如果m是整數，那么它是有理數”的逆命題為“如果m是有理數，那么它是整數” 故答案為“如果m是有理數，那么它是整數”【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題14. 下列四個命題中：對頂角相等；同旁內角互補；全等三角形的對應角相等；兩直線平行，同位角相等，其中假命題的有_（填序號） 【答案】 【解析】 ：對頂角相等是真命題；同旁內角互補是假命題；全等三角形的對應角相等是真命題；兩直線平行，同位角相等是真命題；故假命題有，故答案為：【分析】要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可15.寫出命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的一個反例：_ 【答案】兩個銳角的度數分別為20，30 【解析】 ：若兩個銳角的度數分別為20，30則這兩個角的和為50，50的角是銳角故答案為：兩個銳角的度數分別為20，30（答案不唯一）【分析】根據題意寫出兩個銳角的和是直角或銳角即可。16.命題“如果兩個角都是直角,那么這兩個角相等”的逆命題_. 【答案】如果兩個角相等，那么這兩個角是直角。 【解析】 ：原命題是：如果兩個角都是直角,那么這兩個角相等它的逆命題是;如果兩個角相等，那么這兩個角是直角?！痉治觥繉⒃}的題設和結論互換，再寫成如果，那么的形式即可。17.命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是_命題.(填“真”或“假”) 【答案】假 【解析】 原命題的逆命題為：面積相等的兩個三角形為全等三角形，則這個命題為假命題.【分析】首先將原命題改寫成如果那么的形式，然后根據原命題與逆用的關系，將原命題的題設和結論交換位置得到其逆命題：面積相等的兩個三角形為全等三角形；再根據已有知識判斷此命題顯然是假命題。18.把命題“對頂角相等”改寫成“如果 那么 ”的形式：_ 【答案】如果兩個角是對頂角，那么它們相等 【解析】 ：題設為：對頂角，結論為：相等，故寫成“如果 那么 ”的形式是：如果兩個角是對頂角，那么它們相等，故答案為：如果兩個角是對頂角，那么它們相等【分析】根據命題的構成可知題設為：對頂角，結論為：相等，所以用“如果 那么 ”的形式可表示為：如果兩個角是對頂角，那么它們相等。19.用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：ABC9090C>180，這與三角形內角和為180相矛盾，則AB90不成立；所以一個三角形中不能有兩個直角；假設A，B，C中有兩個角是直角，不妨設AB90.正確順序的序號排列為_ 【答案】 【解析】 由反證法證明的步驟知，先反證即，再推出矛盾即，最后作出判斷，肯定結論即，即順序應為【分析】根據反證法的步驟，首先假設結論不成立，其次用已學的知識或已知條件得到與假設或已學的知識或已知條件相矛盾的結論，那么原命題成立。所以正確順序的序號排列。20. 如圖，圖中二次函數解析式為y=ax2+bx+c（a0）則下列命題中正確的有_（填序號）abc0；b24ac；4a2b+c0；2a+bc【答案】 【解析】 ：拋物線開口向上，拋物線的對稱軸在y軸右側，拋物線與y軸交于y軸負半軸，a0， 0，c0，b0，abc0，正確；拋物線與x軸有兩個不同交點，=b24ac0，b24ac，錯誤；當x=2時，y=4a2b+c0，正確；0 1，2ab0，2a+b0c，正確故答案為：【分析】本題考查了二次函數圖象與系數的關系以及命題與定理，觀察函數圖象，根據二次函數圖象與系數的關系逐一分析四條結論判斷正誤即可.三、解答題 21.已知命題：“如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，則ABDE”判斷這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請給出證明；如果是假命題，在不添加其他輔助線的情況下，請?zhí)砑右粋€適當的條件使它成為真命題，并加以證明【答案】解：如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，則ABDE，是假命題，當添加：B=E時，ABDE，理由：B=E，ABDE 【解析】【分析】根據平行線的判定定理即可得出結論。22. 如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在ABCD；AO=CO；AD=BC中任意選取兩個作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結論構造命題 （1）以作為條件構成的命題是真命題嗎？若是，請證明；若不是，請舉出反例； （2）寫出按題意構成的所有命題中的假命題，并舉出反例加以說明（命題請寫成“如果，那么”的形式） 【答案】（1）解：以作為條件構成的命題是真命題， 證明：ABCD，OAB=OCD，在AOB和COD中，AOBCOD（ASA），OB=OD，四邊形ABCD是平行四邊形（2）解：根據作為條件構成的命題是假命題，即如果有一組對邊平行，另一組對邊相等，那么四邊形是平行四邊形，如等腰梯形符合，但不是平行四邊形； 根據作為條件構成的命題是假命題，即如果一個四邊形ABCD的對角線交于O，且OA=OC，AD=BC，那么這個四邊形是平行四邊形，如圖，根據已知不能推出OB=OD或ADBC或AB=DC，即四邊形不是平行四邊形【解析】【分析】（1）根據平行得出全等三角形，即可求出OB=OD，根據平行四邊形的判定推出即可；（2）根據等腰梯形和平行四邊形的判定判斷即可23. 正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角DAG=，其中0180，連結DF，BF，如圖 （1）若=0，則DF=BF，請加以證明； （2）試畫一個圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題； （3）對于（1）中命題的逆命題，如果能補充一個條件后能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認為需要補充的一個條件，不必說明理由 【答案】（1）證明：如圖1，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形， AG=AE，AD=AB，GF=EF，DGF=BEF=90，DG=BE，在DGF和BEF中，DGFBEF（SAS），DF=BF（2）解：圖形（即反例）如圖2， （3）解：補充一個條件為：點F在正方形ABCD內； 即：若點F在正方形ABCD內，DF=BF，則旋轉角=0 【解析】【分析】（1）利用正方形的性質證明DGFBEF即可；（2）當=180時，DF=BF（3）利用正方形的性質和DGFBEF的性質即可證得是真命題