小專(zhuān)題14教材P124復(fù)習(xí)題T13的變式與應(yīng)用【教材母題】如圖，點(diǎn)E是ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和ABC的外接圓相交于點(diǎn)D.求證：DEDB.證明：連接BE，由點(diǎn)E是ABC的內(nèi)心可知BADCAD.CADCBD，BADCBD.又ABECBE，BADABECBECBD.BEDEBD.DEDB.【問(wèn)題延伸1】寫(xiě)出BED與C的關(guān)系：BED90C【問(wèn)題延伸2】設(shè)AD交BC于點(diǎn)F，AD為ABC外接圓的直徑，G為AB上一點(diǎn)，且ADGC.若BG3，AG5，求DE的長(zhǎng)解：易證AD垂直平分BC，ADGCADB，DG平分ADB.由(1)知BDDE，DG垂直平分BE.連接GE，BGGE，DEGDBG90.BG3，AG5，GE3.AE4.設(shè)BDDEx，則x282(x4)2，解得x6.DE6.1(臨沂中考)如圖，BAC的平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)D，ABC的平分線交AD于點(diǎn)E.(1)求證：DEDB；(2)若BAC90，BD4，求ABC外接圓的半徑解：(1)解答同教材母題解答(2)連接DC，BAC90，BC是直徑BDC90.BADCAD，BD4，BDCD4.BC4.外接圓的半徑為2.2如圖，O為ABC的外接圓，BC為直徑，AD平分BAC交O于點(diǎn)D，點(diǎn)M為ABC的內(nèi)心(1)求證：BCDM；(2)若DM5，AB8，求OM的長(zhǎng)解：(1)證明：連接MC，DB，DC.點(diǎn)M為ABC的內(nèi)心，MC平分ACB.ACMBCM.BC為直徑，BAC90.AD平分BAC，BADCADBAC45.DBCBCD45.BDC為等腰直角三角形BCDC.又DMCMACACM45ACM，而DCMBCDBCM45BCM，DMCDCM.DCDM.BCDM.(2)作MFBC于點(diǎn)F，MEAC于點(diǎn)E，MHAB于點(diǎn)H，連接OM.DM5，BCDM10.而AB8，AC6.設(shè)ABC的內(nèi)切圓半徑為r，點(diǎn)M為ABC的內(nèi)心，MHMEMFr.四邊形AHME為正方形AHAEr，則CECF6r，BHBF8r.而B(niǎo)FFCBC，8r6r10，計(jì)算得出r2.MF2，CF624，OC5，OF541.在RtOMF中，OM.小專(zhuān)題15與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明1(懷化中考)如圖，在RtABC中，BAC90.(1)先作ACB的平分線交AB邊于點(diǎn)P，再以點(diǎn)P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑作P；(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)(2)請(qǐng)你判斷(1)中BC與P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：(1)如圖所示，P為所求的圓(2)BC與P相切，理由：過(guò)P作PDBC，垂足為D，CP為ACB的平分線，且PAAC，PDCB，PDPA.PA為P的半徑，BC與P相切2(永州中考)如圖，已知AB是O的直徑，過(guò)O點(diǎn)作OPAB，交弦AC于點(diǎn)D，交O于點(diǎn)E，且使PCAABC.(1)求證：PC是O的切線；(2)若P60，PC2，求PE的長(zhǎng)解：(1)證明：連接OC，AB是O的直徑，ACB90，BCOACO90.OCOB，BBCO.PCAABC，BCOACP.ACPOCA90.OCP90，即OCPC.OC為O的半徑，PC是O的切線(2)P60，PC2，PCO90，OC2，OP2PC4.PEOPOEOPOC42.3(黃石中考)如圖，O是ABC的外接圓，BC為O的直徑，點(diǎn)E為ABC的內(nèi)心，連接AE并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)D，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得BDDF，連接CF，BE.求證：(1)DBDE；(2)直線CF為O的切線證明：(1)E為ABC的內(nèi)心，DACDAB，CBEEBA.又DBCDAC，DBEDBCCBE，DEBEABEBA，DBEDEB.DBDE.(2)連接OD.BDDF，O是BC的中點(diǎn)，ODCF.又BC為O的直徑，OBOD，ODBDBODAC45.BCFBOD90.OCCF.又OC為O的半徑，直線CF為O的切線4(北京中考)如圖，AB為O的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點(diǎn)，連接OF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：ACDE；(2)連接CD，若OAAEa，寫(xiě)出求四邊形ACDE面積的思路解：(1)證明：ED與O相切于點(diǎn)D，ODDE.F為弦AC的中點(diǎn)，ODAC.ACDE.(2)連接AD，易知ADAO，又OAOD，AOD是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為a.可以進(jìn)一步求出AOD的面積為a2；根據(jù)點(diǎn)A是EO中點(diǎn)，可知EOD的面積是AOD面積的2倍，可得EOD的面積為a2；等量代換可得四邊形ACDE的面積為a2.5如圖所示，MN是O的切線，B為切點(diǎn)，BC是O的弦且CBN45，過(guò)C的直線與O，MN分別交于A，D兩點(diǎn)，過(guò)C作CEBD于點(diǎn)E.(1)求證：CE是O的切線；(2)若D30，BD22，求O的半徑r.解：(1)證明：連接OB，OC.MN是O的切線，OBMN.CBN45，OBC45，BCE45.OBOC，OBCOCB45.OCE90.又點(diǎn)C在O上，CE是O的切線(2)OBBE，CEBE，OCCE，四邊形BOCE是矩形又OBOC，四邊形BOCE是正方形BECEOBOCr.在RtCDE中，D30，CEr，DEr.BD22，rr22.解得r2.即O的半徑為2.6已知直線l與O，AB是O的直徑，ADl于點(diǎn)D.(1)如圖1，當(dāng)直線l與O相切于點(diǎn)C時(shí)，若DAC30，求BAC的大?。?2)如圖2，當(dāng)直線l與O相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，若DAE18，求BAF的大小解：(1)連接OC.直線l與O相切于點(diǎn)C，OCl.又ADl，ADOC.ACODAC30.OAOC，BACACO.BACDAC30.(2)連接BF.AEF為RtADE的一個(gè)外角，DAE18，AEFADEDAE9018108.四邊形ABFE是圓內(nèi)接四邊形，AEFB180.B18010872.AB是O的直徑，AFB90.BAF90B18.7(教材P102習(xí)題T12變式)如圖，AB是O的直徑，C為O上一點(diǎn)，AD與過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，AD交O于點(diǎn)E，DE2，CD4.(1)求證：AC平分BAD；(2)求O的半徑R；(3)延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)F，OHAC于點(diǎn)H.若F2ABH，則BH的長(zhǎng)為2(直接寫(xiě)出)解：(1)證明：連接OC，F(xiàn)D切O于點(diǎn)C.OCFD.ADFD.OCAD.ACODAC.OCOA，ACOCAO.DACCAO，即AC平分DAB.(2)作OGAE于點(diǎn)G，則AGEG.OGCD4，OCDGR.EGR2AG.在RtAGO中，(R2)242R2，R5.(3)提示：連接BE，AEB90.BEDF.FABE2ABH.BH平分ABE.又AC平分BAD.AHB135.CHB是等腰三角形BCCHAH.設(shè)BCx，AC2x，在RtABC中，x2(2x)2102，x2，BHCH2.