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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十五講 統(tǒng)計的思想方法 20世紀90年代，美國麻省理工學院教授尼葛洛龐帝寫過一本暢銷全球的《數(shù)字化生存》一書．事實上，我們的生活、工作離不開數(shù)據(jù)，要做到心中有數(shù)、用數(shù)據(jù)說話是信息社會對人的基本要求． 統(tǒng)計學是一門研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上作出推斷的科學． 隨機抽樣與統(tǒng)計推斷是統(tǒng)計中最重要的思想方法，也是認識客觀世界的事物和現(xiàn)象的方法之一．即用樣本的某種特征去估計總體的相應特征，用樣本的平均水平、波動情況、分布規(guī)律等特征估計總體的平均水平、波動情況和分布規(guī)律． 【例題求解】 【例1】 現(xiàn)有A，B兩個班級，每個班級各有45名學生參加一次測驗．每名參加者可獲得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分這幾種不同的分值中的一種．測試結(jié)果A班的成績?nèi)缦卤硭?，B班的成績?nèi)鐖D所示． (1)由觀察所得， 班的標準差較大； (2)若兩班合計共有60人及格，問參加者最少獲 分才可以及格． A班 分數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人數(shù) 1 3 5 7 6 8 6 4 3 2 思路點撥 對于(2)，數(shù)一數(shù)兩班在某一分數(shù)以上的人數(shù)即可，憑直覺與估計得出答案． 注： 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù)，但是它們描述集中趨勢的側(cè)重點是不同的： (1)平均數(shù)易受數(shù)據(jù)中少數(shù)異常值的影響，有時難以真正反映“平均”； (2)若一組數(shù)據(jù)有數(shù)據(jù)多次重復出現(xiàn)，則常用眾數(shù)來刻畫這組數(shù)據(jù)的集中趨勢． 【例2】 已知數(shù)據(jù)、、的平均數(shù)為，、、的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)、、的平均數(shù)為( ) A．2a+3b B． C．6a+9b D．2a+b 思路點撥 運用平均數(shù)計算公式并結(jié)合已知條件導出新數(shù)據(jù)的平均數(shù)． 【例3】 某班同學參加環(huán)保知識競賽．將學生的成績(得分取整數(shù))進行整理后分成五組，繪成頻率分布直方圖(如圖)．圖中從左到右各小組的小長方形的高的比是1：3：6：4：2，最右邊—組的頻數(shù)是6．結(jié)合直方圖提供的信息，解答下列問題： (1)該班共有多少名同學參賽? (2)成績落在哪組數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的人數(shù)最多，是多少? (3)求成績在60分以上(不含60分)的學生占全班參賽人數(shù)的百分率． 思路點撥 讀圖、讀懂圖，從圖中獲取頻率、組距等相關(guān)信息． 【例4】 為估計，一次性木質(zhì)筷子的用量，xx年從某縣共600家高、中、低檔飯店中抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0 (1)通過對樣本的計算，估計該縣xx年消耗多少盒一次性筷子(每年按350個營業(yè)日計算)； (2)xx年又劉該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是l0個樣本飯店每個飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求該縣xx年、xx年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長的百分率(xx年該縣飯店數(shù)、全年營業(yè)天數(shù)均與xx年相同)； (3)在(2)的條件下，若生產(chǎn)一套中小學生桌椅需木材0.07米3，求該縣xx年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學生桌椅．計算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為： 每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5克，所用木材的密度為0.5103 千克／米3； (4)假如讓你統(tǒng)計你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計知識去做，簡要地用文字表述出來． 思路點撥 用樣本的平均水平去估計總體的平均水平． 