4.3特殊三角形過關(guān)演練(30分鐘80分)1.(xx浙江湖州)如圖,AD,CE分別是ABC的中線和角平分線.若AB=AC,CAD=20,則ACE的度數(shù)是(B)A.20B.35C.40D.70【解析】AD是ABC的中線,AB=AC,CAD=20,CAB=2CAD=40,B=ACB=12(180-CAB)=70.CE是ABC的角平分線,ACE=12ACB=35.2.(xx江蘇宿遷)若實數(shù)m,n滿足等式|m-2|+n-4=0,且m,n恰好是等腰ABC的兩條邊的邊長,則ABC的周長是(B)A.12B.10C.8D.6【解析】|m-2|+n-4=0,m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4,當m=2作腰時,三邊為2,2,4,不符合三邊關(guān)系定理;當n=4作腰時,三邊為2,4,4,符合三邊關(guān)系定理,周長為2+4+4=10.3.(xx長沙)我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的著作數(shù)書九章里記載有這樣一道題:“問有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何?”這道題講的是有一塊三角形沙田,三條邊長分別為5里,12里,13里,問這塊沙田面積有多大?題中“里”是我國市制長度單位,1里=500米,則該沙田的面積為(A)A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米【解析】52+122=132,三條邊長分別為5里,12里,13里,構(gòu)成了直角三角形,這塊沙田面積為12550012500=7500000(平方米)=7.5(平方千米).4.(xx陜西)如圖,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足為D,ABC的平分線交AD于點E,則AE的長為(C)A.423B.22C.823D.32【解析】ADBC,ADC=ADB=90.在RtADC中,AC=8,C=45,AD=CD,AD=22AC=42.在RtADB中,AD=42,ABD=60,BD=33AD=463.BE平分ABC,EBD=30.在RtEBD中,BD=463,EBD=30,DE=33BD=423,AE=AD-DE=823.5.若等腰三角形的周長為10 cm,其中一邊長為2 cm,則該等腰三角形的底邊長為(A)A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm【解析】(1)若底邊長為2 cm,則腰長為(10-2)2=4(cm),4+2>4,符合三角形三邊關(guān)系,所以該等腰三角形的底邊長為2 cm;(2)若腰長為2 cm,則底邊長為10-22=6(cm),2+2<6,不符合三角形三邊關(guān)系,所以該等腰三角形的底邊長為6 cm應舍去.6.如圖,在ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,邊AB的垂直平分線交AC于點D,則BDC的周長是(C)A.8B.9C.10D.11【解析】AB的垂直平分線交AC于點D,AD=BD,BDC的周長=BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.7.如圖,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的兩條中線,P是AD上的一個動點,則下列線段的長等于BP+EP最小值的是(B)A.BCB.CEC.ADD.AC【解析】由AB=AC,可得ABC是等腰三角形,根據(jù)“等腰三角形的三線合一性質(zhì)”可知點B與點C關(guān)于直線AD對稱,連接CP,則BP=CP,所以BP+EP=CP+EPCE,所以BP+EP的最小值為CE.8.(xx山東東營)如圖,點E在DBC的邊DB上,點A在DBC的內(nèi)部,DAE=BAC=90,AD=AE,AB=AC.給出下列結(jié)論:BD=CE;ABD+ECB=45;BDCE;BE2=2(AD2+AB2)-CD2.其中正確的是(A)A.B.C.D.【解析】DAE=BAC=90,DAB=EAC,AD=AE,AB=AC,DABEAC,BD=CE,ABD=ACE,故正確;ABD+ECB=ACE+ECB=ACB=45,故正確;ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=45+45=90,CEB=90,即CEBD,故正確;BE2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD2,故正確.9.(xx貴州遵義)如圖,在ABC中,點D在BC邊上,BD=AD=AC,E為CD的中點.若CAE=16,則B的度數(shù)為37.【解析】AD=AC,點E是CD的中點,AECD,AEC=90,C=90-CAE=74,AD=AC,ADC=C=74,AD=BD,2B=ADC=74,B=37.10.