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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十八講 圓的基本性質(zhì) 到定點(圓心)等于定長(半徑)的點的集合叫圓，圓常被人們看成是最完美的事物，圓的圖形在人類進程中打下深深的烙?。? 圓的基本性質(zhì)有：一是與圓相關(guān)的基本概念與關(guān)系，如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等；二是圓的對稱性，圓既是一個軸對稱圖形，又是一中心對稱圖形．用圓的基本性質(zhì)解題應(yīng)注意： 1．熟練運用垂徑定理及推論進行計算和證明； 2．了解弧的特性及中介作用； 3．善于促成同圓或等圓中不同名稱等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化． 熟悉如下基本圖形、基本結(jié)論： 【例題求解】 【例1】在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC的長分別為和，則∠BAC度數(shù)為 ． 作出輔助線，解直角三角形，注意AB與AC有不同的位置關(guān)系． 注： 由圓的對稱性可引出許多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個，它溝通了線段、角與圓弧的關(guān)系，應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識結(jié) 合起來． 圓是一個對稱圖形，注意圓的對稱性，可提高解與圓相關(guān)問題周密性． 【例2】 如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( ) A． B． C． D． 思路點撥 所作最小圓圓心應(yīng)在對稱軸上，且最小圓應(yīng)盡可能通過圓形的某些頂點，通過設(shè)未知數(shù)求解． ⌒ ⌒ 【例3】 如圖，已知點A、B、C、D順次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求證：AM=DC+CM． 思路點撥 用截長(截AM)或補短(延長DC)證明，將問題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明，證題的關(guān)鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它． ⌒ 【例4】 如圖甲，⊙O的直徑為AB，過半徑OA的中點G作弦C E⊥AB，在CB上取一點D，分別作直線CD、ED，交直線AB于點F，M． (1)求∠COA和∠FDM的度數(shù)； ⌒ (2)求證：△FDM∽△； (3)如圖乙，若將垂足G改取為半徑OB上任意一點，點D改取在EB上，仍作直線CD、ED，分別交直線AB于點F、M，試判斷：此時是否有△FDM∽△? 證明你的結(jié)論． 思路點撥 (1)在Rt△COG中，利用OG=OA=OC；(2)證明∠=∠FDM，∠CMO= ∠FMD；(3)利用圖甲的啟示思考． 注：善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問題的重要技巧，此處，要努力把圓與直線形相合起來，認識到圓可為解與直線形問題提供新的解題思路，而在解與圓相關(guān)問題時常用到直線形的知識與方法(主要是指全等與相似)． 【例5】 已知：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B=∠CAE，EF：FD＝4：3． (1)求證：AF＝DF； (2)求∠AED的余弦值； (3)如果BD＝10，求△ABC的面積． 思路點撥 (1)證明∠ADE＝∠DAE；(2)作AN⊥BE于N，cos∠AED＝，設(shè)FE=4x，F(xiàn)D＝3x，利用有關(guān)知識把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示；(3)尋找相似三角形，運用比例線段求出x的值． 注：本例的解答，需運用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識方法思想，綜合運用直線形相關(guān)知識方法思想是解與圓相關(guān)問題的關(guān)鍵． 學歷訓練 1．D是半徑為5cm的⊙O內(nèi)一點，且OD＝3cm，則過點D的所有弦中，最小弦AB= ． 2．閱讀下面材料： 對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋． 對于平面圖形A，如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋． 例如：圖甲中的三角形被一個圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個圓所覆蓋． 回答下列問題： (1)邊長為lcm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm； (2)邊長為lcm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm； (3)長為2cm，寬為lcm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm． 3．世界上因為有了圓的圖案，萬物才顯得富有生機，以下來自現(xiàn)實生活的圖形中都有圓：它們看上去多么美麗與和諧，這正是因為圓具有軸對稱和中心對稱性． (1)請問以下三個圖形中是軸對稱圖形的有 ，是中心對稱圖形的有 (分別用下面三個圖的代號a，b，c填空)． (2)請你在下面的兩個圓中，按要求分別畫出與上面圖案不重復的圖案(草圖) (用尺規(guī)畫或徒手畫均可，但要盡可能準確些，美觀些)． a．是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形． b．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形． 4．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B兩點到直線CD的距離之和為( ) A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm 5．一種花邊是由如圖的弓形組成的，ACB的半徑為5，弦AB＝8，則弓形的高CD為( ) A．2 B． C．3 D． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 6．如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD與E的大小關(guān)系是（ ） A．AB+CD＝EF B．AB+CD=F C． AB+CDAC，D為BAC的中點，DE⊥AB于E，求證：BD2-AD2=ABAC． 17．將三塊邊長均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi)，則圓碟的直徑至少是多少?(不考慮其他因素，精確到0．1cm) 18．如圖，直徑為13的⊙O′，經(jīng)過原點O，并且與軸、軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB(OA>OB)的長分別是方程的兩根． ⌒ (1)求線段OA、OB的長； (2)已知點C在劣弧OA上，連結(jié)BC交OA于D，當OC2=CDCB時，求C點坐標； (3)在⊙O，上是否存在點P，使S△POD=S△ABD?若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由． 參考答案