注：（1）運用數(shù)學知識解決實際問題的過程是：從實際問題中獲取必要的信息——分析處理有關(guān)信息——建立數(shù)學模型——解決這個數(shù)學問題． （2）通過圖表獲取數(shù)據(jù)信息，收集、整理分析數(shù)據(jù)，再運用統(tǒng)計量的意義去分析，這是用統(tǒng)計的思想方法解決問題的基本方式． 思路點撥 【例5】 編號為1到25的25個彈珠被分放在兩個籃子A和B中，15號彈珠在籃子A中，把這個彈珠從籃子A移到籃子B中，這時籃子A中的彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加，B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加，問原來在籃子A中有多少個彈珠? 思路點撥 用字母分別表示籃子A、B彈珠數(shù)及相應的平均數(shù)，運用方程、方程組等知識求解． 學歷訓練 1．某校初二年級全體320名學生在電腦培訓前后各參加了一次水平相同的考試，考分都以同一標準劃分成“不合格”、“合格”、“優(yōu)秀”三個等級．為了了解電腦培訓的效果，用抽簽方式得到其中32名學生的兩次考試考分等級，所繪制的統(tǒng)計圖如圖所示．試結(jié)合圖示信息回答下列問題： (1)這32名學生培訓前考分的中位數(shù)所在的等級是 ，培訓后考分的中位數(shù)所在的等級是 ． (2)這32名學生經(jīng)過培訓，考分等級“不合格”的百分比由 下降到 ． (3)估計該校整個初二年級中，培訓后考分等級為“合格”與“優(yōu)秀”的學生共有 名． (4)你認為上述估計合理嗎?理由是什么? 答： ，理由 ． 2．某商店3、4月份出售同一品牌各種規(guī)格的空調(diào)銷售臺數(shù)如下表： 根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答： (1)商店平均每月銷售空調(diào) (臺)； (2)商店出售的各種規(guī)格的空調(diào)中，眾數(shù)是 (匹)； (3)在研究6月份進貨時，商店經(jīng)理決定 (匹)的空調(diào)要多進； (匹)的空調(diào)要少進． 3．為了了解某中學初三年級250名學生升學考試的數(shù)學成績，從中抽取了50名學生的數(shù)學成績進行分析，求得．下面是50名學生數(shù)學成績的頻率分布表： 分 組 頻數(shù)累計 頻數(shù) 頻率 60．5～70．5 正 3 70．5～80．5 正正 6 0．12 80．5～90．5 正正 9 0．18 90．5～100．5 正正正正 17 0．34 100．5～110．5 正正 0．2 110．5～120．5 正 5 0．1 合 計 50 1 根據(jù)題中給出的條件回答下列問題： (1)在這次抽樣分析的過程中，樣本是 ； (2)頻率分布表中的數(shù)據(jù)= ，= ； (3)估計該校初三年級這次升學考試的數(shù)學平均成績約為 分； (4)耷這次升學考試中，該校初三年級數(shù)學成績在90．5～100．5范圍內(nèi)的人數(shù)約為 人． 4．小明測得一周的體溫并登記在下表（單位：℃） 星期 日 一 二 三 四 五 六 周平均體溫 體溫 36.6 36.7 37.0 37.3 36.9 37.1 36.9 其中星期四的體溫被墨跡污染，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得此日的體溫是( ) A．36．?℃ B．36．8℃ C．36．9℃ D．37．0℃ 5．甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入速度比賽，參加學生每分鐘輸入漢字的個數(shù)經(jīng)統(tǒng)計計算后填入下表： 班級 參加人數(shù) 中位數(shù) 方差 平均字數(shù) 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 某同學根據(jù)上表分析得出如下結(jié)論：①甲、乙兩班學生成績的平均水平相同；②乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘輸入漢字數(shù)≥150個為優(yōu)秀)；③甲班的成績的波動情況比乙班的成績的波動大，上述結(jié)論正確的是( ) A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 6．今年春季，我國部分地區(qū)SARS流行，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制．下圖是某同學記載的5月1日至30日每天全國的SARS新增確診病例數(shù)據(jù)圖，將圖中記載的數(shù)據(jù)每5天作為一組，從左至右分為第一組至第六組，下列說法：①第一組的平均數(shù)最大，第六組的平均數(shù)最?。虎诘诙M的中位數(shù)為138；③第四組的眾數(shù)為28；其中正確的有( ) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 7．某風景區(qū)對5個旅游景點的門票價格進行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計，調(diào)價前后各景點的游客人數(shù)基本不變．