如圖,把等邊ABC沿著DE折疊,使點A恰好落在BC邊上的點P處,且DPBC,若BP=4 cm,則EC=2+23cm.【解析】根據(jù)“30角所對的直角邊等于斜邊的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=43.根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DPE=A=60,DA=DP=43,易得EPC=30,PEC=90,所以EC=12PC=12(8+43-4)=2+23.11.如圖,在ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個動點,AOC=60,則當PAB為直角三角形時,AP的長為23或27或2.【解析】當APB=90時,如圖1,AO=BO,PO=BO,AOC=60,BOP=60,BOP為等邊三角形,AB=BC=4,AP=ABsin 60=432=23;如圖2,AO=BO,APB=90,PO=AO,AOC=60,AOP為等邊三角形,AP=AO=2.當ABP=90時,如圖3,AOC=BOP=60,BPO=30,BP=OBtan30=233=23,在RtABP中,AP=(23)2+42=27.綜上,AP的長為23或27或2.12.(xx云南)在ABC中,AB=34,AC=5,若BC邊上的高等于3,則BC邊的長為9或1.【解析】有兩種情況:如圖1,AD是ABC的高,ADB=ADC=90,由勾股定理得BD=AB2-AD2=(34)2-32=5,CD=AC2-AD2=52-32=4,BC=BD+CD=5+4=9;如圖2,同理得CD=4,BD=5,BC=BD-CD=5-4=1.綜上,BC的長為9或1.13.(8分)(xx合肥廬陽區(qū)一模)九章算術(shù)“勾股”章有一題:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三.乙東行,甲南行十步而斜東北與乙會.問甲乙行各幾何”.大意是說,已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā),甲的速度為7,乙的速度為3.乙一直向東走,甲先向南走10步,后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時,甲、乙各走了多遠?解:設(shè)經(jīng)x秒二人在B處相遇,這時乙共行AB=3x,甲共行AC+BC=7x,AC=10,BC=7x-10,又A=90,BC2=AC2+AB2,(7x-10)2=102+(3x)2,x=0(舍去)或x=3.5,AB=3x=10.5,AC+BC=7x=24.5.答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.14.(10分)在ABC中,AB=CB,ABC=90,F為AB延長線上一點,點E在BC上,且AE=CF.(1)求證:RtABERtCBF;(2)若CAE=25,求CFE的度數(shù).解:(1)ABC=90,CBF=ABE=90.在RtABE和RtCBF中,AE=CF,AB=CB,RtABERtCBF(HL).(2)由(1)得RtABERtCBF,AEB=CFB,BE=BF,BFE=45,ABC=90,AB=BC,BCA=45,又AEB=45+CAE,CFB=45+CFE,CFE=CAE=25.15.(10分)(1)已知ABC是等腰三角形,其底邊是BC,點D在線段AB上,E是直線BC上一點,且DEC=DCE.若A=60(如圖1),求證:EB=AD;(2)若將(1)中的“點D在線段AB上”改為“點D在線段AB的延長線上”,其他條件不變(如圖2),(1)中的結(jié)論是否成立,并說明理由;(3)若將(1)中的“若A=60”改為“若A=90”,其他條件不變,則EBAD的值是多少?(直接寫出結(jié)論,不要求寫解答過程)解:(1)作DFBC交AC于點F.則ADF=ABC,AFD=ACB,FDC=DCE,ABC是等腰三角形,A=60,ABC是等邊三角形,ABC=ACB=60,DBE=120,ADF=AFD=60=A,ADF是等邊三角形,AD=DF,DFC=120,DEC=DCE,FDC=DEC,ED=CD,在DBE和CFD中,DEB=FDC,DBE=CFD=120,ED=CD,DBECFD(AAS),EB=DF,EB=AD.(2)EB=AD成立.理由:作DFBC交AC的延長線于點F,則DCE=CDF,ABC與ADF是等邊三角形,AD=DF.DEC=DCE,DE=CD,DEC=CDF,又DBE=DFC=60,DBECFD(AAS),EB=DF,EB=AD.(3)EBAD=2.提示:作DFBC交AC于點F.同(1)得DBECFD(AAS),EB=DF.ABC是等腰直角三角形,DFBC,ADF是等腰直角三角形,DF=2AD,DFAD=2,EBAD=2.名師預測1.