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2019版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第九講 三角形學(xué)案 新人教版 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1、掌握全等三角形判定及性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用。 2、掌握特殊三角形的概念和性質(zhì)，并能熟練運(yùn)用。 3、掌握線段的中垂線及角平分線定理。 【知識(shí)框圖】 　　　　全等判定 全等三角形應(yīng)用 　　　　　　　　　　 等腰三角形判定、性質(zhì) 等邊三角形 三角形 　　　　特殊三角形 直角三角形判定、性質(zhì) 　　　　角的平分線及線段的中垂線定理 【典型例題】 例1：已知三角形兩邊長(zhǎng)為3，4，要使這個(gè)三角形是直角三角形，求第三邊長(zhǎng)。 解：第三邊長(zhǎng)為5或 。 評(píng)注：根據(jù)不同情況討論。 例2：已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，且AE=AD，AB=BC，求證：CE=CD。 證明：作AF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F。　　　　　?。? F ∵AB⊥BC，F(xiàn)C⊥BC，AB=BC 　　　 ∴AF=BC=AB=CF Ｄ 又AE=AD 　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。隆　　。拧　　。谩? ∴RtΔABE≌RtΔAFD ∴DF=BE　∴CE=CD 評(píng)注：證明兩條線段（或兩個(gè)角）相等的時(shí)候，可構(gòu)造全等三角形，常見(jiàn)輔助線：（1）連結(jié)某兩個(gè)已知點(diǎn)（2）過(guò)某已知點(diǎn)作某已知直線的平行線（3）延長(zhǎng)某已知線段到某個(gè)點(diǎn)或與某已知直線相交（4）作一個(gè)角等于已知角。 例3：已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ΔACM和ΔCBN是等邊三角形，AN交CM于點(diǎn)P，BM交CN于點(diǎn)Q，AN于BM交于點(diǎn)R。求證：AN=BM Ｎ 證明：由AC=MC，CN=CB，∠ACN=∠MCB　　　　　?。汀　。? 得ΔACN≌ΔMCB 　　　　　　　　?。小。? ∴AN=BM 　　　　　　　　　　　　　　?。痢　　。谩　　　　　。? 評(píng)注：本例在條件不變的前提下，可以探險(xiǎn)求很多結(jié)論：（1）求證：CP=CQ，（2）求證：ΔCPN≌ΔCBQ，（3）求證：ΔCPQ是等邊三角形，（4）求證：PQ∥AB。另外，若增加一個(gè)條件，在AN 上取中點(diǎn)E，在BM上取中點(diǎn)F，則可求證：ΔCEF是等邊三角形。 例4：ΔABC 中，∠B=22.50，∠C=600，AB的中垂線交BC于點(diǎn)D，BD=6 ，AE⊥BC于E，求EC的長(zhǎng)。 A 解：連結(jié)AD。 由AD=BD=6 ，∠ADE=45 得AE=6， B D E C 由∠C=600，得EC=2 評(píng)注：線段相等不要局限于三角形全等一種思想，（1）條件中含有中垂線，角平分線時(shí)，可利用它們的性質(zhì)（2）條件中含有線段中點(diǎn)時(shí)，中位線是常用的輔助線之一，既可獲得平行線，又可過(guò)渡數(shù)量關(guān)系。 【備選例題】 取等腰ΔABC底邊上任一點(diǎn)D，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，CH為高線。 求證：（1）DE+DF=CH （2）如果將條件“底邊BC上任取一點(diǎn)D”改為“在BC延長(zhǎng)線上取上點(diǎn)D”，其他條件不變，則結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁矗空?qǐng)加以證明。 證明：（1）過(guò)點(diǎn)D 作DG⊥CH，垂足為G?！　　　　　　　。? 則證明ΔCDG≌ΔDCF 　　　　　　　　　　　?。取? （2）過(guò)C點(diǎn)作CG⊥DE，垂足為G。 　　　　?。拧　　　。? 　 則證明ΔDGC≌ΔCFD?？傻媒Y(jié)論為DE-DF=CH。　　?。隆　。摹　。? 　 【課堂小結(jié)】 1、利用三角形全等可證明線段（角）相等，在尋求全等條件時(shí)，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖形中隱含的邊、角關(guān)系。 2、要注意角平分線、線段中垂線、“三線合一”等定理的運(yùn)用，使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明快。 【課堂練習(xí)】 一、填空題 1、四條線段的長(zhǎng)分別是5cm、6cm、8cm、13cm，以其中任意三條線段為邊可以構(gòu)成____個(gè)三角形。 2、已知AC=DC，∠DCA=∠ECB，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件________，使ΔABC≌ΔDEC。 　　　　　?。摹　? 　　　　Ａ 　　?。隆。拧　　　　。? 3、已知等腰三角形的一個(gè)角為750，則其頂角為_(kāi)________ 度。 4、在ΔABC中，M是BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，已知AB=10，AC=16，則MN長(zhǎng)為_(kāi)___________.　　　　　　　　　　　　A 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　N 　 　 　 　　　　B 　M 　　　C 二、在ΔABC中，BE、CF分別是AC、AB 兩條邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長(zhǎng)線上截取CG=AB，求證：AG=AD 　　　G A 　　　　　　　　　　　　　　 F 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D E B 　 C 三、已知AD是ΔABC中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：AC=BF A F E 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C 【課后練習(xí)】 D 一、填空題： B １、已知∠B=∠C，BD=CE，DC=BF，∠A=400，則∠EDF為_(kāi)__度。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　F 　E 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B D C 2、已知等腰三角形一腰上的高與腰之比為 ，則其頂角度數(shù)等于_______. 3、已知∠A=520，O是AB、AC的中垂線的交點(diǎn)，那么∠OCB=_______　　　　　?。? . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 O 　　　　　　　　　　　　　　　　　B 　 　 C 二、ΔABC中，∠C=2∠B，∠BAD=∠CAD，求證：AB=AC+CD 　　　?。? 　　　　　　　　　　　　　　B 　 　D 　 C 三、ΔABC中，∠ACB=900，∠CAB=300，ΔACD和ΔABE都是等邊三角形，DF⊥AC于M。 （1）求證：BF=EF （2）設(shè)BC=2，求DF長(zhǎng)。 【課后反思】