有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示： （1）該風景區(qū)稱調(diào)整前后這5個景點門票的平均收費不變，平均日總收入持平．問風景區(qū)是怎樣計算的？ （2）另一方面，游客認為調(diào)整收費后風景區(qū)的平均日總收入相對于調(diào)價前，實際上增加了約9.4%．問游客是怎樣計算的？ （3）你認為風景區(qū)和游客哪一個的說法較能反映整體實際？ 8．甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績情況如圖所示． （1）請?zhí)顚懴卤? 平均數(shù) 方差 中位數(shù) 命中9環(huán)以上次數(shù) 甲 7 1．2 1 乙 5．4 （2）請從下列四個不同的角度對這次測試結(jié)果進行分析. ①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看； ②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看（分析誰的成績好些）； ③從平均數(shù)和命中9環(huán)以上次數(shù)相結(jié)合看（分析誰的成績好些）； ④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看（分析誰更有潛力）． 9．明湖區(qū)一中對初二年級女生仰臥起坐的測試成績進行統(tǒng)計分析，將數(shù)據(jù)整理后，畫出如下頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、第二、第三、第四、第六小組的頻率依次是0.10、0.15、0.20、0.30、0.05，第五小組的頻數(shù)是36，根據(jù)所給的圖填空： (1)第五小組的頻率是 ，請補全這個頻率分布圖； (2)參加這次測試的女生人數(shù)是 ；若次數(shù)在24(含24次)以上為達標(此標準為中考 體育標準)，則該校初二年級女生的達標率為 ． (3)請你用統(tǒng)計知識，以中考體育標準對明湖區(qū)十二所中學初二女生仰臥起坐成績的達標率作一個估計 ． 10．我國于2000年11月1日起進行了第五次全國人口普查的登記工作，據(jù)第五次人口普查，我國每10萬人中擁有各種受教育程度的人數(shù)如下：具有大學程度的為3611人；具有高中程度的為11146人；具有初中程度的為33961人；具有小學程度的為35701人． (1) 根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下表： 受教育程度 每10萬人中所占百分比(％)( 精確到0.01) 大學程度 高中程度 初中程度 小學程度 (2)以下各示意圖中正確的是( )．(將正確示意圖數(shù)字代號填在括號內(nèi)) 11．新華高科技股份有限公司董事會決定今年用13億資金投資發(fā)展項目，現(xiàn)有6個項目可供選擇(每個項目或者被全部投資，或者不被投資)，各項目所需投資金額和預計年均收益如下表： 項目 A B C D E F 投資(億元) 5 2 6 4 6 8 收益(億元) 0．55 0．4 0．6 0．4 0．9 l 如果要求所有投資的項目的收益總額不得低于1．6億元，那么，當選擇的投資項目是 時，投資的收益總額最大． 12．新華社4月3日發(fā)布了一則由國家安全生產(chǎn)監(jiān)督管理局統(tǒng)計的信息；xx年1月至2月全國共發(fā)生事故17萬多起，各類事故發(fā)生情況具體統(tǒng)計如下： 事故類型 事故數(shù)量 死亡人數(shù)(單位：人) 死亡人數(shù)占各類事故總死亡人數(shù)的百分比 火災事故(不含森林草原火災) 54773 610 鐵路路外傷亡事故 1962 1409 工礦企業(yè)傷亡事故 1417 1639 道路交通事故 115815 17290 合計 173967 20948 (1)請你計算出各類事故死亡人數(shù)占總死亡人數(shù)的百分比，填入上表(精確到0.01)； (2)為了更清楚地表示出問題(1)中的百分比，請你完成下面的扇形統(tǒng)計圖； (3)請根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識提出問題(不需要作解答，也不要解釋，但所提的問題應是利用表中所提供數(shù)據(jù)能求解的)． 13．將最小的31個自然數(shù)分成A、B兩組，10在A組中，如果把10從A組移到B組，則A組中各數(shù)的算術(shù)平均數(shù)增加，B組中各數(shù)的算術(shù)平均數(shù)也增加．問A組中原有多少個數(shù)? 14．某次數(shù)學競賽共有15道題，下表是對于做對 (=0，1，2…15)道題的人數(shù)的一個統(tǒng)計，如果又知其中做對4道題和4道以上的學生每人平均做對6道題，做對10道題和10道題以下的學生每人平均做對4道題，問這個表至少統(tǒng)計了多少人? n 0 1 2 3 … 12 13 14 15 做對n道題的人數(shù) 7 8 10 2l … 15 6 3 l 參考答案