等邊三角形的兩條中線相交所成鈍角的度數(shù)是(B)A.105B.120C.135D.150【解析】等邊三角形的每一個內(nèi)角都等于60,而等邊三角形的中線就是內(nèi)角的平分線,所以等邊三角形的兩條中線相交所成鈍角就是等邊三角形兩個內(nèi)角平分線相交所成鈍角,其度數(shù)為180-30-30=120.2.如圖,等邊三角形ABC中,ADBC,垂足為D,點E在線段AD上,EBC=45,則ACE等于(A)A.15B.30C.45D.60【解析】等邊三角形ABC中,ADBC,BD=CD,即AD是BC的垂直平分線,點E在AD上,BE=CE,EBC=ECB,EBC=45,ECB=45,ABC是等邊三角形,ACB=60,ACE=ACB-ECB=15.3.如圖,在RtABC中,CM平分ACB交AB于點M,過點M作MNBC交AC于點N,且MN平分AMC,若AN=1,則BC的長為(B)A.4B.6C.43D.8【解析】在RtABC中,CM平分ACB,MNBC,且MN平分AMC,AMN=NMC=B,NCM=BCM=NMC,ACB=2B,NM=NC,B=30,AN=1,MN=2,AC=AN+NC=3,BC=6.4.在ABC中,AB=13 cm,AC=20 cm,BC邊上的高為12 cm,則ABC的面積為(D)A.63 cm2B.126 cm2C.63 cm2或126 cm2D.66 cm2或126 cm2【解析】當B為銳角時(如圖1),在RtABD中,BD=AB2-AD2=132-122=5,在RtADC中,CD=AC2-AD2=202-122=16,BC=21,SABC=12BCAD=122112=126(cm2);當B為鈍角時(如圖2),在RtABD中,BD=AB2-AD2=132-122=5,在RtADC中,CD=AC2-AD2=202-122=16,BC=CD-BD=16-5=11,SABC=12BCAD=121112=66(cm2).綜上,ABC的面積為66 cm2或126 cm2.5.如圖,在ABC中,AB=AC=10,BAC的角平分線交BC邊于點D,AD=8,則BC=12.【解析】由AB=AC,AD平分BAC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)知ADBC,BD=CD,又由勾股定理得CD=102-82=6,所以BC=2CD=12.6.如圖,已知BD是ABC的平分線,DEAB于點E,DFBC于點F,SABC=105 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,則DE的長是7cm.【解析】由角平分線的性質(zhì)知DE=DF,由三角形面積公式知1218DE+1212DE=105,解得DE=7 cm.7.如圖,AB=AC=AD=4 cm,DB=DC,若ABC=60,則BE=2 cm,ABD=75.【解析】AB=AC,ABC=60,ABC為等邊三角形,BC=4 cm,AB=AC,DB=DC,AE是BC邊的垂直平分線,BE=12BC=2 cm,BAD=30,AB=AD,ABD=ADB,ABD=12(180-BAD)=12(180-30)=75.8.已知兩條互不平行的線段AB,AB關(guān)于直線l對稱,AB,AB所在的直線交于點P,下面四個結(jié)論:AB=AB;點P在直線l上;若A,A是對稱點,則AA垂直平分直線l;若點Q是直線l上任一點,則QB=QB.其中正確的是.(只填序號)【解析】由軸對稱的性質(zhì)知AB=AB,故正確;點P在直線l上,故正確;直線l是線段BB的垂直平分線,所以QB=QB,故正確;是錯誤的.9.如圖,一只蜘蛛在等腰RtABC鋼梁上織網(wǎng)綱,BAC=90,AB=AC=8,點E在AB上,BE=2,要在頂梁柱AD(中線)上定一點F,從點B到點F拉網(wǎng)綱,再從點F到點E拉網(wǎng)綱.(1)點F在AD(中線)上何處時網(wǎng)綱(BF+FE)最短,并證明.(2)在(1)中,求最短網(wǎng)綱(BF+FE)的長度.(3)在AB上還有點E1,E2,已知BE=EE1=E1E2=E2A=2,現(xiàn)在蜘蛛要在B,E兩點之間,E,E1兩點之間,E1,E2兩點之間都要到頂梁柱AD上定一次點拉網(wǎng)綱,直到點E2結(jié)束,求這些網(wǎng)綱之和最短時的長度?解:(1)如圖1,作點E關(guān)于直線AD的對稱點E,連接BE,交AD于點F,點F即為所求.證明:由對稱的性質(zhì)可得EF=FE,此時BE在一條直線上,在AD上任取一點與點B,E構(gòu)成三角形,利用三角形兩邊之和大于第三邊可得BE最小,即可得出BF+FE最短.(2)如圖1,過點E作ENBC于點N,BAC=90,AB=AC=8,BC=82,BE=2,則CE=2,EN=NC=2,BN=72,在RtBNE中,BE=(72)2+(2)2=10.最短網(wǎng)綱(BF+FE)的長度為10.(3)如圖2,由(2)可得BF+EF=10,同理可得EF1+E1F1=EM=52=213,E1K=E1F2+E2F2=20=25,故這些網(wǎng)綱之和最短時的長度為10+213+25.