27.2.3相似三角形應用舉例【教學目標】知識技能目標:1.進一步鞏固相似三角形的知識.2.能夠運用三角形相似的知識,解決不能直接測量物體的長度和高度(如測量金字塔高度問題、測量河寬問題、盲區(qū)問題)等的一些實際問題.過程性目標:通過把實際問題轉(zhuǎn)化成有關相似三角形的數(shù)學模型,進一步了解數(shù)學建模的思想,培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.情感態(tài)度目標:通過學生觀察、分析現(xiàn)實生活中的相似現(xiàn)象,使學生進一步體會三角形相似的應用價值和豐富內(nèi)涵.逐步形成數(shù)學思想,認識數(shù)學價值,促進審美意識的發(fā)展.【重點難點】重點:運用三角形相似的知識計算不能直接測量物體的長度和高度.難點:靈活運用三角形相似的知識解決實際問題.【教學過程】一、創(chuàng)設情境1.判斷兩個三角形相似有哪些方法?2.相似三角形有什么性質(zhì)?3.太陽光線是什么光線?二、探索歸納探究活動1(教材P39例4測量高度問題)例4據(jù)傳說,古希臘數(shù)學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的頂部立一根木桿,借助太陽光線構成兩個相似三角形,來測量金字塔的高度.如圖,如果木桿EF長2 m,它的影長FD為3 m,測得OA為201 m,求金字塔的高度BO.(思考如何測出OA的長?)師生活動:學生小組討論;師生共同交流,通過觀察示意圖,使學生建立起相似圖形的幾何直覺,并能明確表述求OA的方法中蘊含的數(shù)學知識.分析:根據(jù)太陽光的光線是互相平行的特點,可知在同一時刻的陽光下,豎直的兩個物體的影子互相平行,從而構造相似三角形,再利用相似三角形的判定和性質(zhì),根據(jù)已知條件,求出金字塔的高度.解:略(見教材P40)探究活動2(教材P40例5測量河寬問題)例5如圖,為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一個目標點P,在近岸取點Q和S,使點P,Q,S共線且直線PS與河垂直,接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當?shù)狞cT,確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R.已測得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,請根據(jù)這些數(shù)據(jù),計算河寬PQ.師生活動:教師提出問題:估算河的寬度,你有什么好辦法嗎?學生先小組討論;教師在這一活動中重點關注學生們探究的主動性,特別應關注那些平時學習有一定困難的學生,他們往往在解決實際問題時,顯示出創(chuàng)造的能力,這也是樹立這些學生自信心的一個契機,然后通過例5進一步完善學生們的想法,讓學生體會用數(shù)學知識解決實際問題的成就感和快樂.分析:設河寬PQ長為x m,由于此種測量方法構造了三角形中的平行截線,故可得到相似三角形,因此有PQPS=QRST,即xx+45=6090.再解x的方程可求出河寬.解:略(見教材P40)探究活動3(教材P40例6盲區(qū)問題)例6如圖,左、右并排的兩棵大樹的高分別為AB=8 m和CD=12 m,兩樹底部的距離BD=5 m.一個人估計自己眼睛距地面1.6 m.她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進,當她與左邊較低的樹的距離小于多少時,就看不到右邊較高的樹的頂端C了?分析:觀察者的眼睛F的位置為視點,視線FC與水平視線FG的夾角CFG是觀察者的仰角,觀察者看不到的區(qū)域(如四邊形ABDC內(nèi)部)是盲區(qū).解:假設觀察者從左向右走到點E(視點F)處,視點F與兩棵樹的頂點A,C恰在一條直線上.由題意可知ABl,CDl,ABCD,AFHCFK,FHFK=AHCK.即FHFH+5=8-1.612-1.6=6.410.4.解得FH=8.由此可知,如果觀察者繼續(xù)前進,即她與左邊的樹的距離小于8 m時,由于這棵樹的遮擋,右邊的樹頂端C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi),觀察者就不能看到它了.三、新知應用某同學想利用樹影測量樹高.他在某一時刻測得小樹高為1.5米時,其影長為1.2米,當他測量教學樓旁的一棵大樹影長時,因大樹靠近教學樓,有一部分影子在墻上.經(jīng)測量,地面部分影長為6.4米,墻上影長為1.4米,那么這棵大樹高多少米?師生活動:教師出示問題,學生獨立思考,寫出解答過程,找學生板演講解.設計意圖:這是一個變式拓展題,前面知道影子長度可以很快用比例得出想要的高度,但這里設置了一堵墻,物體的影長等于地上的部分加上墻上的部分,需要學生靈活處理,也會出現(xiàn)不同的處理辦法,截斷AB或延長AD,考查學生對此類問題的靈活度和綜合運用知識的能力.四、檢測反饋1.在陽光下,身高1.5 m的張強在地面上的影長為2 m,在同一時刻,測得學校的旗桿在地面上的影長為18 m,則旗桿的高度為_.2.王明在測量樓高時,先測出樓房落在地面的影長為15米,然后在同一時刻測得一根高為2米的標桿,影長為3米,則樓高為_.3.在某一時刻,有人測得一高為1.8米的竹竿的影長AC為3米,某一高樓的影長BA為90米,那么高樓的高度是多少米?4.如圖,測得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河寬AB.五、課堂小結(jié)1.面對不易直接測量的物體的高度或長度:實際問題構造數(shù)學模型利用相似三角形的性質(zhì)建立方程解決問題.2.這節(jié)課用到的求不能直接測量的物體的高度或?qū)挾鹊姆椒?(1)利用陽光下的影長測物體的高度.(2)利用標桿測物體的高度.(3)利用鏡子的反射測物體的高度.六、板書設計課題:27.2.3相似三角形應用舉例測高測寬盲區(qū)問題